专题13 圆锥曲线中的“隐圆”问题 讲义-2025届高三数学二轮复习

专题13：圆锥曲线中的“隐圆”问题 <<<专题综述>>> 隐圆问题是指在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．隐圆问题近年常出现在高考命题中，这类问题具有很强的探索性，解题时往往需要综合运用动态思维、数形结合、特殊与一般等数学思想方法。 常见隐圆涉及定长圆、直径圆、垂直中点圆、阿氏圆、蒙日圆，还有其他形式的伴随隐圆。本专题重点探讨阿氏圆、蒙日圆及特殊条件伴随隐圆问题。 <<<专题探究>>> 题型一：阿氏圆 阿氏圆：全名为阿波罗尼斯圆，因古希腊著名数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，故由此而得名。在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆（又称为圆的第二定义）． 特别地，当，点P的轨迹是线段AB的中垂线。 例1阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点与两定点的距离之比, 那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点为轴上一点,且，若点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 本题考查与圆相关的轨迹问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，考查数形结合思想． 令，则，由阿波罗尼斯圆的定义及已知可求得点的坐标，进而利用图象得解． 【规范解析】 设，，所以， 由，所以， 因为且，所以， 整理可得， 又动点M的轨迹是，所以，解得，所以， 又，所以， 因为，所以的最小值为， 故选： 例2在棱长为的正方体中，是的中点，点是正方形面内（包括边界）的动点，且满足，则三棱锥的体积的最大值是 ，此时长度为 . 【思路点拨】 本题考查立体几何中动点轨迹问题,需要学生利用转化与化归思想将立体几何问题转化为平面几何问题求解,题目要求三棱锥的体积的最大值，由于面积已经是定值了,所以只需要使三棱锥高最大即可,即点到平面的距离最大.首先可以根据题目中所给的条件分析出∽,从而得到,因为为定值，由此可以联想到阿波罗尼斯圆，则点的轨迹是个圆,但是由于限定了点是正方形面内（包括边界）的动点，通过分析可知点的轨迹是一段圆弧，从而求出点到平面的距离的最大值，就可以求出三棱锥的体积的最大值了. 【规范解析】 如图所示，由题可知∵， ∴∽，则， ∴,下面用坐标法来求点的轨迹， 以为坐标原点，以为轴，轴， 建立平面直角坐标系如图， 则，，设，∵, ∴，即， 故点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又∵点是正方形面内（包括边界）的动点， ∴动点的运动轨迹为正方形面内的一段圆弧， 根据平面几何知识可得 点到平面时的距离的最大值为， ∵面积为定值，∴ 所以当时，三棱锥的体积的最大值为. 所以答案为：；. 练1阿波罗尼斯古希腊数学家，约公元前年的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，，则的面积最大值为           ． 【思路点拨】 本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力． ，，即根据阿波罗尼斯圆可得：点的轨迹为圆去掉两个点求出圆的方程，进而得出结论． 【规范解析】 解：，，，即， 根据阿波罗尼斯圆的性质，点的轨迹为圆去掉两个点， 建立如图所示的直角坐标系： 设，则，化为：， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 去掉两个点：，， 时，的面积最大， 故此时， 故答案为：． 练2已知圆：，直线：与轴交于点，过上一点作圆的切线，切点为，若，则实数的取值范围是________． 【思路点拨】 本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力． 设，由，求出点的轨迹方程，问题可转化为直线与圆有公共点的问题，列不等式求解即可． 【规范解析】 解：圆：，直线：与轴交于点， 设，由，可得，即， 即满足的点的轨迹是一个圆， 所以问题可转化为直线与圆有公共点，所以，， 解得，实数的取值范围是 故答案为：   题型二：蒙日圆 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1． 如图1，设椭圆的方程为, 则椭圆两条互相垂直的切线、交点的轨迹是蒙日圆：． 蒙日圆的性质：如下图所示， 延长、与蒙日圆分别交于点，与交于点Q,则： （1）三点共线； （2）； （3）. 例3法国数学家加斯帕尔蒙日被誉为画法几何之父．他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根． 已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为，且，为坐标原点． 求椭圆的方程，并请直接写出椭圆的蒙日圆的方程； 设是椭圆外一动点不在坐标轴上，过作椭圆的两条切线，过作轴的垂线，垂足，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值． 【思路点拨】 本题考查了椭圆的标准方程以及直线和椭圆的位置关系，是一道难题． 根据已知条件求出，，从而求出椭圆，从而求出蒙日圆方程； 设  ，再求出满足的关系，再根据和基本不等式求出面积的最大值． 【规范解析】 解：由题意可知  ， 所以  ，椭圆的方程为  ， 且蒙日圆的方程为  ； 设  ，设过点的切线方程为  ， 由  消去得   ， 由于相切，所以方程的  ， 可得：  ， 整理成关于的方程可得：  ， 设过点的两切线斜率为  ，根据题意得，  ，  ， 又因为  ，所以可得  ， 即点  的轨迹方程为：  ， 由不等式可知：  ， 即  ，当且仅当  时取等号，此时  ， 所以  ，即  的面积的最大值为  ． 