专题二 数轴动点题（存在性问题与时间问题） 暑假预习 讲义 2024-2025学年人教版数学七年级上册

专题二 数轴动点题（存在性问题与时间问题） 一、存在性问题 ( 典型例题 ) 【典型例题1】（2024秋•门头沟区期末）如图，数轴的单位长为1． （1）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是 、 （2）当点B为原点时，在数轴上是否存在点M，使得点M到点A的距离是点M到点D的距离的2倍，若存在，请求出此时点M所表示的数；若不存在，说明理由． （3）在（2）的条件下，点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ 【典型例题2】（2024秋•思明区校级期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． （1）直接写出A，B，C三点所表示的数 ， ， ； （2）动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动； ①求18秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为MP．在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m,使QM+mMP的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ( 巩固练习 ) 1.（2023秋•湘西州期末）已知（a+1）2+|b-3|=0，如图，数轴上两点A，B对应的数分别为a,b.点P为数轴上一动点，其对应的有理数为x. （1）点A表示的有理数a= ，点B表示的有理数b= ； （2）若点P到点A，B的距离相等，则点P对应的有理数x为 ； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点A，B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 2.（2024秋•儋州校级期中）如图，在数轴上A点表示数a,B点表示数b,C点表示数c,b的相反数是-1，且a、c满足|a+2|+（c-8）2=0． （1）a= ；b= ；c= ； （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，是否存在常数k,使kBC-2AB为定值，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 3.（2024秋•福田区校级期中）当代印度诗人泰戈尔写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”；距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p,q,则P，Q两点之间的距离表示为PQ=|p-q|． 例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3-1|=2；有理数5与-2对应的两点之间的距离为|5-（-2）|=7；…； 解决问题：已知有理数a,b,c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中a=2，b=-4且满足c=a+2b. （1）c的值为 ； （2）若点D在数轴上对应的数为x,当A、D间距离是B、C间距离的2倍时，则x的值为 ； （3）若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k,使得3AC-kAB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 4.（2024秋•灯塔市校级期中）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离． 若点M表示的数x1，点N表示的数是x2，点M在点N的右边（即x1＞x2），则点M，N之间的距离为x1-x2，即MN=x1-x2． 例如：若点C表示的数是-5，点D表示的数是-9，则线段CD=-5-（-9）=4． 【理解应用】（1）已知在数轴上，点E表示的数是-2027，点F表示的数是2027，求线段EF的长； 【拓展应用】如图，数轴上有三个点，点A表示的数是-2，点B表示的数是3，点P表示的数是x. （2）当A，B，P三个点中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，请直接写出x的值；（3）在点A左侧是否存在一点Q，使点Q到点A，点B的距离和为21？若存在，求出点Q表示的数；若不存在，请说明理由． 5.（2024秋•本溪期中）给出如下定义：A点、点B是数轴上的两个点，其中点A表示的数是-5，点B表示的数是1，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为m（即PA+PB=m）则称点P为点A、B的“m级幸运点”，例如图1所示，若点P表示的数为0，有PA+PB=6，则称点P为点A、B的“6级幸运点”． （1）若点C为点A、B的“m级幸运点”，且点C在数轴上表示的数为2，则m= ；（2）若点D是数轴上点A、B的“10级幸运点”，且点D在点B的右侧，设点D表示的数为x,求x的值； （3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足A、E之间的距离是B、E之间距离的3倍，且此时点E为点A、B的“m级幸运点”，直接写出m的值． 