7.3频率与概率讲义-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 7.3频率与概率 知 识 梳 理 1．频率与频数 在相同条件下重复次试验，观察某一事件A是否出现，称次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率。 2．概率 事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A). 由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 注意：（1）概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小. 求事件A的概率的前提是：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用来表示越精确。 （2）任一事件A的概率范围为，可用来验证简单的概率运算错误，即若运算结果概率不在范围内，则运算结果一定是错误的. 3．概率与频率的关系 （1）频率是概率的近似值。 随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，在实际问题中，事件的概率未知时，常用频率作为它的估计值。 （2）频率是一个随机数 频率在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的频率可能相同也可能不同。 （3）概率是一个确定数 概率是客观存在的，与每次试验无关。 （4）概率是频率的稳定值 随着试验次数的增加，频率就会逐渐地稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数就是概率。 例题讲解 考法一 频率与概率 例1、抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是(    ) A．抛掷硬币次，事件必发生次 B．抛掷硬币次，事件不可能发生次 C．抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于 D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近 【答案】D 【解析】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误； 随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；故选：D 考法二 频率估计概率 例1、(多选)“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是(    ) A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C．北京和上海都可能没降雨 D．北京降雨的可能性比上海大 【答案】BCD 【解析】北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，故只有A不正确． 故选：BCD 例2、每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间(单位：时)进行调查，统计数据如下表所示： 学习时间(时) 党员人数 8 13 9 10 10 则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为(    ) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【解析】由统计表可知，样本容量为人，学习时间不少于6小时有人， 所以学习时间不少于6小时的概率为.故选：B 例3、一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下． 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数n 5544 9607 13520 17190 男婴数m 2883 4970 6994 8892 （1）计算男婴出生的频率（保留4位小数）； （2）这一地区男婴出生的概率约是多少？ 【答案】(1) 0.5200，0.5173，0.5173，0.5173 (2) 0.517 3 【解析】 （1）男婴出生的频率依次约是：0.5200，0.5173，0.5173，0.5173 （2）由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3． 例4、某人做了三次向桌面投掷硬币的试验，这三次试验的结果如下： 第一次 试验次数 1000 正面向上的次势 499 反面向上的次数 501 第二次 试验次数 1000 正面向上的次数 497 反面向上的次数 503 第三次 试验次数 3000 正面向上的次数 1497 反面向上的次数 1503 （1）就这三个表格，谈一谈你对频率是一个随机数的认识． （2）设想：把这三个表格里面的试验次数不断地增加．预测1：每一个表格里面的试验次数增至原来的10倍时，这三次试验中，正面向上的频率是0.5；预测2：随着试验次数的不断增加，这三次试验中，反面向上的概率都是0.5．预测1、预测2正确吗？ 【解析】（1）第一次试验中，正面向上的频率．第二次试验中，正面向上的频率． 第三次试验中，正面向上的频率． ，说明相同的试验次数下频率可以不同；，说明不同的试验次数下频率可以相同以≠以，说明不同的试验次数下频率可以不同． 综上，就本例提供的信息而言，频率是一个随机数． （2）预测1不正确．以第一次试验为例，当试验次数增至原来的10倍时，试验次数为10000，这时正面向上的频率是0.5，也就是正面向上的次数刚好是5000，这种说法是不对的，因为它有可能是4999，4998，…，也有可能是5001，5002，…，当然不排除它确有可能是5000． 综上，预测1不正确．预测2正确． 当试验次数不断地增加时，反面向上的频痒就会逐渐地稳定在常数0.5上，即三次试验中，反面向上的概率都是0.5． 考法三 游戏的公平性 例1、下面有三个游戏，其中不公平的游戏是(    ) 取球方式 结果 游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜 游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜. 游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜. A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 【答案】D 【解析】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏1公平； 对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是，故游戏2公平； 对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是，取出的2个球不同色的概率是，故此游戏不公平，乙胜的概率大. 故选D. 考法四 随机模拟 例1、规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中， 代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组， 因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为. 故选：A. 例2、盒中有大小、形状相同的5个白球和2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率： （1）任取1球，得到白球； （2）任取3球，恰有2个白球； （3）任取3球（分三次，每次放回后再取），恰有3个白球． 【解析】用计算机或者是计算器产生l～7之间取整数值的随机数． （1）统计随机数个数n以及小于6的随机数个数n1，则即为任取1球，得到白球的概率的近似值； （2）将获得的随机数分为三个数一组（每组内数字不重复），统计总组数m及恰有两个小于6的组数m1，那么即为任取3球，恰有2个白球的概率的近似值． （3）将获得的随机数分为三个数一组（每组内数字可重复），统计总组数后及三个数都小于6的组数k1，那么即为任取3球。恰有3个白球的概率的近似值． 举一反三 1．给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有(　　) A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值， 一批产品次品率为0.05，则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，①错误； 对于②，100次并不是无穷多次，只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故②错误； 对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误； 对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，④正确. 故选：D. 2．将一枚硬币掷10次，正面向上出现了6次，若用表示正面向上这一事件，则( ) A．发生的概率为 B．发生的概率接近 C．在这十次试验中发生的频率为 D．在这十次试验中发生的频率为6 【答案】C 【解析】概率是频率的稳定值，发生的概率等于，故AB错误； 在这十次试验中发生的频率为，故C正确，D错误.故选：C 3.某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( ) A.概率为 B.频率为 C.频率为6 D.概率接近0.6 【答案】B. 4．(多选)下列说法中错误的是(    ) A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖 C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平 D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2 【答案】ABD 【解析】概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A、B、D错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C正确.故选：ABD. 5．手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下： 顾客年龄(岁) 20岁以下 70岁及以上 手机支付人数 3 12 14 9 5 2 0 其他支付方式人数 0 0 2 13 27 12 1 从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在内且未使用手机支付的共有(人)，所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为. 