练3蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆, 如图，加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆或双曲线上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．则双曲线的蒙日圆的面积为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 设两条互相垂直的切线的交点为  ，设过点  且与曲线  相切的一条切线方程是  ，  ，由直线与双曲线相切联立方程，且  ，得出关于  的一元二次方程组  ，由根与系数的关系即可得出该双曲线蒙日圆的方程，即可求解． 【规范解析】 解：设两条互相垂直的切线的交点为  ， 由题可知，双曲线上两条互相垂直的切线的斜率均存在且均不为， 设过点  且与曲线  相切的一条切线方程是  ，  ， 由  得，  ， 则  ，即  ， 整理得，  ， 因为过点  有两条直线与曲线  相切， 所以  ，且  ，即  ，则  ， 得  ， 又因为过点  的这两条切线互相垂直， 所以  ， 即  ， 故该双曲线的蒙日圆方程为：  ，半径为  ， 所以该双曲线蒙日圆的面积为  ， 故选：． 练4法国数学家加斯帕尔蒙日创立的画法几何学对世界各国科学技术的发展影响深远在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆已知双曲线的实轴长为，其蒙日圆为 求双曲线的标准方程 设为双曲线的左顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使为定值． 【思路点拨】 本题考查蒙日圆，考查直线与双曲线的综合应用，考查定值问题，属于较难题． 求出，，即可得双曲线的标准方程 当直线的斜率存在时，设的方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理和数量积的坐标运算求出当时，直线的方程为，过定点当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设直线，联立直线与双曲线方程，求出直线过定点，进而可求为定值． 【规范解析】 解：由题意知．因为双曲线的蒙日圆方程为，所以， 所以．故双曲线的标准方程为．证明：设，当直线的斜率存在时，设的方程为， 联立方程组化简得， 则，即，且 因为， 所以 ， 化简得， 所以或，且均满足． 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾， 当时，直线的方程为，过定点． 当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设直线， 联立方程组得舍去或，此时直线过定点． 因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径． 故存在定点，使为定值．  题型三：特殊条件下的伴随圆 特殊条件下的伴随圆包括： 1.利用圆的性质（动点到两定点的夹角为直角）可确定隐圆. 2.已知两定点，动点满足为定值可确定隐圆. 3.已知两定点，动点满足是定值，确定隐圆． 例4 已知，为圆上的两动点，，点是圆上的一点，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 由于,由垂径定理：，于是在以为圆心，1为半径的圆上，进而利用图象得解． 【规范解析】 解：设是的中点,因为,所以,即在以为圆心，为半径的圆上， ，所以． 又，所以， 所以． 故选：． 例5如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点, （1）若直线平行于，与圆相交于两点，，求直线的方程； （2）若圆上存在两个点，使得，求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆、圆与圆的位置关系． 根据题意，由的坐标求出的方程以及斜率，进而求出圆心到直线的距离，利用直线与圆的位置关系和勾股定理建立方程，即可求直线的方程； 根据题意，设，由分析可得，即，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆；进而分析可得若圆上存在两个点， 使得，则圆与圆相交，结合圆与圆的位置关系分析可得答案． 【规范解析】 解：根据题意，圆的标准方程为， 所以圆心，半径为因为，，， 直线的方程为，且， 设直线的方程为，又由， 圆心到直线的距离则有， 即，解可得或，故直线的方程为或； 根据题意，设，若， 则， 变形可得：，即， 则的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 若圆上存在两个点，使得， 则圆与圆相交，两圆的圆心距， 则有， 解可得：， 故的取值范围为 . 练5已知圆和两点，，若圆上存在点使得，则的最大值为________． 【思路点拨】 根据两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，再找出圆上的点到原点的距离的最大值，根据圆中直角所对的弦是直径得出的外接圆半径是，即，从而得出的最大值． 【规范解析】 由题意画出图像如下： 线段长为， 圆的圆心，半径， 因为圆心到原点的距离是： ， 所以圆上的点到的距离的最大值是：， 再由可得，以为直径的圆和圆有交点， 可得，故有． 故答案为．   练6在平面直角坐标系中，，，点在圆：上,若，则点的横坐标的取值范围是____． 