第二十一章　一元二次方程 单元测试2024-2025学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册 第二十一章　一元二次方程 单元测试 一、选择题 1.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是1，则下列说法不一定正确的是（　　） A.a≠0 B.a+b+c=0 C.ac＜0 D.b2-4ac≥0 2.若关于x的方程x2-4x+k+2=0有两个不相等的实数根，则直线y=（k-2）x+1不经过（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.定义（a,b,c）为方程ax2+bx+c=0的特征数．若特征数为（1，2k-2，k2-k）的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为（　　） A.-1或4 B.-4 C.-1 D.-4或1 4.把一根长为80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论： ①当AF的长是12cm时，BC的长为8cm； ②这两个正方形的面积之和可以是198cm2； ③这两个正方形的面积之和可以是288cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 5.三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如下图，大正方形的面积是（x+x+2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则在下面四个构图中（网格中每个小正方形边长为1个单位），能正确说明方程：x2﹣x﹣6＝0解法的构图是（　　） A. B. C. D. 6.某学校为了了解学生对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机抽取50名学生进行调查，这一问题中的样本是（　　） A.50 B.全校学生的意见 C.被抽取的50名学生 D.被抽取的50名学生的意见 7.血压包括收缩压和舒张压，分别代表心脏舒张时和收缩时的压力，舒张压的正常范围是60～90 mmHg，收缩压的正常范围是90～140 mmHg．现有A，B，C，D，E五人的血压测量值统计为折线图．则这5人中舒张压和收缩压都在正常范围内的有（　　） A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 8.下列调查中，适合采用抽样调查的是（    ） A.了解全班同学的出生月份 B.为保证载人航天器成功发射，对其零部件进行检测 C.对乘坐某班次动车的乘客进行安检 D.调查西溪的水质情况 9.某县2022年有8800名学生参加初中毕业学业水平考试，为了了解这8800名学生的数学成绩，从中抽取1200名学生的数学成绩进行统计分析，请问这次抽样调查的样本是（    ） A.1200名学生 B.1200名学生的数学成绩 C.8800名学生 D.8800名学生的数学成绩 10.随着社会的发展，越来越多的人开始注重养宠物带来的精神享受，他们将宠物视为家庭成员，注重宠物带来的幸福感，也越来越注重宠物的饮食健康、医疗保健等等．下图为某平台最近7周的“宠物零食”周销量y（个）随时间t（周）变化的图象，则下列说法错误的是（    ） A.第4周到第5周，周销量y（个）随时间t（周）的增大而减小 B.第3周和第5周的销量相同 C.在这7周中，第1周到第2周与第3周到第4周的周销量增长速度相同 D.第1周到第7周的平均销售量是2000个周 11.元旦当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，问小明给(　　)人发了短信？ A.10 B.11 C.12 D.13 12.有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为(　　) A.62 B.44 C.53 D.35 二、填空题 13.如图，长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝4cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动，动点Q从点A出发沿A﹣B﹣C向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示AP，则AP＝　    　cm； （2）经过 　  　秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2． 14.为迎接学校艺术节，七年级某班进行班级歌词征集活动，作品上交时间为星期一至星期五．班委会把同学们上交作品件数按每天一组分组统计，绘制了频数分布直方图如下．已知从左至右各长方形的高的比为，第二组的频数为9，则全班上交的作品有       件． 15.解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程__________. 16.把方程x2－2xy－3y2=0化为两个二元一次方程，它们_________是和________. 17.已知一元二次方程x2－6x＋c=0有一个根为2，则c=　　，另一根为　　   . 三、解答题 18.求下列方程的两个根的和与积． （1）x2-5x-10=0； （2）2x2+7x+1=0； （3）3x2-1=2x+5； （4）x（x-1）=3x+7． 19.小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 20.