精品解析：云南省楚雄州中小学2024-2025学年高一下学期期末教育学业质量监测数学试卷

楚雄州中小学2024—2025学年下学期期末教育学业质量监测 高中一年级 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两向量垂直的坐标关系列式求解. 【详解】由题意得，得. 故选：A. 2. 已知集合，则的整数元素的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求出集合，再利用并集运算求出，得解. 【详解】由题意得，则， 所以的整数元素为，共6个. 故选：B. 3. 从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（ ） A. 和不互斥 B. 和互斥且不对立 C. 和不互斥 D. 和互斥且不对立 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得样本空间，进而求得的样本点，可得结论. 【详解】这个试验的样本空间为， 则和互斥且对立，和互斥且但不对立． 故选：D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得两个不等式的解，可得结论. 【详解】由，得，由，得，因为， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 5. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理，结合向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意得． 故选：C. 6. 已知是在上单调递增的奇函数，则函数在上的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，以及函数的零点，结合排除法，可得结论. 【详解】由，得是奇函数，故C不符合题意． 令，得或，故D不符合题意． 当时，，所以，故A不符合题意． 故选：B． 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的换底公式结合放缩法，以及指数函数的单调性可得结论. 【详解】因为，， ， 所以． 故选：D. 8. 冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获胜（掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应操作）．如图，已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比蓝棋更靠近终点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，红旗、蓝旗与终点的距离相等有点数相同以及点数为4或6两类情况，利用对立事件的概率关系求解. 【详解】当甲、乙各自掷骰子得到的点数相同以及点数为4或6时，最后都会停留在同一个位置， 则红旗、蓝旗与终点的距离相等有种情况，故所求概率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. B. z的实部为 C. z的共轭复数为 D. z在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则求得复数，可求得复数的模，实部，虚部，在复平面内的对应点所在的象限. 【详解】由题意得，则， 的实部为的共轭复数为在复平面内对应的点位于第三象限． 故选：BC. 10. 在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ） A. 该几何体为圆台 B. 该几何体的母线长为5 C. 该几何体的体积为93π D. 该几何体的表面积为56π 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆台的结构特征可得几何体为圆台，求得母线长，圆如的体积与表面积可得结论. 【详解】由题意可知该几何体为圆台，该圆台的母线， 体积为，表面积为． 故选：ABD. 11. 已知的内角的对边分别为，是分别线段上的两点（不包括端点），，且，下列结论正确的是（ ） A. B 若，则 C. 若，则 D. 是定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，再结合余弦定理可求得可判断A；由题意，结合三角形的面积关系可得，，代入计算可判断BC；进而计算可判断D. 【详解】由正弦定理得，得，则，故A正确． 设，则， ． 当时，， 当时，，得，故B错误，C正确． ，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一支探险队有男生24人，女生18人，按照性别采用分层随机抽样的方法从该探险队中抽取一个容量为7的样本，则女生被抽取的人数为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分层抽样的比例关系，列式求解即可. 【详解】女生被抽取的人数为． 故答案为：. 13. 已知α为第四象限角，且，则________，_______． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】利用同角的正余弦的平方关系可求得；利用两角和的余弦公式可求得. 【详解】因为，且α为第四象限角，所以可得， 所以． 故答案为：①；②. 14. 已知函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在上有2个零点，可得所满足的条件，求解即可. 【详解】令，得，所以在上有1个零点， 则在上有2个零点，所以，解得， 所以a取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求在上的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平移变换可求得解析式； （2）结合正弦函数的单调性，利用整体法可求函数的单调递增区间； （3）由已知得，结合正弦函数的图象可求得函数的值域. 小问1详解】 由题意得． 【小问2详解】 由， 得， 所以的单调递减区间为． 【小问3详解】 由，得， 由正弦函数的图象可知，． 故在上的值域为． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）切化弦，利用三角恒等变换与正弦定理角化边即可求解； （2）利用余弦定理可求得，利用向量的数量积的意义计算即可. 【小问1详解】 因为，所以， 得， 得． 由正弦定理得，即． 【小问2详解】 由（1）知,又，， 由余弦定理， 得，得． 因为， 所以． 17. 近年来，楚雄州以千年彝绣为媒，探索幸福就业新路径，持续助力乡村振兴，实现了“培树一个品牌、带动一片就业、富裕一方百姓”的发展目标．楚雄州把彝绣及相关工种列为补贴性职业技能培训的重要内容，积极选拔培养彝绣高技能人才．目前，彝绣行业已有18名从业者获评“兴楚名匠”，占全州“兴楚名匠”总数的16%，是各行业中占比最高的领域．某机构对100名绣娘的彝绣技艺进行了评分，将得到的分数按，，，分为4组，画出如图所示的频率分布直方图． （1）求m的值； （2）估计这100名绣娘的彝绣技艺分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （3）若彝绣技艺分数较高的20%绣娘被评为“彝绣工匠”，试估计被评为“彝绣工匠”的绣娘的最低分数． 【答案】（1） （2）79 （3）87.5 【解析】 【分析】（1）利用概率和为1，求解即可； （2）利用频率分布直方图的平均数的计算方法计算即可； （3）设估计被评为“彝绣工匠”的绣娘的最低分数为分，由题意可得，计算即可. 