【思路点拨】 本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，及数形结合思想的运用，属于中档题． 利用平面向量数量积坐标运算，结合圆与圆位置关系数形结合可得． 【规范解析】 解：设，由，得， 即整理得， 则为圆在圆上及圆内部分， 联立方程组 解得或 结合图象可得点的横坐标的取值范围是． 故答案为． <<<专题训练>>> 1.阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹，已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 【解析】 法一：解：因为，所以， 因为， 所以由正弦定理可得，为外接圆的半径， 所以，可得， 如图所示，建立直角坐标系，可得，，， 因为，所以，即， 所以，，所以，可得， 所以，即面积的最大值为． 故选：． 法二：解：， ，即，， ，由正弦定理可得，， 由余弦定理可得：， 面积， 结合二次函数的性质可知，当即时，面积取得最大值． 故选：． 2.世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为(    ) A. B. C. D. 【解析】 由题可得：椭圆的蒙日圆方程为， 由题意该圆与圆相切，又两圆圆心间距离为， 故或无解，舍去，解得， 故选B   3.(多选) 若平面上动点到两定点，的距离之比为常数且，则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被后人称为阿波罗尼斯圆；在平面直角坐标系中，，，若动点满足，其轨迹为圆如图所示，则(    ) A. 不可能等于 B. 直线的斜率的取值范围为 C. 当点不在轴上时，面积的最大值为 D. 当点不在轴上时，∽恒成立 【解析】 解：点，，动点，由，得， 整理得圆的方程为，圆心． 对于，由题中图象可知，以为直径的圆与圆有两个交点， 当点与其中一个交点重合时，，故A错误； 对于，当直线与圆相切时，， 由，，得，此时切线的斜率为， 所以直线的斜率的取值范围为，故B正确； 对于，当运动到点或时，的面积取得最大值，故C正确； 对于，因为，，，所以， 又，所以恒成立，故D正确． 故选BCD． 4.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足则点的轨迹方程为          在三棱锥中，平面，且，，，该三棱锥体积的最大值为          ． 【解析】 解： 设，，所以，所以，即； 三棱锥的高为，当底面的面积最大时，三棱锥的体积最大， ，，取靠近的一个三等分点为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系， 不妨取，，由题设定义可知的轨迹方程为， 所以在圆的最高点处时，， 此时 ．故答案为：． 5.已知圆：，、为圆上的两个动点，且，为弦的中点，，当、在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为          ． 【解析】 解：由圆的方程及，得，即点的轨迹方程是， 当为锐角时，点在以为直径的圆外， 以为直径的圆的标准方程是， 所以圆上的点都在圆外，即两圆外离， 所以圆心距，解得或． 故答案为． 6. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔蒙日最先发现．若椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点，过和原点作直线与椭圆的蒙日圆相交于，则_________． 【解析】 令正数，，满足，，， 考虑椭圆的两条切线分别垂直于轴与平行于轴， 则该切线以椭圆的顶点为切点，从而得出该椭圆的蒙日圆的半径， 设，则， 因为，设，， 由余弦定理得，，所以， 将代入，整理得，， 所以．   7.法国数学家加斯帕尔蒙日是世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础．根据他的研究成果，我们定义：“给定椭圆：，则称圆心在原点、半径是的圆为椭圆的伴随圆”已知椭圆：的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为． 求椭圆和其“伴随圆”的方程； 若点是椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围； 在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线、，使得、与椭圆都只有一个交点，试判断、是否垂直？并说明理由． 【解析】 解：由题意知，且，可得， 故椭圆的方程为，                               其“伴随圆”方程为                              由题意，可设，则有， 又点坐标为，故， 故，        又，故 所以的取值范围是                              设，则． 当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为，显然有． 