二、时间问题 ( 典型例题 ) 【典型例题3】（2023秋•重庆期末）如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c,且满足|a+24|+|b+10|+（c-10）2=0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b、c的值； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 【典型例题4】（2024秋•西湖区期中）已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n,M、N两点之间的距离表示为MN，则在数轴上M、N两点之间的距离MN=|m-n|，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为-12和6． （1）直接写出A、B两点之间的距离 ； （2）若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； （3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在AB之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当OQ=2OP时，时间t的取值． ( 巩固练习 ) 6.（2024秋•嵊州市期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为-4，C为线段AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）点C表示的数是 （2）当t= 秒时，点P到达点A处； （3）点P表示的数是 （用含字母t的代数式表示）； （4）求t为多少秒时，线段PC的长为2个单位长度． 7.（2024秋•浏阳市月考）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化，而一个动点在数轴上的移动是初中数学的一个难关． （1）平移运动把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ． A．（+3）+（+2）=+5 B．（+3）+（-2）=+1 C．（-3）-（+2）=-5 D．（-3）+（+2）=-1 （2）翻折变换①若折叠纸条，表示-1的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示 的点重合． ②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． （3）动点移动如果A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，当点P以每秒3个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使PB=3AB？ 8.（2023秋•揭西县期末）如图，在数轴上A点表示数a,B点表示数b,且a、b满足|a+12|+（b-6）2=0． （1）求A、B两点之间的距离； （2）点C、D在线段AB上，AC为14个单位长度，BD为8个单位长度，求线段CD的长； （3）在（2）的条件下，动点P以3个单位长度/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点Q以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q到点C的距离相等． 9.（2024秋•兴隆台区校级期中）已知数轴上两点A，B表示的数分别为-3，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x. （1）点A与点B之间的距离为 ； （2）若点P在点A与点B之间，则点P到点A的距离为 ，点P到点B的距离为 ，化简：|x-1|+|x+3|=4； （3）若点P以每秒4个单位长度的速度从点A沿着数轴向右运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B沿着数轴向右运动，同时点M以每秒1个单位长度的速度从点B沿着数轴向右运动， ①经过几秒，点P与点Q关于原点对称； ②求经过 1或或4秒，点P、点Q、点M这三点中的任意两点关于另外一点对称．（请直接写出答案） 10.（2025•泗阳县校级一模）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 11.（2023秋•东港区期末）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x. （1）MN的长为 ； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 ； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． （4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 参考答案 一、存在性问题 ( 典型例题 ) 【典型例题1】（2024秋•门头沟区期末）如图，数轴的单位长为1． （1）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是 、 （2）当点B为原点时，在数轴上是否存在点M，使得点M到点A的距离是点M到点D的距离的2倍，若存在，请求出此时点M所表示的数；若不存在，说明理由． （3）在（2）的条件下，点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ 解：（1）∵点B，D表示的数互为相反数， ∴点B为-2，D为2，∴点A为-4， 故答案为：-4，2； （2）存在，如图： 设M表示的数为x, 当点M在A，D之间时， 则x-（-2）=2（4-x） 解得：x=2， 当点M在A，D右侧时， 则x-（-2）=2（x-4）， 解得：x=10， 所以点M所表示的数为2或10； （3）设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t, A点运动到：-2+2t, C点运动到：3+0.5t, （1）-2+2t-（3+0.5t）=3 解得：t=，所以P点对应运动的单位长度为：3×=16， 所以点P表示的数为-16． （2）3+0.5t-（-2+2t）=3 解得：t=， 所以P点对应运动的单位长度为：3×=4， 所以点P表示的数为-4． 