7.2古典概型讲义-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 7.2古典概型 知 识 梳 理 1.随机事件的概率 对于一个随机事件A，我们通常用一个数来表示该事件发生的可能性大小，这个数就称为随机事件A的概率 2.古典概型的定义： (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. 3.计算古典概型的概率的基本步骤为： (1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m； (2)计算基本事件的总数n； (3)应用公式计算概率. 4.古典概型的概率公式： .应用公式的关键在于准确计算事件A所包含的基本事件的个数和基本事件的总数. 5.概率的基本性质 （1）任一事件A的概率有：； （2）必然事件B的概率P(B)=1； （3）不可能事件C的概率P(C)=0. （4）互斥事件的概率加法公式 在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有 特别地，，即=1，所以 一般地，如果事件两两互斥，那么有 例题讲解 考法一 古典概型 例1、判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）一个小组有男生5人，女生3人，从中男女各任选取一名进行活动汇报，每个人被选到的概率相等； （2）一个口袋中装有大小相等、质地均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的概率相同。 例2、例3．从分别写有l，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中，任取2张，观察上面的数字，求下列事件的概率： （1）两个数的和为奇数； （2）两个数的积为完全平方数． 例3、从集合中任取两个元素，则这两个元素的差的绝对值为2的概率为(    ) A． B． C． D． 例4、(多选)下列情境适合用古典概型来描述的是(    ) A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置 B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况 C．从一副扑克牌(去掉大、小王共52张)中随机选取1张，这张牌是红色牌 D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶 例5、一个口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外全都相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，求第二个人摸到白球的概率． 例6、一盒中装有各色球12只，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球；从中随机取出1球．求： （1）取出的1球是红球或黑球的概率； （2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率． 考法二 概率的基本性质 例1、已知，.(1)如果，那么 ， ，；(2)如果A，B互斥，那么 ， ， 例2、(多选题)设为两个随机事件，以下命题错误的为( ) A．若是对立事件，且，则 B．若是对立事件，则 C．若是互斥事件，，，则 D．若是互斥事件，，则 例3、甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求： （1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率． 例4、某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如表所示． 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 结算时间（分钟／人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客点55%． （1）求x，y的值． （2）求顾客一次购物的结算时间超过2分种的概率． 例5、 玻璃盒子中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，设事件A为“取出一只红球”，事件B为“取出一只黑球”，事件C为“取出一只白球”，事件D为“取出一只绿球”，求（1）“取出一球为红球或黑球”的概率．（2）“取出一球为红球或黑球或白球”的概率． 举一反三 1．甲、乙两校各有名教师报名支教，若从报名的名教师中任选名，则选出的名教师来自不同学校的概率为(    ) A． B． C． D． 2．工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为(    ) A． B． C． D． 3．安徽省新高考拟采用“”模式，其中“3”指的是语文、数学、英语三科必选科目，“1”指的是从物理或历史两科中选一科，即“首选科目”，“2”指的是从化学、生物、思想政治、地理四科中选两科，即“再选科目”.已知某工业大学工程类招生选科要求首选科目为物理，再选科目为化学、生物中至少有1科.从所有选科组合中任意选取1个，则选科组合符合该工业大学工程类招生选科要求的概率为(    ) A． B． C． D． 4．已知事件A，B是互斥事件，，，则(    ) A． B． C． D． 5. (多选题)设为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为( ) A．若，，则当且仅当时，是互斥事件 B．若，，则是必然事件 C．若，是互斥事件，，则； D．若，是对立事件，则； 6．(多选)下列说法中不正确的是(    ) A．若事件A与事件B是互斥事件，则 B．若事件A与事件B满足条件，则事件A与事件B是对立事件 C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D．从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件 7.用红、黄、蓝三种不同颜色给3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：3个矩形颜色都不同的概率． 8. 将一枚硬币连掷3次，求至少出现1次正面的概率． 9.在一次“知识竞赛”活动中，有四道题，其中为难度相同的容易题，为中档题，为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答. （Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； （Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率. 10.某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度（单位：厘米），并把这些高度列成了如下的频数分布表： 分组 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数 2 3 14 15 12 4 （1）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于80厘米的概率是多少？ （2）这批树苗的平均高度大约是多少？（计算时用各组的中间值代替各组数据的平均值）； （3）为了进一步获得研究资料，若从[40，50）组中移出一棵树苗，从[90，100]组中移出两棵树苗进行试验研究，则[40，50）组中的树苗A和[90，100]组中的树苗C同时被移出的概率是多少？ 11. 盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”。已知，，求“3个球中既有红球又有白球”。 12.某人射击1次命中7～10环的概率如下表 命中环数 7 8 9 10 命中概率 0.33 0.27 0.19 0.11 (1)求射击1次，至少命中7环的概率； (2)求射击1次，命中不足7环的概率. 13.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组；第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？ （2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽的概率． 14.1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试(满分120分)和二试(满分180分)，在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克暨全国中学生数学冬令营”，已知2023年某地区有50名学生参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求实数的值并估计这50名学生一试成绩的70%分位数； (2)若一试成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲在这50名学生一试成绩中按照分层抽样的原则从和内抽取3份试卷进行审阅，已知同学的成绩是105分，同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率． 课 后 作 业 1．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知，，则出现奇数点或2点的概率是（ ） A． B． C． D． 2．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（ ）． A． B． C． D． 3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）． A． B． C． D． 4．已知随机事件和互斥，且，，则事件的对立事件的概率为(    ) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 5．给出下列命题，其中说法正确的是(    ) A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 6．（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是(    ) A．如果事件与事件互斥，那么 B．如果事件与事件互斥，那么 C．如果事件与事件对立，那么 D．如果事件与事件对立，那么 9. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________． 10. 已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 。 11．一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为 ． 12．甲､乙两人下象棋，已知甲获胜的概率是，平局的概率是，则乙获胜的概率是 . 13．若A，B互为对立事件，，，且，，则的最小值是 . 14．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图，这是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由3根线组成(“”表示1根阳线，“”表示1根阴线)，从八卦中任取两卦，则两卦的6根线中恰有4根阳线和2根阴线的概率为 ．    12．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． （1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； （2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率． 13.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是。问： （1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？ 14. 黄种人群中各种血型的人所占比例如下： 血型 A B AB O 该血型的人所占比例（%） 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问： （1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ （2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 7.2古典概型 知 识 梳 理 1.随机事件的概率 对于一个随机事件A，我们通常用一个数来表示该事件发生的可能性大小，这个数就称为随机事件A的概率 2.古典概型的定义： (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. 3.计算古典概型的概率的基本步骤为： (1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m； (2)计算基本事件的总数n； (3)应用公式计算概率. 4.古典概型的概率公式： .应用公式的关键在于准确计算事件A所包含的基本事件的个数和基本事件的总数. 5.概率的基本性质 （1）任一事件A的概率有：； （2）必然事件B的概率P(B)=1； （3）不可能事件C的概率P(C)=0. （4）互斥事件的概率加法公式 在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有 特别地，，即=1，所以 一般地，如果事件两两互斥，那么有 例题讲解 考法一 古典概型 例1、判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）一个小组有男生5人，女生3人，从中男女各任选取一名进行活动汇报，每个人被选到的概率相等； （2）一个口袋中装有大小相等、质地均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的概率相同。 【答案】这两个问题的说法都不正确。 【解析】（1）从5个男生中选一个男生的结果种数是5种，每个男生被选到的概率为，而从3个女生中选一个女生的结果种数有3种，每个女生被选到的概率为，所以不是每个人被选到的概率都是相等的； （2）从袋中任取一个球共有6种取法，取得红球有3种取法，所以取到红球的概率是；取得黑球有2种取法，所以取到黑球的概率为；取得白球只有1种取法，所以取到白球的概率为．