故选：B. 6．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：体重减轻的频率为，用频率估计概率可知：体重减轻的概率为.故选：A. 7.如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 （1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； （2）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率； （3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径． 【答案】（1）0.44（2）略（3）甲应选择L1；乙应选择L2 【解析】 （1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人， ∴用频率估计相应的概率为0.44． （2）选择L1的有60人，选择如的有40人，故由调查结果得频率为： 所用时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 （3）A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站． 由（2）知P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5，P（A1）＞P（A2）， ∴甲应选择L1； P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B2）＞P（B1）， ∴乙应选择L2． 8．一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 【答案】见解析. 【解析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，， 其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色. 游戏所有的结果可以用如图表示. 不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为.因此，这个游戏不公平. 9.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？ 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜 【答案】；；；游戏1和游戏3是公平的 【解析游戏1中，甲获胜的概率为；游戏2中，甲获胜的视率为；游戏3中，甲获胜的概率为，所以游戏1和游戏3是公平的. 10．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683   257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为(　　). A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75 【答案】D 【解析】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 故选：D 11．池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.故选：B. 12．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号(高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上)，在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116  812  730  217  109  361  284  147  318  027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B 13.在一次抽奖活动中，中奖者必须从一个箱子中（箱子中装有标号为1，2，3，4，5的5张卡片）取出一张卡片来决定他获得的是什么奖品． 5种奖品的编号如下：①一次欧洲旅行；②一辆摩托车；③一台高保真音响；④一台数字电视；⑤一个微波炉．用模拟的方法估计： （1）他获得去欧洲旅游的概率是多少？ （2）他获得一台高保真音响或一台数字电视的概率是多少？ （3）他不获得微波炉的概率是多少？ 【解析】设事件A表示“他获得去欧洲旅游”；B表示“他获得一台高保真音响或一台数字电视机”；C表示“他不获得微波炉”． （1）用计算器的随机函数RANDI（1，5）或计算机的随机函数RANDBETWEEN（1，5）产生1～5之间的整数随机数表示它获得奖品的号码． （2）统计试验总次数N及其中1出现的次数N1，出现3或4的次数N2，出现5的次数N3． （3）计算频率，，等，即分别为事件A，B，C的概率的近似值． 课 后 作 业 1． 单选题 1．甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是(    ) A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【答案】B 【解析】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确； 抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误； 甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误.故选：B 2．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是(    ) A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 【答案】B 【解析】由题意知，取到号码为奇数的频率为.故选：B. 3．某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60] 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30，40)内的频率是(　　) A．0.80 B．0.65 C．0.40 D．0.25 【答案】C 【解析】根据表格中的数据，可得该植物一年生长在内的频率.故选：C. 4．手机支付已经成为人们常用的付费方式，某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下， 顾客年龄(岁) 20岁以下 70岁及以上 手机支付人数 3 12 14 9 5 2 0 其他支付方式人数 0 0 2 13 27 12 1 从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：该顾客年龄在内且未使用手机支付的频率为， 用频率估计概率，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.故选：C. 5．张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是(　　) ①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜; ②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜; ③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜; ④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜. A．①② B．② C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【解析】①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和偶数是等可能的，均为，所以公平；②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅为(正,正),因此②中游戏不公平.③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和黑色是等可能的，均为，所以公平；④张明、张华两人各写一个数字6或8,一共四种情况(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，两人写的数字相同和不同是等可能的，均为，所以公平；. 故选B. 6．某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用M表示“正面朝上”这一事件，则M的（ ） A．概率为 B．频率为 C．频率为6 D．频数为 【答案】B 【解析】抛掷10次，正面向上发生了6次，即事件M的频数为6，∴M的频率为． 7.下列说法正确的是(    ) A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【答案】A 【解析】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确， 对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误， 对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误， 对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误，故选：A 2． 多选题 8．利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表： 序号 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.5 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 根据以上信息，下面说法正确的有(    ) A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性 B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好 C．随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近 D．我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率 【答案】ABC 【解析】对于A选项：根据表中数据得到试验次数相同时，频率可能不同，则说明随机事件发生的频率具有随机性，所以A选项正确；对于B选项：分别对比每个序号重复试验次数分别为20，100，500的频率可得试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，则试验次数越多越好，所以B选项正确； 对于C选项：根据表中数据得到随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近，所以C选项正确；对于D选项：我们要想得到某事件发生的概率，需要进行多次重复试验才能得到概率的估计值，所以D选项错误；故选：ABC. 9．