答：点P表示的数为-16或-4． 【典型例题2】（2024秋•思明区校级期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． （1）直接写出A，B，C三点所表示的数 ， ， ； （2）动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动； ①求18秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为MP．在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m,使QM+mMP的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意知，点A表示的数为0-4=-4，点C表示的数为-4+6=2，点B表示的数为， 故答案为：-4，-1，2； （2）①18秒后点P表示的数为：2-18×0.2=-1.6， 点P与点B之间的距离为：|-1-（-1.6）|=|-1+1.6|=0.6； ②由题意知，运动时间为秒时， 点P表示的数为2-0.2t, 点Q表示的数为-4-0.6t, 点M表示的数为-1-0.3t, 则QM=|-1-0.3t-（-4-0.6t）|=|3+0.3t|=3+0.3t, MP=|2-0.2t-（-1-0.3t）|=|3+0.1t|=3+0.1t, QM+mMP=3+0.3t+m（3+0.1t）=3m+3+（0.1m+0.3）t, 当0.1m+0.3=0时， 解得m=-3． QM+mMP=3m+3=-6，始终保持不变， ( 巩固练习 ) 1.（2023秋•湘西州期末）已知（a+1）2+|b-3|=0，如图，数轴上两点A，B对应的数分别为a,b.点P为数轴上一动点，其对应的有理数为x. （1）点A表示的有理数a= ，点B表示的有理数b= ； （2）若点P到点A，B的距离相等，则点P对应的有理数x为 ； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点A，B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵（a+1）2+|b-3|=0，（a+1）2≥0，|b-3|≥0， ∴（a+1）2=|b-3|=0， ∴a+1=0，b-3=0， ∴a=-1，b=3， 故答案为：-1；3； （2）∵点P到点A，B的距离相等， ∴点P是AB的中点， ∴x-（-1）=3-x, 解得x=1， 故答案为：1； （3）由题意得，|x-（-1）|+|x-3|=6， ∴|x+1|+|x-3|=6， 当x＜-1时，则-1-x+3-x=6，解得x=-2； 当-1≤x≤3时，则x+1+3-x=6，此时方程无解； 当x＞3时，则x+1+x-3=6，解得x=4； 综上所述，存在点 P，使点P 到点A，B的距离之和为6，此时x=-2或x=4． 2.（2024秋•儋州校级期中）如图，在数轴上A点表示数a,B点表示数b,C点表示数c,b的相反数是-1，且a、c满足|a+2|+（c-8）2=0． （1）a= ；b= ；c= ； （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，是否存在常数k,使kBC-2AB为定值，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵|a+2|≥0，（c-8）2≥0，|a-2|+（c-8）2=0， ∴a=-2，c=8， ∵b的相反数为-1， ∴b=1， 故答案为：-2，1，8； （2）存在，k=3 ∵点A表示的数是-2，向左的速度为每秒1个单位长度，点B表示的数是1，向右的速度为每秒2个单位长度，点C表示的数是8，向右的速度为每秒4个单位长度， 设运动时间为t秒， ∴点A表示的数为-2-t, 点B表示的数为1+2t, 点C表示的数为8+4t, ∴AB=1+2t-（-2-t）=3t+3， BC=8+4t-（1+2t）=2t+7， ∴kBC-2AB=k（2t+7）-2（3t+3）=（2k-6）t+7k-6 ∵kBC-2AB为定值， ∴kBC-2AB的值与t无关， ∴2k-6=0， ∴k=3． 3.（2024秋•福田区校级期中）当代印度诗人泰戈尔写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”；距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p,q,则P，Q两点之间的距离表示为PQ=|p-q|． 