云南省永胜县第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

丽江市永胜县第一中2025届高三上学期开学考 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1．设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知命题,;命题,.则（ ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3．某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，可抽象为如图2所示的几何体，该几何体是上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（    ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，为的重心，满足，则（    ） A． B． C．0 D． 5．函数，则下列结论中错误的是（    ） A．的图象关于点对称 B．在其定义域上单调递增 C．的值域为 D．函数有且只有一个零点 6．已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（    ） A．0.38 B．0.61 C．0.122 D．0.75 8．在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个 ①； ②直线与平面所成角不变； ③点到直线的距离不变； ④点到四点的距离相等. 其中，所有正确结论的序号为（    ） A．②③ B．③④ C．①③④ D．①②④ 二、多选题（本大题共3小题） 9．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与的夹角的正弦值为1 B．平面 C．点与平面的距离为 D．直线与平面所成的角为 11．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（    ） A．若，则函数为奇函数 B．若，则 C．函数的图象必有对称中心 D．， 三、填空题（本大题共3小题） 12．若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则 . 13．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为 ． 14．已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 四、解答题（本大题共5小题） 15．已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：函数存在极小值； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围． 16．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），|AF|＝1 （1）求椭圆C的方程； （2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小． 17．已知椭圆C：的一个焦点为F（2，0），离心率为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点． （1）求椭圆C的方程； （2）求四边形AMBN面积的最大值． 18．已知，，其中是自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 19．对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质. （1）若数列具有性质，求数列的前项和； （2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式； （3）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立. 参考答案 1．【答案】C 【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C． 2．【答案】B 【详解】对于命题，当时，，所以是假命题，是真命题.对于命题,若,则,0,1，所以满足“,”，故是真命题，是假命题，故选. 3．【答案】B 【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，， 故该香料收纳罐的容积为． 故选B． 4．【答案】A 【详解】如图，设与相交于点，为的重心，    可得为的中点，， 所以 ， 因为， 所以，则. 故选A. 5．【答案】A 【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数， 的图象关于原点对称， 在的图象上取点，它关于对称的点不在的图象上，故A不正确； 当时，为增函数，又为奇函数，且，所以在其定义域上单调递增，故B正确； 当时，，又为奇函数，所以当时，，又，所以的值域为，故C正确； 令，得，得，所以函数有且只有一个零点，故D正确. 故选A 6．【答案】C 【详解】设数据，，，，的平均数是，方差是， ， 方差 . 故选C 7．【答案】B 【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在内的概率 故选B 8．【答案】C 【详解】如下图，当在棱上运动时，始终在平面中，由，可得，所以，故①正确， 此时点的轨迹为线段，如下图可知，，过正方形中心且，故③④正确， 如下图，延长与的延长线交于，连接，则即为直线与平面所成角， 当点在上运动时，不变而在变，所以不是定值， 故②错误. 故选C. 9．【答案】AD 【详解】，故A对； ，故B错； ，故C错； ，故D对； 故选AD 10．【答案】AB 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， A：由，，则， 即，故异面直线与的夹角的正弦值为1，对； B：由，，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则平面，对； C：由，，， 若平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以点与平面的距离为，错； D：易知平面的一个法向量为，又， 设直线与平面的夹角为，则， 所以直线与平面所成的角不为，错. 故选AB 11．【答案】ACD 【详解】对于选项A，记． 因为，所以为奇函数，故选项A正确； 对于选项B，由选项A可知，从而， 所以，故选项B错误； 对于选项C，记．若为奇函数，则， ，即， 所以，即． 上式化简得，． 则必有，解得， 因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确； 对于选项D，由选项C可知，． 当时，是减函数，，所以 ， 故选项D正确． 故选ACD． 12．【答案】 【详解】因为为纯虚数， 所以且，解得. 13．【答案】144π 【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大， 设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36， 故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π. 故答案为144π. 14．【答案】 【详解】函数的定义域为，且， 所以，关于的方程在时有两个不等的实根、， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 15．【答案】（1）；（2）见详解；（3）． 【详解】解：（1）当时，， 所以． 所以． 曲线在点处的切线方程为． （2）由，得． 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． 当时，，． 又在单调递增， 故存在，使得，在区间上，在区间上． 所以，在区间上，在区间上， 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数存在极小值． （3）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于． ①当时，，由（2）得，所以． 所以在上单调递增， 所以的最小值为． 由，得，满足题意． ②当时，由（2）知，在上单调递减， 所以在上，不满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是． 16．【答案】（1） （2）∠PFQ＝90° 【详解】（1）由题意得 解得a＝2，c＝1， 从而， 所以椭圆C的方程为． （2）   当直线l的斜率不存在时，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F（1，0）， 则，，故，即∠PFQ＝90°． 当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0． 联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0． 由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，． 直线MA的方程为， 令x＝4，得，即，同理可得． 所以，． 因为 0，所以∠PFQ＝90°． 综上，∠PFQ＝90°． 17．【答案】（1） （2） 【详解】（1）由题意可得 解得, 故椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时 , 的坐标分别为, 四边形面积为 当直线斜率存在时 , 设其方程为 点  , 点 到直线的距离分别为 则四边形 面积为, 得, 则 所以   ， 因为 所以 中点 , 当 时 , 直线 方程为 , 解得   所以 . 当 时 , 四边形 面积的最大值   综上四边形 面积的最大值为 . 18．【答案】（1）见详解； （2） 【详解】（1）由题，. 当，则，则此时在上单调递减； 当，则. 若，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，此时在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增， 则. 又注意到存在，，使得， 等价于时，， 则，又， 则. 19．【答案】（1）5 （2） （3）见详解 【详解】（1）由题意得：，，则当为奇数时，，当为偶数时，，所以数列的前项和； （2）由题意得：，，对于给定的正奇数，，对，，则令，，得：，，综上：为常数列，由可得： （3）要证，只需证，即证，令数列，由于具有性质，即，对，，则，对，，所以具有性质，令，设的最小值为，对，令，，由于具有性质，则有，所以， 所以，所以成立 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$