由此可知，虽然每个球被取到的概率相等，但并不是每种颜色的球被取到的概率都相等． 例2、例3．从分别写有l，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中，任取2张，观察上面的数字，求下列事件的概率： （1）两个数的和为奇数； （2）两个数的积为完全平方数． 【答案】（1）（2） 【解析】假设抽取卡片有先后顺序，无放回，则基本事件空间与点集S={（x，y）|x∈N*，y∈N*，1≤x≤9，1≤y≤9且x≠y}中的元素一一对应，而S中点的个数有9×8=72（个），所以基本事件总数为72，而本题中抽取卡片无序，所以基本事件总数为36个． （1）和为奇数的条件是当且仅当两个数的奇偶性不同，即从1，3，5，7，9中取1个数和从2，4，6，8中取1个数的情况． 从1，3，5，7，9中抽取1个数的情况有5种，从2，4，6，8中抽取1个数的情况有4种，故“两个数和为奇数”的基本事件共5×4=20（个）．∴． （2）当且仅当所取两个数的积为1×4，1×9，2×8，4×9时，两个数的积为完全平方数． ∴两个数的积为完全平方数共有4种情况． ∴概率． 例3、从集合中任取两个元素，则这两个元素的差的绝对值为2的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从集合中任取两个元素的取法有，共6种， 其中满足两个元素的差的绝对值为2的取法有，共3种. 故这两个元素的差的绝对值为2的概率为.故选：B. 例4、(多选)下列情境适合用古典概型来描述的是(    ) A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置 B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况 C．从一副扑克牌(去掉大、小王共52张)中随机选取1张，这张牌是红色牌 D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶 【答案】BC 【解析】对于A，实验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误，对于B，实验结果有限且等可能，故正确，对于C，实验结果有限且等可能，故正确，对于D，显然实验并非等可能，故错误.故选：BC 例5、一个口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外全都相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，求第二个人摸到白球的概率． 【答案】 【解析】方法一：用A表示事件“第二个人摸到白球”．把2个白球编号1，2；2个黑球编号3，4． 把四个人从袋中各摸出一球的所有可能的结果用树根图直观地表示出来，如下图所示． 从树形图可以看出，试验的结果其总数为24．由于口袋内的4个球的形状完全相同，所以这24种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型．在这24种结果中纵向看图，第二列中的1或2就是第二个人摸到白球的情况，可见第二个人摸到白球的结果有12种，所以，． 方法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们可以只考虑前两个人摸球的情况．前两个人依次从袋中摸出一球的所有可能用树形图列举出来，如下图所有结果数为12． 由于4个球的形状完全相同，所以这12种结果的出现都是等可能的，这个模型是古典概型．在12种结果中，第二个人模到白球的结果有6种，所以． 方法三：只考虑颜色，四个人依次摸出一球的所有结果用树形图列举出来，如下图，共有6种结果． 同理，第二个人摸到白球有3种结果，所以． 方法四：只考虑第二个人摸出球的情况，他可能摸到这4个球中的任何一个，这4种结果的出现都是等可能的，第二个人摸到白球的结果只有2种，所以。 例6、一盒中装有各色球12只，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球；从中随机取出1球．求： （1）取出的1球是红球或黑球的概率； （2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果； 满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有9种结果，∴概率为． （2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果； 满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共11种结果，∴概率为． 即取出1球是红球或黑球的概率为；取出的1球是红球或黑球或白球的概率为． 考法二 概率的基本性质 例1、已知，.(1)如果，那么 ， ，；(2)如果A，B互斥，那么 ， ， 【答案】 0.5 0.3 0.2 0.8 0 0.5 【解析】(1)如果，那么，，所以，， (2)如果A，B互斥，那么，则，， 故答案为：0.5；0.3；0.8；0； 例2、(多选题)设为两个随机事件，以下命题错误的为( ) A．若是对立事件，且，则 B．若是对立事件，则 C．若是互斥事件，，，则 D．若是互斥事件，，则 【答案】AC 【解析】对于选项A，若是对立事件，则，故A项错误；对于选项B，当是对立事件时，，故B项正确；对于选项C，当是互斥事件，，，则，故C项错误；对于选项D，若是互斥事件，，则，故D项正确.故选：AC. 例3、甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求： （1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率． 【解析】 甲、乙两人下棋，其结果有甲胜、和棋、乙胜三种，它们是互斥事件，甲获胜可看做是“和棋或乙胜”的对立事件．“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，亦可看做“乙胜”的对立事件． （1）“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率． 即甲获胜的概率是． （2）解法一：设事件A为“甲不输”，可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以． 解法二：设事件A为“甲不输”，可看做是“乙胜”的对立事件，所以． 即甲不输的概率是． 例4、某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如表所示． 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 结算时间（分钟／人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客点55%． （1）求x，y的值． （2）求顾客一次购物的结算时间超过2分种的概率． 【解析】（1）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20； （2）记A：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟； ：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟； ：该顾客一次购物的结算时间为3分钟； 将频率视为概率可得 ∴一位顾客一次购物的结算时间超过2分种的概率为0.3． 