例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3-1|=2；有理数5与-2对应的两点之间的距离为|5-（-2）|=7；…； 解决问题：已知有理数a,b,c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中a=2，b=-4且满足c=a+2b. （1）c的值为 ； （2）若点D在数轴上对应的数为x,当A、D间距离是B、C间距离的2倍时，则x的值为 ； （3）若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k,使得3AC-kAB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵a=2，b=-4， ∴c=a+2b=2+2×（-4）=-6； 故答案为：-6； （2）∵AD=|x-2|，BC=|-4-（-6）|=2，AD=2BC， ∴|x-2|=2×2， ∴x=6或x=-2； 故答案为：6或-2； （3）假设存在符合条件的k值， ∵经过t秒点A表示的数是2+2t,点B表示的数是-4+t, ∴AC=|2+2t-（-6）|=2t+8，AB=|2+2t-（-4+t）|=t+6， ∴3AC-kAB=3（2t+8）-k（t+6）=24-6k+（6-k）t, 由题意，6-k=0， ∴k=6，即存在符合条件的k值． 4.（2024秋•灯塔市校级期中）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离． 若点M表示的数x1，点N表示的数是x2，点M在点N的右边（即x1＞x2），则点M，N之间的距离为x1-x2，即MN=x1-x2． 例如：若点C表示的数是-5，点D表示的数是-9，则线段CD=-5-（-9）=4． 【理解应用】（1）已知在数轴上，点E表示的数是-2027，点F表示的数是2027，求线段EF的长； 【拓展应用】如图，数轴上有三个点，点A表示的数是-2，点B表示的数是3，点P表示的数是x. （2）当A，B，P三个点中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，请直接写出x的值；（3）在点A左侧是否存在一点Q，使点Q到点A，点B的距离和为21？若存在，求出点Q表示的数；若不存在，请说明理由． 解：[理解应用]（1）根据题意，EF=2027-（-2027）=4054； [拓展应用]（2）当点A是点B，P的中点，即BA=AP， ∴3-（-2）=-2-x,解得，x=-7； 当点B是点A，P的中点，即PB=BA， ∴x-3=3-（-2），解得，x=8； 当点P是点A，B的中点，即BP=PA， ∴3-x=x-（-2），解得，； 综上所述，x的值为； （3） 在点A左侧存在一点Q，使点Q到点A，点B的距离和为21， 理由如下，设点Q表示的数为q, ∴AQ+BQ=21，即-2-q+3-q=21， 解得，q=-10， ∴存在，点Q表示的数为-10． 5.（2024秋•本溪期中）给出如下定义：A点、点B是数轴上的两个点，其中点A表示的数是-5，点B表示的数是1，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为m（即PA+PB=m）则称点P为点A、B的“m级幸运点”，例如图1所示，若点P表示的数为0，有PA+PB=6，则称点P为点A、B的“6级幸运点”． （1）若点C为点A、B的“m级幸运点”，且点C在数轴上表示的数为2，则m= ；（2）若点D是数轴上点A、B的“10级幸运点”，且点D在点B的右侧，设点D表示的数为x,求x的值； （3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足A、E之间的距离是B、E之间距离的3倍，且此时点E为点A、B的“m级幸运点”，直接写出m的值． 解：（1）∵点A表示的数是-5，点B表示的数是1，点C表示的数为2， ∴AC=7，BC=1， ∴AC+BC=7+1=8， ∴m=8； 故答案为：8； （2）由题意，得：x-（-5）+（x-1）=10， 解得：x=3； （3）当点E在AB之间时，AE+BE=AB=6，此时：m=6， 当点E在B点右侧时， 设BE之间的距离为x, 则：3x-x=6， 解得：x=3， ∴AE+BE=3x+x=4x=12， 此时：m=12， 综上：m=6或m=12． 二、时间问题 ( 典型例题 ) 【典型例题3】（2023秋•重庆期末）如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c,且满足|a+24|+|b+10|+（c-10）2=0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b、c的值； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c-10）2=0 ∴a+24=0，b+10=0，c-10=0 解得a=-24，b=-10，c=10 （2）-10-（-24）=14， ①点P在AB之间，AP=14×=，， 点P的对应的数是； ②点P在AB的延长线上，AP=14×2=28，-24+28=4， 点P的对应的数是4； （3）设在点Q开始运动后第a秒时，P、Q两点之间的距离为4， 当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，3a+4=14+a,解得a=5； 当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，3a-4=14+a,解得a=9； 当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+a+4+3a-34=34，a=12.5； 当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+a-4+3a-34=34，解得a=14.5， 综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4． 