军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课、泥塑课、纺织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有多少名． 21.书法是我国优秀传统文化瑰宝，一般分为行书、草书、隶书、篆书和楷书五个大类，在每一大类中又细分若干小的门类．为了丰富学生课后服务课程，某校打算根据学生最喜爱的书法门类设置课程数量．计划设置行书、草书、隶书、篆书、楷书五个课程，现随机从全校的学生中抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与问卷调查的学生共有 　    　人，在扇形统计图中“楷书”对应的圆心角的度数为 　     　； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）已知该校共有1200名学生，请根据统计数据，判断该校大约需要准备多少本篆书字帖才能满足学生使用；（注：选择篆书的同学每人一本篆书字帖） （4）假如你是校领导，请你根据该校学生有意向学习书法的情况做出一条合理化建议． 22.m是什么实数时，方程x2－4|x|＋5=m有4个互不相等的实数根？ 人教版九年级上册 第二十一章　一元二次方程 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是1，则下列说法不一定正确的是（　　） A.a≠0 B.a+b+c=0 C.ac＜0 D.b2-4ac≥0 【答案】C 【解析】解：∵方程ax2+bx+c=0为一元二次方程， ∴a≠0，所以A选项不符合题意； 把x=1代入方程ax2+bx+c=0得a+b+c=0，所以B选项不符合题意； ∵c可以为0，而a≠0， ∴ac＜0不一定正确，所以C选项符合题意； ∵一元二次方程ax2+bx+c=0有根， ∴Δ=b2-4ac≥0，所以D选项不符合题意． 故选：C． 2.若关于x的方程x2-4x+k+2=0有两个不相等的实数根，则直线y=（k-2）x+1不经过（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】解：根据题意得：Δ=（-4）2-4（k+2）=-4k+8＞0， 解得k＜2． 则k-2＜0， 则直线y=（k-2）x+1不经过第三象限． 故选：C． 3.定义（a,b,c）为方程ax2+bx+c=0的特征数．若特征数为（1，2k-2，k2-k）的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为（　　） A.-1或4 B.-4 C.-1 D.-4或1 【答案】C 【解析】解：根据题意可知，该方程为x2+（2k-2）x+k2-k=0， ∵方程的两实数根的平方和为12， ∴Δ=（2k-2）2-4（k2-k） =4k2-8k+4-4k2+4k =-4k+4≥0， ∴k≤1， 设两实数根为x1，x2，则x1+x2=-（2k-2），x1•x2＝k2−k， ∵+=（x1+x2）2-2x1x2＝12 ∴（2k-2）2-2（k2-k）=12， 整理得：k2-3k-4=0， 解得：k1=4，k2=-1， ∵k≤1， ∴k=-1， 故选：C． 4.把一根长为80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论： ①当AF的长是12cm时，BC的长为8cm； ②这两个正方形的面积之和可以是198cm2； ③这两个正方形的面积之和可以是288cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】解：①当AF的长是12cm时，BC的长是（80﹣12×4）÷4＝8（cm），结论①正确； ②假设这两个正方形的面积之和可以是198cm2， 设AF的长为x cm，则BC的长为（80﹣4x）÷4＝（20﹣x）cm， 根据题意得：x2+（20﹣x）2＝198， 整理得：x2﹣20x+101＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×101＝﹣4＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是198cm2，结论②不正确； ③假设这两个正方形的面积之和可以是288cm2， 设AF的长为y cm，则BC的长为（80﹣4y）÷4＝（20﹣y）cm， 根据题意得：y2+（20﹣y）2＝288， 整理得：y2﹣20y+56＝0， 解得：y1＝10﹣2，y2＝10+2， ∵0＜10﹣2＜10+2＜20， ∴符合题意， ∴假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是288cm2，结论③正确． ∴正确的结论有2个． 故选：C． 5.三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如下图，大正方形的面积是（x+x+2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则在下面四个构图中（网格中每个小正方形边长为1个单位），能正确说明方程：x2﹣x﹣6＝0解法的构图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：方程x2﹣x﹣6＝0，即x（x﹣1）＝6的拼图如图所示： 中间小正方形的边长为x﹣（x﹣1）＝1其面积为1， 大正方形的面积：（x+x﹣1）2＝4x（x﹣1）+1＝4×6+1＝25，其边长为5， 因此，C选项所表示的图形符合题意， 故选：C． 6.某学校为了了解学生对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机抽取50名学生进行调查，这一问题中的样本是（　　） A.50 B.全校学生的意见 C.被抽取的50名学生 D.