例5、 玻璃盒子中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，设事件A为“取出一只红球”，事件B为“取出一只黑球”，事件C为“取出一只白球”，事件D为“取出一只绿球”，求（1）“取出一球为红球或黑球”的概率．（2）“取出一球为红球或黑球或白球”的概率． 【解析】由于事件A、B、C、D彼此为互斥事件，因此可通过两种角度解决此问题． 解法一：视其为互斥事件，进而求概率． （1）“取出红球或黑球”的概率为。 （2）“取出红球或黑球或白球”的概率为 ． 解法二：应用对立事件求概率． （1）“取出红球或黑球”的对立事件为“取出白球或绿球”，即A∪B的对立事件为C∪D， ∴“取出红球或黑球”的概率为． （2）“取出一球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出一球为绿球”，即A∪B∪C的对立事件为D，． 举一反三 1．甲、乙两校各有名教师报名支教，若从报名的名教师中任选名，则选出的名教师来自不同学校的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设甲校报名支教的两名教师为，乙校报名支教的两名教师为，从这报名的名教师中任选名，共有这6种情况，选出的名教师来自不同学校共有这4种情况，所以所求概率为.故选：C. 2．工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】三名男工人记为，两名女工人记为， 任选两人的试验的样本空间，共10个样本点， 选出两人恰好都是男工人的事件，共3个样本点， 所以这两名工人恰好都是男工人的概率. 故选：C 3．安徽省新高考拟采用“”模式，其中“3”指的是语文、数学、英语三科必选科目，“1”指的是从物理或历史两科中选一科，即“首选科目”，“2”指的是从化学、生物、思想政治、地理四科中选两科，即“再选科目”.已知某工业大学工程类招生选科要求首选科目为物理，再选科目为化学、生物中至少有1科.从所有选科组合中任意选取1个，则选科组合符合该工业大学工程类招生选科要求的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】用，，，，，分别表示“选择物理”“选择历史”“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，则所有选科组合的样本空间， 共有12个样本点，且每个样本点出现的可能性相同.设事件表示“选科组合符合该工业大学工程类招生选科要求”，则，共有5个样本点，∴.故选：C. 4．已知事件A，B是互斥事件，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，∴， ∵事件A，B是互斥事件，∴．故选：C 5. (多选题)设为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为( ) A．若，，则当且仅当时，是互斥事件 B．若，，则是必然事件 C．若，是互斥事件，，则； D．若，是对立事件，则； 【答案】AD 【解析】对于A，因为，所以是互斥事件，所以A正确， 对于B，若事件为“抛骰子点数出现1或2”，则， 若事件为“抛骰子点数出现的是小于等于4”，则，而此时不是必然事件，所以B错误， C选项，由是互斥事件，则，故C错误； D选项，由是对立事件，则为必然事件，即，故D正确；故选：AD 6．(多选)下列说法中不正确的是(    ) A．若事件A与事件B是互斥事件，则 B．若事件A与事件B满足条件，则事件A与事件B是对立事件 C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D．从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件 【答案】ABC 【解析】对于A，事件A与事件B是互斥事件，但不一定是对立事件，故A不正确；对于B，若是在同一试验下，由，说明事件A与事件B一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有，但事件A与事件B不一定对立，故B不正确；对于C，一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”有可能同时发生，不是对立事件，故C不正确；对于D，事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件，故D正确．故选：ABC. 7.用红、黄、蓝三种不同颜色给3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：3个矩形颜色都不同的概率． 【解析】 所有可能的基本事件共有27个，如下图． 红 红 黄 蓝 黄 红 黄 蓝 蓝 红 黄 蓝 红 蓝 红 黄 蓝 黄 红 黄 蓝 蓝 红 黄 蓝 红 黄 红 黄 蓝 黄 红 黄 蓝 蓝 红 黄 蓝 红 设“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有2×3=6（个），故． 8. 将一枚硬币连掷3次，求至少出现1次正面的概率． 【答案】 【解析】解法一：设A表示“连掷3次硬币出现正面”，B表示“连掷3次硬币”，则B={（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正），（反，反，反）}，B有8个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，且A={（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正）}，事件A有7个基本事件组成，所以． 解法二：设A1表示“连掷3次硬币有一次出现正面”，A2表示“连掷3次硬币有两次出现正面”，A3表示“连掷3次硬币有三次出现正面”，A表示“连掷3次硬币出现正面．” 显然，A=A1∪A2∪A3，由解法一容易得出，，，又因为A1、A2、A3彼此是互斥事件，所以，P（A）=P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=． 解法三：在本题中，显然表示“连掷3次硬币三次均出现反面”的事件，且．根据（，得． 9.在一次“知识竞赛”活动中，有四道题，其中为难度相同的容易题，为中档题，为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答. （Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率； （Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，. （Ⅰ）用表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则包含的基本事件有：，，，，，. 所以. （Ⅱ）用表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则包含的基本事件有：，，，，. 所以. 10.