当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为， 则的方程为，代入椭圆方程可得 ，即，          由，        可得，其中，                             设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，                    故，即                                综上可知，对于椭圆上的任意点，都有                  共14页/第19页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 圆锥曲线中的“隐圆”问题--答案解析 【专题探究】 例1【解析】设，，所以， 由，所以， 因为且，所以，整理可得， 又动点M的轨迹是，所以，解得，所以， 又，所以， 因为，所以的最小值为， 故选： 例2【解析】如图所示，由题可知∵， ∴∽，则， ∴,下面用坐标法来求点的轨迹， 以为坐标原点，以为轴，轴，建立平面直角坐标系如图， 则，，设，∵, ∴，即， 故点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又∵点是正方形面内（包括边界）的动点， ∴动点的运动轨迹为正方形面内的一段圆弧， 根据平面几何知识可得点到平面时的距离的最大值为， ∵面积为定值，∴ 所以当时，三棱锥的体积的最大值为. 所以答案为：；. 练1【解析】，，，即， 根据阿波罗尼斯圆的性质，点的轨迹为圆去掉两个点， 建立如图所示的直角坐标系：设，则，化为：， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 去掉两个点：，，时，的面积最大， 故此时， 故答案为：． 练2【解析】圆：，直线：与轴交于点， 设，由，可得，即， 即满足的点的轨迹是一个圆， 所以问题可转化为直线与圆有公共点，所以，， 解得，实数的取值范围是 故答案为：   例3【解析】由题意可知  ， 所以  ，椭圆的方程为  ， 且蒙日圆的方程为  ； 设  ，设过点的切线方程为  ， 由  消去得   ， 由于相切，所以方程的  ， 可得：  ， 整理成关于的方程可得：  ， 设过点的两切线斜率为  ，根据题意得，  ，  ， 又因为  ，所以可得  ， 即点  的轨迹方程为：  ， 由不等式可知：  ， 即  ，当且仅当  时取等号，此时  ， 所以  ，即  的面积的最大值为  ． 练3【解析】解：设两条互相垂直的切线的交点为  ， 由题可知，双曲线上两条互相垂直的切线的斜率均存在且均不为， 设过点  且与曲线  相切的一条切线方程是  ，  ， 由  得，  ， 则  ，即  ， 整理得，  ， 因为过点  有两条直线与曲线  相切， 所以  ，且  ，即  ，则  ， 得  ， 又因为过点  的这两条切线互相垂直， 所以  ， 即  ， 故该双曲线的蒙日圆方程为：  ，半径为  ， 所以该双曲线蒙日圆的面积为  ， 故选：． 练4【解析】解：由题意知．因为双曲线的蒙日圆方程为，所以， 所以．故双曲线的标准方程为．证明：设，当直线的斜率存在时，设的方程为， 联立方程组化简得， 则，即，且 因为， 所以 ， 化简得， 所以或，且均满足． 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾， 当时，直线的方程为，过定点． 当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设直线， 联立方程组得舍去或，此时直线过定点． 因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径． 故存在定点，使为定值．  例4【解析】设是的中点,因为,所以,即在以为圆心，为半径的圆上， ，所以． 又，所以， 所以． 故选：． 例5【解析】根据题意，圆的标准方程为， 所以圆心，半径为因为，，， 直线的方程为，且， 设直线的方程为，又由， 圆心到直线的距离则有， 即，解可得或，故直线的方程为或； 根据题意，设，若， 则， 变形可得：，即， 则的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 若圆上存在两个点，使得， 则圆与圆相交，两圆的圆心距， 则有， 解可得：， 故的取值范围为 . 练5【解析】由题意画出图像如下： 线段长为， 圆的圆心，半径， 因为圆心到原点的距离是： ， 所以圆上的点到的距离的最大值是：， 再由可得，以为直径的圆和圆有交点， 可得，故有． 故答案为．   练6【解析】设，由，得， 即整理得， 则为圆在圆上及圆内部分， 联立方程组 解得或 结合图象可得点的横坐标的取值范围是． 故答案为． 【专题训练】 1.【解析】法一：解：因为，所以，因为， 所以由正弦定理可得，为外接圆的半径， 所以，可得， 如图所示，建立直角坐标系，可得，，， 因为，所以，即， 所以，，所以，可得， 所以，即面积的最大值为． 故选：． 法二：解：， ，即，， ，由正弦定理可得，， 由余弦定理可得：， 面积， 结合二次函数的性质可知，当即时，面积取得最大值． 故选：． 2.【解析】由题可得：椭圆的蒙日圆方程为， 由题意该圆与圆相切，又两圆圆心间距离为， 故或无解，舍去，解得， 故选B   3.【解析】点，，动点，由，得， 整理得圆的方程为，圆心． 对于，由题中图象可知，以为直径的圆与圆有两个交点， 当点与其中一个交点重合时，，故A错误； 对于，当直线与圆相切时，， 由，，得，此时切线的斜率为， 所以直线的斜率的取值范围为，故B正确； 对于，当运动到点或时，的面积取得最大值，故C正确； 对于，因为，，，所以， 又，所以恒成立，故D正确． 故选BCD． 4.【解析】设，，所以，所以，即； 三棱锥的高为，当底面的面积最大时，三棱锥的体积最大， ，，取靠近的一个三等分点为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系， 不妨取，，由题设定义可知的轨迹方程为， 所以在圆的最高点处时，， 此时 ．故答案为：． 5.【解析】由圆的方程及，得，即点的轨迹方程是， 当为锐角时，点在以为直径的圆外， 以为直径的圆的标准方程是， 所以圆上的点都在圆外，即两圆外离， 所以圆心距，解得或． 故答案为． 6.【解析】令正数，，满足，，， 考虑椭圆的两条切线分别垂直于轴与平行于轴， 则该切线以椭圆的顶点为切点，从而得出该椭圆的蒙日圆的半径， 设，则， 因为，设，， 由余弦定理得，，所以， 将代入，整理得，， 所以．  7.【解析】解：由题意知，且，可得， 故椭圆的方程为，                               其“伴随圆”方程为                              由题意，可设，则有， 又点坐标为，故， 故，        又，故 所以的取值范围是                              设，则． 当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为，显然有． 当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为， 则的方程为，代入椭圆方程可得 ，即，          由，        可得，其中，                             设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，                    故，即                                综上可知，对于椭圆上的任意点，都有                  共7页/第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13：圆锥曲线中的“隐圆”问题 <<<专题综述>>> 隐圆问题是指在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．隐圆问题近年常出现在高考命题中，这类问题具有很强的探索性，解题时往往需要综合运用动态思维、数形结合、特殊与一般等数学思想方法。 常见隐圆涉及定长圆、直径圆、垂直中点圆、阿氏圆、蒙日圆，还有其他形式的伴随隐圆。本专题重点探讨阿氏圆、蒙日圆及特殊条件伴随隐圆问题。 <<<专题探究>>> 题型一：阿氏圆 阿氏圆：全名为阿波罗尼斯圆，因古希腊著名数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，故由此而得名。在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆（又称为圆的第二定义）． 特别地，当，点P的轨迹是线段AB的中垂线。 例1阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点与两定点的距离之比, 那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点为轴上一点,且，若点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 本题考查与圆相关的轨迹问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，考查数形结合思想． 令，则，由阿波罗尼斯圆的定义及已知可求得点的坐标，进而利用图象得解． 例2在棱长为的正方体中，是的中点，点是正方形面内（包括边界）的动点，且满足，则三棱锥的体积的最大值是 ，此时长度为 . 【思路点拨】 本题考查立体几何中动点轨迹问题,需要学生利用转化与化归思想将立体几何问题转化为平面几何问题求解,题目要求三棱锥的体积的最大值，由于面积已经是定值了,所以只需要使三棱锥高最大即可,即点到平面的距离最大.首先可以根据题目中所给的条件分析出∽,从而得到,因为为定值，由此可以联想到阿波罗尼斯圆，则点的轨迹是个圆,但是由于限定了点是正方形面内（包括边界）的动点，通过分析可知点的轨迹是一段圆弧，从而求出点到平面的距离的最大值，就可以求出三棱锥的体积的最大值了. 练1阿波罗尼斯古希腊数学家，约公元前年的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，，则的面积最大值为           ． 【思路点拨】 本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力． ，，即根据阿波罗尼斯圆可得：点的轨迹为圆去掉两个点求出圆的方程，进而得出结论． 练2已知圆：，直线：与轴交于点，过上一点作圆的切线，切点为，若，则实数的取值范围是________． 【思路点拨】 本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力． 设，由，求出点的轨迹方程，问题可转化为直线与圆有公共点的问题，列不等式求解即可． 题型二：蒙日圆 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1． 如图1，设椭圆的方程为, 则椭圆两条互相垂直的切线、交点的轨迹是蒙日圆：． 蒙日圆的性质：如下图所示， 延长、与蒙日圆分别交于点，与交于点Q,则： （1）三点共线； （2）； （3）. 例3法国数学家加斯帕尔蒙日被誉为画法几何之父．他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根． 已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为，且，为坐标原点． 求椭圆的方程，并请直接写出椭圆的蒙日圆的方程； 设是椭圆外一动点不在坐标轴上，过作椭圆的两条切线，过作轴的垂线，垂足，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值． 【思路点拨】 本题考查了椭圆的标准方程以及直线和椭圆的位置关系，是一道难题． 根据已知条件求出，，从而求出椭圆，从而求出蒙日圆方程； 设  ，再求出满足的关系，再根据和基本不等式求出面积的最大值． 练3蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆, 如图，加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆或双曲线上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．则双曲线的蒙日圆的面积为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 设两条互相垂直的切线的交点为  ，设过点  且与曲线  相切的一条切线方程是  ，  ，由直线与双曲线相切联立方程，且  ，得出关于  的一元二次方程组  ，由根与系数的关系即可得出该双曲线蒙日圆的方程，即可求解． 练4法国数学家加斯帕尔蒙日创立的画法几何学对世界各国科学技术的发展影响深远在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆已知双曲线的实轴长为，其蒙日圆为 求双曲线的标准方程 设为双曲线的左顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使为定值． 【思路点拨】 本题考查蒙日圆，考查直线与双曲线的综合应用，考查定值问题，属于较难题． 求出，，即可得双曲线的标准方程 当直线的斜率存在时，设的方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理和数量积的坐标运算求出当时，直线的方程为，过定点当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设直线，联立直线与双曲线方程，求出直线过定点，进而可求为定值． 题型三：特殊条件下的伴随圆 特殊条件下的伴随圆包括： 1.利用圆的性质（动点到两定点的夹角为直角）可确定隐圆. 2.已知两定点，动点满足为定值可确定隐圆. 3.已知两定点，动点满足是定值，确定隐圆． 例4 已知，为圆上的两动点，，点是圆上的一点，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 由于,由垂径定理：，于是在以为圆心，1为半径的圆上，进而利用图象得解． 例5如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点, （1）若直线平行于，与圆相交于两点，，求直线的方程； （2）若圆上存在两个点，使得，求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆、圆与圆的位置关系． 根据题意，由的坐标求出的方程以及斜率，进而求出圆心到直线的距离，利用直线与圆的位置关系和勾股定理建立方程，即可求直线的方程； 根据题意，设，由分析可得，即，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆；进而分析可得若圆上存在两个点， 使得，则圆与圆相交，结合圆与圆的位置关系分析可得答案． 练5 已知圆和两点，，若圆上存在点使得，则的最大值为________． 【思路点拨】 根据两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，再找出圆上的点到原点的距离的最大值，根据圆中直角所对的弦是直径得出的外接圆半径是，即，从而得出的最大值． 练6 在平面直角坐标系中，，，点在圆：上,若，则点的横坐标的取值范围是____． 【思路点拨】 本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，及数形结合思想的运用，属于中档题． 利用平面向量数量积坐标运算，结合圆与圆位置关系数形结合可得． <<<专题训练>>> 1.阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹，已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 2.世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.(多选) 若平面上动点到两定点，的距离之比为常数且，则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被后人称为阿波罗尼斯圆；在平面直角坐标系中，，，若动点满足，其轨迹为圆如图所示，则(    ) A. 不可能等于 B. 直线的斜率的取值范围为 C. 当点不在轴上时，面积的最大值为 D. 当点不在轴上时，∽恒成立 4.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足则点的轨迹方程为          在三棱锥中，平面，且，，，该三棱锥体积的最大值为          ． 5.已知圆：，、为圆上的两个动点，且，为弦的中点，，当、在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为          ． 6. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔蒙日最先发现．若椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点，过和原点作直线与椭圆的蒙日圆相交于，则_________． 7.法国数学家加斯帕尔蒙日是世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础．根据他的研究成果，我们定义：“给定椭圆：，则称圆心在原点、半径是的圆为椭圆的伴随圆”已知椭圆：的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为． 求椭圆和其“伴随圆”的方程； 若点是椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围； 在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线、，使得、与椭圆都只有一个交点，试判断、是否垂直？并说明理由． 共8页/第19页 学科网（北京）股份有限公司 $$