被抽取的50名学生的意见 【答案】D 【解析】解：在这个调查过程中，被抽取的50名学生对“禁止带手机入校园”的意见是总体的一个样本. 7.血压包括收缩压和舒张压，分别代表心脏舒张时和收缩时的压力，舒张压的正常范围是60～90 mmHg，收缩压的正常范围是90～140 mmHg．现有A，B，C，D，E五人的血压测量值统计为折线图．则这5人中舒张压和收缩压都在正常范围内的有（　　） A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 【答案】C 【解析】解：观察图象可知：舒张压在正常范围的有B、C、D、E， 收缩压在正常范围的有A、B、D、E， 这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有B、D、E， 即3个． 故选：C． 8.下列调查中，适合采用抽样调查的是（    ） A.了解全班同学的出生月份 B.为保证载人航天器成功发射，对其零部件进行检测 C.对乘坐某班次动车的乘客进行安检 D.调查西溪的水质情况 【答案】D 【解析】解：A、了解全班同学的出生月份，适合全面调查，该选项不符合题意； B、为保证载人航天器成功发射，对其零部件进行检测，适合全面调查，该选项不符合题意； C、对乘坐某班次动车的乘客进行安检，必须全面调查，该选项不符合题意； D、调查西溪的水质情况，必须抽样调查，该选项符合题意； 故选：D． 9.某县2022年有8800名学生参加初中毕业学业水平考试，为了了解这8800名学生的数学成绩，从中抽取1200名学生的数学成绩进行统计分析，请问这次抽样调查的样本是（    ） A.1200名学生 B.1200名学生的数学成绩 C.8800名学生 D.8800名学生的数学成绩 【答案】B 【解析】解：为了了解这8800名学生的数学成绩，从中抽取1200名学生的数学成绩进行统计分析，请问这次抽样调查的样本是1200名学生的数学成绩， 故选：B． 10.随着社会的发展，越来越多的人开始注重养宠物带来的精神享受，他们将宠物视为家庭成员，注重宠物带来的幸福感，也越来越注重宠物的饮食健康、医疗保健等等．下图为某平台最近7周的“宠物零食”周销量y（个）随时间t（周）变化的图象，则下列说法错误的是（    ） A.第4周到第5周，周销量y（个）随时间t（周）的增大而减小 B.第3周和第5周的销量相同 C.在这7周中，第1周到第2周与第3周到第4周的周销量增长速度相同 D.第1周到第7周的平均销售量是2000个周 【答案】D 【解析】解：A． 第4周到第5周，周销量y（个）随时间t（周）的增大而减小，说法正确，故该选项不符合题意； B． 第3周和第5周的销量相同，说法正确，故该选项不符合题意； C． 第1周到第2周的周销量增长了（个），第3周到第4周的周销量增长了（个），∴第1周到第2周与第3周到第4周的周销量增长速度相同，原说法正确，故该选项不符合题意； D．，则第1周到第7周的平均销售量是个/周，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 11.元旦当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，问小明给(　　)人发了短信？ A.10 B.11 C.12 D.13 【答案】C 【解析】设小明发短信给x个人，由题意得1＋x＋x2=157， 解得x1=12，x2=－13(不合题意舍去)， 综述,小明发短信给12个人. 12.有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为(　　) A.62 B.44 C.53 D.35 【答案】C 【解析】设原来个位为x，则十位上的数字为8－x， 由题意得[10×(8－x)＋x][10x＋8－x]=1855, 解得x=3或x=5， 原来十位上的数字为5， 即原来这个两位数53. 二、填空题 13.如图，长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝4cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动，动点Q从点A出发沿A﹣B﹣C向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示AP，则AP＝　    　cm； （2）经过 　  　秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2． 【答案】（4﹣x）；． 【解析】解：（1）∵动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动， ∴经过x秒，DP＝x cm， ∴AP＝AD﹣DP＝（4﹣x）cm． 故答案为：（4﹣x）； （2）4÷1＝4（s），5÷3＝（s），（5+4）÷3＝3（s）． 当0＜x＜时，AP＝（4﹣x）cm，AQ＝3x cm， ∴AP•AQ＝2，即（4﹣x）•3x＝2， 整理得：3x2﹣12x+4＝0， 解得：x1＝，x2＝（不符合题意，舍去）； 当≤x≤3时，AP＝（4﹣x）cm， ∴（4﹣x）•5＝2， 解得：x＝（不符合题意，舍去）． ∴经过秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2． 故答案为：． 14.为迎接学校艺术节，七年级某班进行班级歌词征集活动，作品上交时间为星期一至星期五．班委会把同学们上交作品件数按每天一组分组统计，绘制了频数分布直方图如下．已知从左至右各长方形的高的比为，第二组的频数为9，则全班上交的作品有       件． 【答案】48 【解析】解：从左至右各长方形的高的比为，即频率之比为； 所以第二组的频率为； 所以全班上交的作品有． 故答案为：48． 15.解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程__________. 