某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度（单位：厘米），并把这些高度列成了如下的频数分布表： 分组 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数 2 3 14 15 12 4 （1）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于80厘米的概率是多少？ （2）这批树苗的平均高度大约是多少？（计算时用各组的中间值代替各组数据的平均值）； （3）为了进一步获得研究资料，若从[40，50）组中移出一棵树苗，从[90，100]组中移出两棵树苗进行试验研究，则[40，50）组中的树苗A和[90，100]组中的树苗C同时被移出的概率是多少？ 【答案】（1）；（2）73.8；（3） 【解析】（1）∵高度不低于80厘米的频数是12+4=16，∴高度不低于80厘米树苗的概率为． （2）根据题意，样本容量即各组频率之和为2+3+14+15+12+4=50， 则树苗的平均高度； （3）设[40，50）组中的树苗为A、B，[90，100]组中的树苗为C、D、E、F， 则基本事件总数为12，它们是：ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF， 而满足A、C同时被移出的事件为ACD、ACE、ACF共3种，∴树苗A和树苗C同时被出的概率． 11. 盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”。已知，，求“3个球中既有红球又有白球”。 【答案】 【解析】 记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A（“3个球中有1个红球，2个白球”）和事件B（“3个球中有2个红球，1个白球”），而且事件A与事件B是互斥的，所以 ． 12.某人射击1次命中7～10环的概率如下表 命中环数 7 8 9 10 命中概率 0.33 0.27 0.19 0.11 (1)求射击1次，至少命中7环的概率； (2)求射击1次，命中不足7环的概率. 【答案】（1）0.9 (2)0.1 【解析】(1)设事件“射击1次，命中k环”为()，那么事件彼此互斥，设“射击1次，至少命中7环”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得 ++； (2)事件“射击1次，命中不足7环”是事件A“射击1次，至少命中7环”的对立事件，记为；根据对立事件的概率公式，得 答：射击1次，至少命中7环的概率是0.9，射击1次，命中不足7环的概率是0.1. 13.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组；第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？ （2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽的概率． 【答案】（1）分别抽取3人，2人，1人；（2） 【解析】（1）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10． 因为第3，4，5组共有60名志愿者， 所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：． 所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人； （2）记第3组的3名志愿者为，，，第4组的2名志愿者为，．则从5名志愿者中抽取2名志愿者有： （，，），（，），（，），（，）， （，），（，），（，） （，），（，），（，）共有10种． 其中第4组的2名志愿者，至少有一名志愿者被抽中的有： （，），（，），（，），（，）， （，），（，），（，），共有7种 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为． 14.1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试(满分120分)和二试(满分180分)，在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克暨全国中学生数学冬令营”，已知2023年某地区有50名学生参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求实数的值并估计这50名学生一试成绩的70%分位数； (2)若一试成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲在这50名学生一试成绩中按照分层抽样的原则从和内抽取3份试卷进行审阅，已知同学的成绩是105分，同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率． 【答案】(1)，70%分位数为91；(2). 【解析】(1)由上表可知，，解得， 设这50名学生一试成绩的70%分位数为， 由于前三个矩形面积，前四个矩形面积， 故得，，解得， 即这50名学生一试成绩的70%分位数约为91． (2)由图知，成绩在有人，成绩在有人， 根据分层抽样的原则，成绩在抽2份，成绩在抽1份， 设，，，四位同学的成绩在，，两位同学的成绩在， 根据分层抽样的原则有，，，，，，，，， ，，共12个样本，符合条件的，，共3个样本， 所以符合条件的概率为，即，两位同学的试卷都被抽到的概率为． 课 后 作 业 1．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知，，则出现奇数点或2点的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现2点是互斥事件，， ∴出现奇数点或2点的概率根据互斥事件的概率公式得到。 2．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】编号和不小于15有3种可能，故概率 3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 从4张卡片中任取2张有6种可能，数字之和为奇数的有4种，则概率为． 4．已知随机事件和互斥，且，，则事件的对立事件的概率为(    ) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】D 【解析】根据题意，因为，事件和互斥，所以， 所以，所以事件的对立事件发生的概率为.故选：D. 5．给出下列命题，其中说法正确的是(    ) A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A选项：当A，B为两个互斥事件时，才有，所以A选项错误；对于B选项：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B选项错误；对于C选项：当A，B为互斥事件时，，所以C选项正确；对于D选项：由概率的性质可知，若，则，所以D选项错误；故选：C. 6．（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是(    ) A．如果事件与事件互斥，那么 B．如果事件与事件互斥，那么 C．如果事件与事件对立，那么 D．如果事件与事件对立，那么 【答案】ACD 【解析】对于A，事件与事件互斥，则，A正确； 对于B，事件与事件互斥，事件不一定是必然事件，即不一定为1，B错误； 对于C，事件与事件对立，则事件与事件互斥，有，C正确； 对于D，事件与事件对立，事件是必然事件，则，D正确.故选：ACD 9. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________． 【答案】 【解析】根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为、，则一次取出2只球，基本事件为AB、A、A、B、B、共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、A、A、B、B共5种； 所以所求的概率是．故答案为：． 10. 已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 。 【答案】 【解析】把六个黑子分别标注上黑1、黑2…黑6，九个白子分别标注上白1、白2…白9，这些球分别两两组合，这样共有基本事件总数105，都是黑子的基本事件数是15，故所选两球都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，所以从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是：。 11．一个不透明口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为 ． 【答案】 【解析】画出树状图: 由树状图可知：基本事件的总数共有16种，其中第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号有6种， 所以第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为.故答案为：. 12．甲､乙两人下象棋，已知甲获胜的概率是，平局的概率是，则乙获胜的概率是 . 【答案】 【解析】设事件表示“乙获胜”，则，则.故答案为：. 13．若A，B互为对立事件，，，且，，则的最小值是 . 【答案】8 【解析】因为A，B互为对立事件，则，且，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是8.故答案为：8. 14．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图，这是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由3根线组成(“”表示1根阳线，“”表示1根阴线)，从八卦中任取两卦，则两卦的6根线中恰有4根阳线和2根阴线的概率为 ．    【答案】 【解析】由题意可知，从八卦中任取两卦，则样本空间{(乾，坤)，(乾，震)，(乾，巽)，(乾，坎)，(乾，离)，(乾，艮)，(乾，兑)，(坤，震)，(坤，巽)，(坤，坎)，(坤，离)，(坤，艮)，(坤，兑)，(震，巽)，(震，坎)，(震，离)，(震，艮)，(震，兑)，(巽，坎)，(巽，离)，(巽，艮)，(巽，兑)，(坎，离)，(坎，艮)，(坎，兑)，(离，艮)，(离，兑)，(艮，兑)}，共包含28个样本点．八卦中，3根都是阳线的有一卦，2根阳线、1根阴线的有三卦，1根阳线、2根阴线的有三卦，3根都是阴线的有1卦， 记事件“从八卦中任取两卦，这两卦的6根线中恰有4根阳线和2根阴线”为A， 则{(乾，震)，(乾，坎)，(乾，艮)，(巽，离)，(巽，兑)，(离，兑)}，共包含6个样本点， 故所求概率为故答案为：. 12．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． （1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； （2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率． 【解析】（1）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为： （A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F，），（C，D），（C，E），（C，F）共9种， 从中选出两名教师性别相同的结果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F）共4种，选出的两名教师性别相同的概率为． （2）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为： （A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种， 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： （A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F）共6种， 选出的两名教师来自同一学校的概率为． 13.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是。问： （1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？ 【解析】（1）因为取到红心（事件A）与取到方块（事件B）不能同时发生，所以A与B是互斥事件，且有C=A∪B，故由互斥事件的概率的加法公式，得 P（C）=P（A∪B）=P（A）+P（B）=． （2）因为当取一张牌时，取到红色牌（事件C）与取到黑色牌（事件D）不可能同时发生，所以C与D是互斥事件，又由于事件C与事件D必有一者发生，即C∪D为必然事件，所以C与D互为对立事件，所以 P（D）=1－P（C）=． 14. 黄种人群中各种血型的人所占比例如下： 血型 A B AB O 该血型的人所占比例（%） 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问： （1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ （2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？ 【解析】（1）对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A＇，B＇，C＇，D＇，它们是互斥的，由已知，有： P（A＇）=0.28，P（B＇）=0.29，P（C＇）=0.08，P（D＇）=0.35． 因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给小明血的人”为事件B＇∪D＇，根据互斥事件的概率加法公式，有P（B＇∪D＇）=P（B＇）+P（D＇）=0.29+0.35=0.64． 所以任找一人，其血可以输给小明的概率是0.64． （2）由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输血给小明的人”为事件、A＇∪C＇，且P（A＇∪C＇）=P（A＇）+P（C＇）=0.28+0.08=0.36． 所以任找一人，其血不能输给小明的概率是0.36． 学科网（北京）股份有限公司 $$