【典型例题4】（2024秋•西湖区期中）已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n,M、N两点之间的距离表示为MN，则在数轴上M、N两点之间的距离MN=|m-n|，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为-12和6． （1）直接写出A、B两点之间的距离 ； （2）若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； （3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在AB之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当OQ=2OP时，时间t的取值． 解：（1）∵A、B两点在数轴上对应的数分别为-12和6． ∴A、B两点之间的距离为18； 故答案为：18； （2）设点C在数轴上表示的数为c, 点C在B点的右边，则结合数轴，不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去； 当点C在A点与B点的之间， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为-12和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， ∴2|c-（-12）|=|6-c|， 解得：c=-6， 当点C在A点的左边， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为-12和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， ∴2|c-（-12）|=|6-c|， 解得：c=-30， ∴点C表示的数为-30或-6； （3）由条件可知，时间为t,点Q表示的数：6-3t, ∵18÷4=4.5， ∴0≤t≤4.5， ∴则点P表示的数是：-12+4t, ∵OQ=2OP， ∴|6-3t|=2|-12+4t|， ∴6-3t=2（12-4t）或6-3t=2（4t-12）， 解得t=或t=， 当点P表示的数去到点B，且点P第一次从点B往点A移动时， 则， ∴则点P表示的数是6-{4t-[6-（-12）]}=24-4t, ∵OQ=2OP， ∴|6-3t-0|=2|24-4t-0|， 即6-3t=48-8t或6-3t=8t-48， 此时t=或t=， 当点P刚好回到A，此时t=9，点Q表示的数是6-3t=6-3×9=-21， ∵OQ=2OP， ∴OP=21÷2=11.5＜OA=12， ∵OA=12， ∴当点P第二次从A出发，9＜t＜13.5， 则点P表示的数是：4t-48， ∵OQ=2OP， ∴|6-3t|=2|4t-48|， ∴t=， 综上t的值为或，或或． ( 巩固练习 ) 6.（2024秋•嵊州市期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为-4，C为线段AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）点C表示的数是 （2）当t= 秒时，点P到达点A处； （3）点P表示的数是 （用含字母t的代数式表示）； （4）求t为多少秒时，线段PC的长为2个单位长度． 解：（1）（6-4）÷2=2÷2=1．故点C表示的数是1． 故答案为：1； （2）[6-（-4）]÷2=10÷2=5（秒）． 答：当t=5秒时，点P到达点A处． 故答案为：5； （3）点P表示的数是2t-4． 故答案为：2t-4； （4）P在点C左边，[1-2-（-4）]÷2=3÷2=1.5（秒）． P在点C右边，[1+2-（-4）]÷2=7÷2=3.5（秒）． 答：当t=1.5秒或3.5秒秒时，线段PC的长为2个单位长度． 7.（2024秋•浏阳市月考）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化，而一个动点在数轴上的移动是初中数学的一个难关． （1）平移运动把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ． A．（+3）+（+2）=+5 B．（+3）+（-2）=+1 C．（-3）-（+2）=-5 D．（-3）+（+2）=-1 （2）翻折变换①若折叠纸条，表示-1的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示 的点重合． ②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． （3）动点移动如果A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，当点P以每秒3个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使PB=3AB？ 解：（1）∵笔尖的位置表示什么数为（-3）+（+2）=-1． 故选：D； （2）①∵表示-1的点与表示3的点重合， ∴折叠的中点表示的数为， ∵2022-1=2021，1-2021=-2020， ∴表示2022的点与表示-2020的点重合． 故答案为：-2020； ②∵数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同）， ∴折叠中间点表示的数为1， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴A点表示的数为，B点表示的数为． 故答案为：-1010；1012； （3）设运动时间为t, ∵PB=3AB， ∴P在点A左侧，或P在点B右侧， ①当点P向左运动时，点P表示的数为-3t, ∴PB=3-（-3t）=3+3t,AB=3-（-1）=4， ∵PB=3AB， ∴3+3t=3×3t, 解得：t=3． ②当P向左运动时，点P表示的数为3t, AB=3-（-1）=4 ∴PB=3t-3， ∴3t-3=3×4， 解得：t=5． 综上所述：3秒或5秒时，PB=3AB． 8.