下列说法不正确的是(    ) A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水 【答案】AD 【解析】中奖概率为，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，故A错误；结合概率的概念即可判断B项正确；C项中说的是“可以认为”，故C项正确：降水概率为70%就是降水的可能性有70%，故D错误. 故选：AD. 10．下列说法不正确的是(    ) A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场 B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈 C．随机试验的频率与概率相等 D．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为 【答案】ABC 【解析】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则A，B是错的.频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数较多时频率会稳定在概率附近，则C错误，D正确.故选：ABC. 11．下列说法中错误的有( ) A．任何事件的概率总是在(0，1)之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 【答案】ABD 【解析】必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，故A错；频率是由试验的次数决定的，故B错；概率是频率的稳定值，故C正确，D错. 故选：ABD. 3． 填空题 12．某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 ． 【答案】 【解析】事件A出现的频率为.故答案为： 13．在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为 ． 【答案】 【解析】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组，据此估计甲获得冠军的概率为．故答案为：. 14．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35 据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为 ． 【答案】 【解析】两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一.它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率为=0.5.故答案为：. 4． 解答题 15．根据统计，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次． (1)求这名运动员的投篮命中率； (2)若这名运动员要想投篮命中10000次，则大概需要投篮多少次？(结果精确到100) (3)根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”这一说法是否正确． 【答案】(1)(2)(3)不正确 【解析】(1)根据题意，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次， 则这名运动员的投篮命中率； (2)若这名运动员要想投篮命中10000次，则有； (3)虽然这名运动员的投篮命中率，但由概率的定义，“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”说法不正确. 16．对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 150 200 300 400 检出次品件数 5 7 9 15 21 30 检出次品频率 (1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率； (2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？ 【答案】(1)0.1，0.07，0.06，0.075，0.07，0.075；(2)0.075；(3)75件. 【解析】(1)利用频率的计算公式可得，每次次检出次品的频率即为当次检出次品件数除以本次抽取件数， 所以从左到右的6次检测对应的频率分别为：，，，，， 所以，对应的频率表格如下： 抽取件数 50 100 150 200 300 400 检出次品件数 5 7 9 15 21 30 检出次品频率 0.1 0.07 0.06 0.075 0.07 0.075 (2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率约为6次检出次品频率的稳定值， 即，所以抽到次品的经验概率约为； (3)由(2)可知，销售1000件西装大约有件次品， 所以，应当准备75件正品西装以供买到次品的顾客调换. 17．已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135，256，345等) 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. (1)由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. (2)这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【答案】(1)见解析；(2)不公平，理由见解析. 【解析】(1)由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. (2)不公平由(1)知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得， 又A与B对立，所以， 所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 7.3频率与概率 知 识 梳 理 1．频率与频数 在相同条件下重复次试验，观察某一事件A是否出现，称次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率。 2．概率 事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A). 由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 注意：（1）概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小. 求事件A的概率的前提是：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用来表示越精确。 （2）任一事件A的概率范围为，可用来验证简单的概率运算错误，即若运算结果概率不在范围内，则运算结果一定是错误的. 3．概率与频率的关系 （1）频率是概率的近似值。 随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，在实际问题中，事件的概率未知时，常用频率作为它的估计值。 （2）频率是一个随机数 频率在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的频率可能相同也可能不同。 （3）概率是一个确定数 概率是客观存在的，与每次试验无关。 （4）概率是频率的稳定值 随着试验次数的增加，频率就会逐渐地稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数就是概率。 例题讲解 考法一 频率与概率 例1、抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是(    ) A．抛掷硬币次，事件必发生次 B．抛掷硬币次，事件不可能发生次 C．抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于 D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近 考法二 频率估计概率 例1、(多选)“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是(    ) A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C．北京和上海都可能没降雨 D．北京降雨的可能性比上海大 例2、每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间(单位：时)进行调查，统计数据如下表所示： 学习时间(时) 党员人数 8 13 9 10 10 则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为(    ) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 例3、一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下． 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数n 5544 9607 13520 17190 男婴数m 2883 4970 6994 8892 （1）计算男婴出生的频率（保留4位小数）； （2）这一地区男婴出生的概率约是多少？ 例4、某人做了三次向桌面投掷硬币的试验，这三次试验的结果如下： 第一次 试验次数 1000 正面向上的次势 499 反面向上的次数 501 第二次 试验次数 1000 正面向上的次数 497 反面向上的次数 503 第三次 试验次数 3000 正面向上的次数 1497 反面向上的次数 1503 （1）就这三个表格，谈一谈你对频率是一个随机数的认识． （2）设想：把这三个表格里面的试验次数不断地增加．预测1：每一个表格里面的试验次数增至原来的10倍时，这三次试验中，正面向上的频率是0.5；预测2：随着试验次数的不断增加，这三次试验中，反面向上的概率都是0.5．预测1、预测2正确吗？ 考法三 游戏的公平性 例1、下面有三个游戏，其中不公平的游戏是(    ) 取球方式 结果 游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜 游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜. 游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜. A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 考法四 随机模拟 例1、规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为(    ) A． B． C． D． 