【答案】x＋3＝0(或x－1＝0) 【解析】x2＋2x－3＝0，(x＋3)(x－1)=0. 16.把方程x2－2xy－3y2=0化为两个二元一次方程，它们_________是和________. 【答案】x－3y=0 x＋y=0 【解析】∵x2－2xy－3y2=0，∴(x－3y)(x＋y)=0，∴x－3y=0或x＋y=0. 17.已知一元二次方程x2－6x＋c=0有一个根为2，则c=　　，另一根为　　   . 【答案】8；4 【解析】设另一根为x2，由于2＋x2=6，x2=4，又2x2=c,∴c=8. 三、解答题 18.求下列方程的两个根的和与积． （1）x2-5x-10=0； （2）2x2+7x+1=0； （3）3x2-1=2x+5； （4）x（x-1）=3x+7． 【答案】解：（1）原方程为：x2-5x-10=0， 设方程的两根分别为x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2=5，x1x2=-10. （2）原方程为：2x2+7x+1=0， 设方程的两根分别为x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2=-，x1x2=. （3）原方程化为：3x2-2x-6=0， 设方程的两根分别为x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=-2. （4）原方程化为：x2-4x-7=0， 设方程的两根分别为x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2=4，x1x2=-7. 【解析】 19.小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 【答案】解：任务1， 由题知， 原方程可改写为a（x﹣1）（x+2）（x﹣3）＝0， 所以x﹣1＝0或x+2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣2，x3＝3． 故答案为：1，﹣2，3． 任务2， 因为关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根为x1，x2，x3， 所以a（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝0， 展开得，ax3﹣a（x1+x2+x3）x2+a（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣ax1x2x3＝0， 所以ax3+bx2+cx+d＝ax3﹣a（x1+x2+x3）x2+a（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣ax1x2x3， 所以﹣a（x1+x2+x3）＝b，﹣ax1x2x3＝d， 则． 任务3， 由方程2x3+x2﹣7x﹣6＝0得， a＝2，b＝1，c＝﹣7，d＝﹣6， 所以，， 所以＝． 【解析】 20.军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课、泥塑课、纺织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有多少名． 【答案】解：（1）10÷20%＝50（名）， 答：在这次调查中，一共抽取了50名学生； （2）喜欢纺织课的人数为：50﹣15﹣10﹣20＝5（名）， 补全条形统计图如下： （3）1200×＝480（名）， 答：估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有480名． 【解析】 21.书法是我国优秀传统文化瑰宝，一般分为行书、草书、隶书、篆书和楷书五个大类，在每一大类中又细分若干小的门类．为了丰富学生课后服务课程，某校打算根据学生最喜爱的书法门类设置课程数量．计划设置行书、草书、隶书、篆书、楷书五个课程，现随机从全校的学生中抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与问卷调查的学生共有 　    　人，在扇形统计图中“楷书”对应的圆心角的度数为 　     　； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）已知该校共有1200名学生，请根据统计数据，判断该校大约需要准备多少本篆书字帖才能满足学生使用；（注：选择篆书的同学每人一本篆书字帖） （4）假如你是校领导，请你根据该校学生有意向学习书法的情况做出一条合理化建议． 【答案】解：（1）参加问卷调查的学生共有30÷15%＝200（人）， 在扇形统计图中“楷书”对应的圆心角的度数为360°×＝72°； （2）喜爱“隶书”的人数为200﹣50﹣30﹣20﹣40＝60（人）， 补全条形统计图如下： （3）1200×＝120（本）， 即该校大约需要准备120本篆书字帖才能满足学生使用； （4）可适当多开设“行书”、“隶书”和“楷书”的书法课程数量．（答案不唯一，合理即可）． 【解析】 22.m是什么实数时，方程x2－4|x|＋5=m有4个互不相等的实数根？ 【答案】解：∵Δ=b2－4ac=16－4(5－m)=4m－4＞0，∴m＞1. 当x≥0时，方程是x2－4x＋5－m=0，方程有两个不同的根， 则两个的积一定大于等于0，即5－m≥0，则m≤5，∴1＜m≤5. 当x＜0时，方程是x2＋4x＋5－m=0，方程有两个不同的根， 则两个根的积一定大于0，即5－m＞0，则m＜5，则1＜m＜5. ∴1＜m＜5时，方程x2－4|x|＋5=m有4个互不相等的实数根. 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$