（2023秋•揭西县期末）如图，在数轴上A点表示数a,B点表示数b,且a、b满足|a+12|+（b-6）2=0． （1）求A、B两点之间的距离； （2）点C、D在线段AB上，AC为14个单位长度，BD为8个单位长度，求线段CD的长； （3）在（2）的条件下，动点P以3个单位长度/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点Q以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q到点C的距离相等． 解：（1）∵|a+12|+（b-6）2=0． ∴a+12=0，b-6=0， 即：a=-12，b=6； ∴AB=6-（-12）=18； （2）点C、D在线段AB上， ∵AB=18，AC=14，BD=8， ∴BC=18-14=4，CD=BD-BC=8-4=4； （3）设经过t秒，点P、Q到点C的距离相等， AD=AB-BD=18-8=10，AP=3t,DQ=2t, ①当点P、Q重合时，AP-DQ=AD，即：3t-2t=10，解得，t=10， ②当点C是PQ的中点时，有CP=CQ，即，AC-AP=DQ-DC，14-3t=2t-4，解得，t=， 答：经过或10秒，点P、点Q到点C的距离相等． 9.（2024秋•兴隆台区校级期中）已知数轴上两点A，B表示的数分别为-3，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x. （1）点A与点B之间的距离为 ； （2）若点P在点A与点B之间，则点P到点A的距离为 ，点P到点B的距离为 ，化简：|x-1|+|x+3|=4； （3）若点P以每秒4个单位长度的速度从点A沿着数轴向右运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B沿着数轴向右运动，同时点M以每秒1个单位长度的速度从点B沿着数轴向右运动， ①经过几秒，点P与点Q关于原点对称； ②求经过 1或或4秒，点P、点Q、点M这三点中的任意两点关于另外一点对称．（请直接写出答案） 解：（1）依题意有|-3-1|=4． 故答案为：4； （2）因为数轴上右边的数总比左边的数大，所以-3＜x＜1，x+3＞0，x-1＜0， 所以点P到点A的距离为x+3， 点P到点B的距离为1-x, |x-1|+|x+3|=1-x+x+3=4， 故答案为：x+3，1-x,4； （3）设运动t秒时，P点表示的数为-3+4t,M点表示的数为1+t,Q点表示的数为1+2t, ①点P、Q关于原点对称时，得-3+4t+1+2t=0， 解得 ②当对称中心点M到点P，点Q的距离相等时，（1+t）-（-3+4t）=（1+2t）-（1+t）， 解得：t=1； 当对称中心点P到点M，点Q的距离相等时，（-3+4t）-（1+t）=（1+2t）-（-3+4t）， 解得： 当对称中心点Q到点P，点M的距离相等时，（1+2t）-（1+t）=（-3+4t）-（1+2t），解得：t=4． 综上所述：t的值为1或或4，故答案为：1或或4． 10.（2025•泗阳县校级一模）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA=6， 则OB=AB-OA=4，点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为-4； 点P运动t秒的长度为6t, ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6-6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t=10+4t,解得t=5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，当P不超过Q， 则10+4a-6a=8，解得a=1； 当P超过Q，则10+4a+8=6a,解得a=9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 11.（2023秋•东港区期末）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x. （1）MN的长为 ； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 ； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． （4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 解：（1）MN的长为3-（-1）=4； （2）根据题意得：x-（-1）=3-x, 解得：x=1； （3）①当点P在点M的左侧时．根据题意得：-1-x+3-x=8．解得：x=-3． ②P在点M和点N之间时，则x-（-1）+3-x=8，方程无解，即点P不可能在点M和点N之间． ③点P在点N的右侧时，x-（-1）+x-3=8．解得：x=5． ∴x的值是-3或5； （4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM=PN． 点P对应的数是-t,点M对应的数是-1-2t,点N对应的数是3-3t. ①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合， 所以-1-2t=3-3t,解得t=4，符合题意． ②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧）， 故PM=-t-（-1-2t）=t+1．PN=（3-3t）-（-t）=3-2t. 所以t+1=3-2t,解得t=， 符合题意．综上所述，t的值为或4． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$