【小问1详解】 由图可得，得． 【小问2详解】 估计这100名绣娘的彝绣技艺分数的平均数为分． 【小问3详解】 设估计被评为“彝绣工匠”的绣娘的最低分数为分． 因为第四组的频率为， 第三组与第四组的频率之和为， 所以，则，得． 估计被评为＂彝绣工匠＂的绣娘的最低分数为分． 18. 员工甲有两辆自行车．若上班不下雨，他就会骑自行车上班；若下班不下雨，只要公司有他的自行车，他也会骑自行车回家；其他情况下，他均会坐公交上下班．假设甲每天上班、下班下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且每天上下班下雨与否互不影响．已知第一天上班前甲的两辆自行车均在家里． （1）求甲第一天下班回到家里，骑行了一次自行车的概率； （2）求甲第一天下班回到家里，家里有两辆自行车的概率； （3）求甲第一天第二天连续上班两天后回到家里，家里只有一辆自行车的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得甲上班不下雨，下班下雨，求解即可； （2）分甲上班不下雨，下班不下雨与甲上班下雨两种情况求解即可； （3）分他只骑过一次自行车去公司，但是一直没有骑回来与他骑过两次自行车去公司，但是只骑回来一次两种情况求解即可. 【小问1详解】 由题意得甲上班不下雨，下班下雨，则所求概率为． 【小问2详解】 第一种情况，甲上班不下雨，下班不下雨，此时概率为． 第二种情况，甲上班下雨，此时概率为． 故所求概率为． 【小问3详解】 甲第一天第二天连续上班两天后回到家里，要出行四次，家里只有一辆自行车，有两种情况． 第一种情况：他只骑过一次自行车去公司，但是一直没有骑回来． ①第一天上班不下雨，下班下雨，第二天上班下雨，下班下雨，此时概率为． ②第一天上班下雨，第二天上班不下雨，下班下雨，此时概率为． 第二种情况：他骑过两次自行车去公司，但是只骑回来一次． ①第一天上班不下雨，下班下雨，第二天上班不下雨，下班不下雨，此时概率为． ②第一天上班不下雨，下班不下雨，第二天上班不下雨，下班下雨，此时概率为． 故所求的概率为． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角（锐角）的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行判定定理即可证明； （2）取的中点，连接，.根据中位线定理及线面垂直的性质可得，.根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质即可证明； （3）根据线面垂直的性质可得.结合线面垂直的判定定理可得平面，故即为直线与平面所成的角，即.设，则可求得，，.连接，过点作，交的延长线于点，连接.根据线面垂直的性质及线面垂直的判定可得平面，进而，故即为平面和平面所成的角.过点作于点.证明与全等，所以.由等面积法可解得.在中求出即可求解. 【小问1详解】 ∵，分别为棱，的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，. ∵，分别为棱，的中点，∴. ∵平面，∴平面.∵平面，∴. ∵，分别为棱，的中点，∴.∵，∴. ∵，，平面，∴平面. ∵平面，∴. 【小问3详解】 ∵平面，平面，∴. ∵，，，平面，∴平面， ∴即为直线与平面所成的角，∴. 设，则，，. 如图，连接.易得平面和平面的交线为.过点作，交的延长线于点，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，，平面，∴平面. 又平面，∴，∴即为平面和平面所成的角. 过点作于点. ∵，，，∴与全等，∴. 由可得，∴. ∴， 即平面和平面所成的角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州中小学2024—2025学年下学期期末教育学业质量监测 高中一年级 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则的整数元素的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（ ） A. 和不互斥 B. 和互斥且不对立 C. 和不互斥 D. 和互斥且不对立 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是在上单调递增奇函数，则函数在上的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获胜（掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应操作）．如图，已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比蓝棋更靠近终点的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. B. z的实部为 C. z的共轭复数为 D. z在复平面内对应的点位于第二象限 10. 在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ） A. 该几何体为圆台 B. 该几何体的母线长为5 C. 该几何体的体积为93π D. 该几何体的表面积为56π 11. 已知的内角的对边分别为，是分别线段上的两点（不包括端点），，且，下列结论正确的是（ ） A B. 若，则 C. 若，则 D. 是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一支探险队有男生24人，女生18人，按照性别采用分层随机抽样的方法从该探险队中抽取一个容量为7的样本，则女生被抽取的人数为_______． 13. 已知α为第四象限角，且，则________，_______． 14. 已知函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求在上值域． 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，，求． 17. 近年来，楚雄州以千年彝绣为媒，探索幸福就业新路径，持续助力乡村振兴，实现了“培树一个品牌、带动一片就业、富裕一方百姓”的发展目标．楚雄州把彝绣及相关工种列为补贴性职业技能培训的重要内容，积极选拔培养彝绣高技能人才．目前，彝绣行业已有18名从业者获评“兴楚名匠”，占全州“兴楚名匠”总数的16%，是各行业中占比最高的领域．某机构对100名绣娘的彝绣技艺进行了评分，将得到的分数按，，，分为4组，画出如图所示的频率分布直方图． （1）求m的值； （2）估计这100名绣娘的彝绣技艺分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （3）若彝绣技艺分数较高的20%绣娘被评为“彝绣工匠”，试估计被评为“彝绣工匠”的绣娘的最低分数． 18. 员工甲有两辆自行车．若上班不下雨，他就会骑自行车上班；若下班不下雨，只要公司有他的自行车，他也会骑自行车回家；其他情况下，他均会坐公交上下班．假设甲每天上班、下班下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且每天上下班下雨与否互不影响．已知第一天上班前甲的两辆自行车均在家里． （1）求甲第一天下班回到家里，骑行了一次自行车的概率； （2）求甲第一天下班回到家里，家里有两辆自行车的概率； （3）求甲第一天第二天连续上班两天后回到家里，家里只有一辆自行车的概率． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角（锐角）的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $