四川省南充市普通高中2024-2025学年高二下学期期末学业质量监测数学试题

四川省南充市普通高中2024-2025学年高二下学期期末学业质量监测数学试题 秘密★启封并使用完毕前【考试时间：2025年7月3日下午3：35－5：35】 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 2.若随机变量，且，则（ ） A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7 3.若，则（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 4.在二项式的展开式中，常数项为（ ） A.-20 B.-15 C.15 D.20 5.若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（ ） A.0.3 B.1 C.3 D.4 6.现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（ ） A.将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B.将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C.将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 D.现将五本书并排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 7.若数列满足，且不等式对一切正整数恒成立，则的最大值（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 8.函数有两个极值点满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是（ ） A.若等比数列的前项和，则实数 B.若数列为等比数列，且，则 C.若等差数列的前项和为，则成等差数列 D.若等差数列的前项和为，公差，则的最大值为30 10.已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D.被8整除的余数为1 11.已知函数，则（ ） A.函数在上无极值点 B.函数在上单调递增 C.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 D.若，则的最大值为-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若等差数列的前项和为，且，则____________. 13.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为____________. 14.某校开学后，食堂从开学第一天起，每天中午只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，如果第1天选择米饭套餐，那么第2天选择面食套餐的概率为；如果第1天选择面食套餐，第2天选择米饭套餐概率为，如此往复.设该同学第天选择米饭套餐的概率为，则____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知数列满足，且. （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16.（15分）已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 17.（15分）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. （1）设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 18.（17分）已知数列的前项和为，且. （1）求数列通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 19.（17分）已知函数（为自然对数的底数），. （1）求函数在区间上的最值； （2）若对，求证：； （3）求证：. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$南充市2024一2025学年度下期普通高中二年级学业质量监测 数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1 2 3 4 6 8 B A D 0 A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 10 11 BCD AC ABD 三、填空题：本题共3小题.每小题5分，共15分 12.66 13.(-L,2) 43*9 12 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15解：（）由a=得=+12分 a.+1 aa。 所以=3分 das dn 又a=1, 所以上)是以上=1为首项，公差为1的等差数列 .4分 a 所以L=1+0-)=n 5分 故an= 6分 n 26=+2=n+2 7分 d Sn=+b2+.+bn=(1+2)+(2+22)+.+(n+2） 8分 Sn=(0+2+…+川）+(2+2+…+Y）…10分 3.=1+m21-2”) 2 1-2 即S7+)+212- 13分 6解Df=-a-3r-m+ 当a=1时f(x)=x3+x2-x+1 2分 所以∫(x)=3x2+2x-1… 3分 又f(0)=4,f)=2 4分 所以曲线f（x)在(L,f)处的切线方程为：y-2=4(x-1) 即：4x-y2=0… 46分 (2)f气x）=3.x2-(a-3)x-a …7分 f'(x）=(3r-a）x+）-n 8分 当只=-1时，即a=-3.函数fx)在（一，+o0)上单调递增：…9分 3 当g>-1时，即a>-3 3 由f()>0,得x<-1或x>9 由fx)<0,得-1<x< 3 410分 函数/代)在(-见-)（号+四）上单调递增：在(-l学上单调递减分 当号-1时，甲a<-3 由fx)>0,得x<9或x>-1: 由f<0,得；<x<- 13分 函数f八x)在（←0，，(-1+o)上单调递增：在（侣-上单调递减l4分 综上： ①当a=-3时，函数f(x)在(-0，+o)上单调递增： ②当a>-3时，函数fx)在(-，-)，（号，+o)上单调递增，在(-1，）上单调递减： 回当a<-3时，函数f代)在(-，孕(-L+o)上单调递增，在（号-）上单调递减15分 17.解：(1)设事件A=“混合放在一起的零件来自第一车床”， 事件B=“混合放在起的零件来自第二车床” 事件C=“混合放在一起的零件是合格品”2分 则PA)=O,PB)=b 3分 0+b a+b 所以P(C)=P(A)P(CA)+PB)P(CB) 5分 所以0,96=×0.94+ ×0.98 …6分 a+b a+b 解得b=a 7分 (2)由题意得P()=6={ atb 2 随机变量X的取值为0,123,4.且X-B(4,》 …8分 9分 10分 mx--c-是 11分 12分 13分 所以随机变量X的分布列 X 0 1 2 3 4 1 3 1 1 16 4 4 16 则800=42 14分 D0=4×20--=l 415分 18.解：(1)当n=1时，2a=S+2,a=S,得a,=2 1分 当n≥2时，因为 2a-1=Sn+2 2分 2a,=S,+2 所以2(an-an-i)=am 即an=20-l… 3分 {an}是以a,=2为首项，公比为2的等比数列 4分 所以an=2" 5分 26=os4=” 6分 a T=b+b2+b3+..+b 12.3 =++++ 7分 2 ② 8分 11 1 0②得2，=2+交++ 9分 10- 27 10分 所以T=2-+2 2" .11分 1 3）由（2）知Cw=2.…12分 假设存在三个不同正整数p,9,r(p<q<r).使得C。,C,C,成等差数列。 1 等式两边同时乘以2”，得2P+1=2×2- 13分 因为r-p22,r-q21, (r-p)e,r-g∈2 14分 所以2-”+1为奇数，2×2-9为偶数 15分 2一P+1=2×2-9不可能成立. 16分 所以数列{c.}中任意不同的三项都不能构成等差数列… 17分 19.解：(1)因为f(x)=e'sinr,x∈0.] f'(x)=e'sinx+e'cosx=esin(x+ …分 由f倒>0得0<x<3 由f<0得3买<x<不 44442分 所以函数在[0，上单遥州，。 上单调递减3分 4分 所[eL=学=9产[VL0=0 5分 2)要证：xe(0,,fx)>egx) 只无证男m>h(+中x0引 6分 m(x)=sinx-In(x+1),m(x)=cosx x+1 n(x)=m(x),n'(x)=-sinx+ 1 …7分 x+1)月 因为函数y=smr、y= 48分 (x+1)月 则'(x)=-sir+ +少在区0上单调递减。 因为n(0)=1>0, 使得1(x)=0 9分 当0<x<x时，n(x)>0:当x<x<时，n()<0 所以m(x)在区间(0，x)上单调递增， 在区同 江上单调递减，…l0分 义因为m(0)=0,m(x)>0, -<0 +1 2 使得m(3)0, 当0<<时，m(>0:当<x<受时，m(k0. 所以m)在区间Q)上单调递增，在区间，上单调递减。 因为m0-0}-n经+小0 11分 所以sin>h(c+)在区间Q上相成立。 所以xe0,,f()>e8) 12分 (3)方法一： n+l小=n+, 所以sim2n22n 2n 3 5 7 2n+1 所以sin,>ln):sin 6 2n 2n 所以 1 3 +…+sin 4 ① 2n2 4 +n2n+ 2n 2n+12n+21 对vneN°，2n2n+122n+ >0,所以n2n+1 2n+2 In 2n 2n+1' 所以sin。+sin,+++sin 2 n4+n5+…+n2+2 15分 4 21 3 5 由不等式①和②相加可得 2 2 2 3 4 5 2 2H1 =ln3-ln2+ln4-ln3+…+ln(2n+2)-ln(2n+1)=ln(n+l). 6分 1 所以sim2+sin好t+sin 六na-得运 …17分 方法二： 2n 1 3 5 所以s2>n2,sin>n sinn 6,sin 7 >In2nt1 6 n 2n 所以m}+s方>n+n+…+h2g@ 1 1 1 3 5 2 14分 2n 4 2n 对aeN,当-片立>0所以2h, = 2n 即2 -> n 4小小15分 所以 1 sin+sinsin 2n +n+马= 2 in(n+1). 6分 所以如+sm…+sn方>之na+)得证. 17分 4 2n2 方法三： n是>n 只需证：sin2n2 13分 n 构造商数Fe)=snxn(2x+小x0 6 F(x)=cosx 2引则= (2r+7 易知p在区同单酒选减 因为0<时 所以2-m0>p≥p9 2-sinsin 1 -sin- >0 6 4分 所以)在区间（引}单调适特 因为0<x2 所以px)>p0)=0 15分 所以F'(x)>0 所以F在区间0 1 上单调递增 16分 因为0<兮 所以F(x)>F(O)=0 故原不等式成立 17分