例2、盒中有大小、形状相同的5个白球和2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率： （1）任取1球，得到白球； （2）任取3球，恰有2个白球； （3）任取3球（分三次，每次放回后再取），恰有3个白球． 举一反三 1．给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有(　　) A． ① B．② C．③ D．④ B． 2．将一枚硬币掷10次，正面向上出现了6次，若用表示正面向上这一事件，则( ) A．发生的概率为 B．发生的概率接近 C．在这十次试验中发生的频率为 D．在这十次试验中发生的频率为6 3.某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( ) A.概率为 B.频率为 C.频率为6 D.概率接近0.6 4．(多选)下列说法中错误的是(    ) A．抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B．如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖 C．在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平 D．一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2 5．手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下： 顾客年龄(岁) 20岁以下 70岁及以上 手机支付人数 3 12 14 9 5 2 0 其他支付方式人数 0 0 2 13 27 12 1 从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为(    ) A． B． C． D． 6．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为(    ) A． B． C． D． 7.如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 （1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； （2）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率； （3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径． 8．一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 9.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？ 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜 10．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683   257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为(　　). A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75 11．池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为(    ) A． B． C． D． 12．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号(高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上)，在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是(    ) A． B． C． D． 13.在一次抽奖活动中，中奖者必须从一个箱子中（箱子中装有标号为1，2，3，4，5的5张卡片）取出一张卡片来决定他获得的是什么奖品． 5种奖品的编号如下：①一次欧洲旅行；②一辆摩托车；③一台高保真音响；④一台数字电视；⑤一个微波炉．用模拟的方法估计： （1）他获得去欧洲旅游的概率是多少？ （2）他获得一台高保真音响或一台数字电视的概率是多少？ （3）他不获得微波炉的概率是多少？ 课 后 作 业 1． 单选题 1．甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是(    ) A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 2．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是(    ) A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 3．某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60] 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30，40)内的频率是(　　) A．0.80 B．0.65 C．0.40 D．0.25 4．手机支付已经成为人们常用的付费方式，某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下， 顾客年龄(岁) 20岁以下 70岁及以上 手机支付人数 3 12 14 9 5 2 0 其他支付方式人数 0 0 2 13 27 12 1 从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为(  ) A． B． C． D． 5．张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是(　　) ①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜; ②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜; ③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜; ④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜. A．①② B．② C．②③④ D．①②③④ 6．某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用M表示“正面朝上”这一事件，则M的（ ） A．概率为 B．频率为 C．频率为6 D．频数为 7.下列说法正确的是(    ) A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 2． 多选题 8．利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表： 序号 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.5 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 根据以上信息，下面说法正确的有(    ) A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性 B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好 C．随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近 D．我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率 9．下列说法不正确的是(    ) A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水 10．下列说法不正确的是(    ) A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场 B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈 C．随机试验的频率与概率相等 D．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为 11．下列说法中错误的有( ) A．任何事件的概率总是在(0，1)之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 3． 填空题 12． 某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 ． 13．在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为 ． 14．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35 据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为 ． 4． 解答题 15．根据统计，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次． (1)求这名运动员的投篮命中率； (2)若这名运动员要想投篮命中10000次，则大概需要投篮多少次？(结果精确到100) (3)根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”这一说法是否正确． 16．对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 150 200 300 400 检出次品件数 5 7 9 15 21 30 检出次品频率 (1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率； (2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售1000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？ 17．已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135，256，345等) 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. (1)由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. (2)这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$