精品解析：四川省达州市普通高中2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

达州市2025年普通高中二年级春季学期教学质量监测 数学试题 （满分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束以后，将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从6名学生中选出2名分别担任组长和副组长，则不同的选择方法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数的概念即可求解. 【详解】根据题意可知选出2人并担任不同职务，因此相当于选出两人并按照顺序排列， 所以根据排列数的概念可得：不同的选择方法数为. 故选：C 2. 已知事件发生的概率，事件发生的概率，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】由条件概率公式可得：, 故选：A. 3. 等差数列中，，，则数列的前10项和为（ ） A. 55 B. 65 C. 110 D. 130 【答案】B 【解析】 【分析】由题意列出相应方程组，解得，从而可求解. 【详解】设数列的首项为，公差为，由，， 即，解得，所以， 所以，故B正确. 故选：B. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.976 B. 0.024 C. 0.012 D. 0.988 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】由题意可得随机变量服从正态分布，且， 则，所以，故D正确. 故选：D. 5. 已知甲组有3名男生2名女生，乙组有2名男生4名女生，如果随机选1个组，再从该组中随机选1名学生，则该学生是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】依题意，选甲组概率为，选乙组概率为， 甲组里男生概率为，乙组里男生概率为， 所以该学生是男生的概率. 故选：A. 6. 某寝室安排3人打扫下一周5天的寝室卫生，每天只安排1人，每人至少打扫1天，则有多少种不同的安排方法（ ） A. 120 B. 150 C. 240 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①、分两种情况讨论将5天分成3组的情况数目，②、将分好的三组全排列，对应3人由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将5天分成3组 若分成1、1、3的三组，有种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有种分组方法， 则将5天分成3组，有种分组方法； ②将分好的三组全排列，对应3人，有种情况； 所以不同的安排方式则有种. 故选：B． 7. 定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，利用导数得在上单调递减，把转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】，， 构造， 所以， 所以在上单调递减，且， 不等式可化为，即，所以， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用时，和的结论即可选出答案 【详解】令，则， 所以在处单调递增，在处单调递减 所以， 所以时，， 另一方面，令,则 所以在处单调递减，在处单调递增 所以 所以时， 当时，， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，两组成对样本数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的线性相关性更强 B. 决定系数越接近0拟合效果越好 C. 若关于的经验回归方程为，则样本数据相应的残差为 D. 若关于的经验回归方程为的样本中心是，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据相关系数的性质分析判断；对于B，根据决定系数的性质分析判断；对于C，残差计算公式计算判断；对于D，根据经验回归方程过样本中心点分析判断. 【详解】对于选项A：样本相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，故A正确； 对于选项B：在回归分析中，越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B错误； 对于选项C：将代入，则，则残差为，故C错误； 对于选项D：经验回归直线必过中心点，将代入则故D正确. 故选： AD. 10. 已知，则（ ） A. 的展开式中含项的二项式系数为144 B. 的展开式中含项的系数为144 C. 的展开式的各二项式系数的和为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式定理相关知识，对选项逐一分析； 【详解】对于A，B：对于，其展开式的通项为 ，那么含项的二项式系数为，含项的系数为，故A错误，B正确. 对于C：根据二项式系数的性质，二项式展开式的各二项式系数的和为，那么的展开式的各二项式系数的和为，所以 C正确. 对于D：令 可得 ， 令 可得 ， 两式相加可得 ，故D正确. 故选：BCD 11. 已知各项均为正数的数列满足：，以及，数列满足，则（ ） A. B. 数列的前项和为 C. 数列的前项和为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助因式分解可得，再由可得，即可得数列，即可得；对B：借助等比数列与等差数列求和公式计算即可得；对C：借助裂项相消法计算即可得；对D：构造函数，结合导数研究其单调性可得，则可得，再利用等比数列求和公式计算即可得. 【详解】对A： ， 由，则，即， 故数列是以为公差的等差数列，则， 即，故，则， 故，则，故A正确； 对B：， 则其前项和为，故B错误； 对C: ， 则数列的前项和为： ，故C正确； 对D：，令，， 则，故在上单调递减， 则，即， 故 ， 即有，则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】通过导函数的图象得到导函数的符号，进而得到原函数的单调性，进而判断出极大值点 【详解】极大值点在导函数的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负， 由导函数的图象可知，这样的极大值点为1， 故答案为：1 13. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望以及方差公式，结合方差的性质即可求解. 【详解】，故，所以, 故. 14. 已知，函数，当时，有两个零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】令，可得，令，则有，利用导数可得在上单调递增，则有在时有两解，再构造函数，结合导数研究单调性后计算即可得. 【详解】令，即， 由，则， 令，，则， 则， 故在上单调递增， 故在时有两解，令，，则， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，，当时，， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着智能家居的迅速发展，扫地机器人已经成为许多家庭不可或缺的清洁助手.某扫地机器人公司在2024年底发布的某款旗舰级扫地机器人产品从2025年1月开始销售.该公司统计了从1月份到5月份每个月的销售量（万件）的数据如下表所示. 月份代码 1 2 3 4 5 销售量（万件） 1.75 2.5 3.75 5.5 7.75 （1）根据表格数据判断模型较为适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程，求关于的回归方程； （2）随机调查了200名购买者对该款扫地机器人的认可程度，得到的部分数据见下表： 认可 不认可 男性购买者 70 30 女性购买者 60 40 依据小概率值的独立性检验，分析购买者对该款扫地机器人的认可程度与性别是否有关联. 参考公式与数据：，，，，，其中. ，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）市民对直播带货认可程度与年龄无关联. 【解析】 【分析】（1）令，将非线性转化为线性，利用最小二乘法得出关于的回归方程； （2）先假设市民对直播带货认可程度与年龄无关联，再计算卡方，进行独立性检验即可. 【小问1详解】 令，得，可得， ， 则， ， 所以关于的回归方程为， 所以关于的回归方程. 【小问2详解】 零假设: 市民对直播带货认可程度与年龄无关; 因为, 依据小概率值的独立性检验,推断成立, 所以认为市民对直播带货认可程度与年龄无关联. 16. 已知数列的前项和为，，等比数列满足：，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和为. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用时，求出；设的公比为，则求出可得； （2）利用错位相减求和可得. 【小问1详解】 当时，， 当时，，所以； 设的公比为，则， 解得，； 【小问2详解】 由（1），， ， ， 两式相减得 ， 所以. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2） 见解析 【解析】 【分析】（1）先求出切点坐标及切线斜率；再根据直线方程的点斜式即可写出切线方程. （2）先求出导函数，令，解得：，；再根据和的大小关系分类讨论，令和即可求出函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，， 则，， 所以切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由，可得：. 令，解得：，. 当时，令，得或；令，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得或；令，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时，函数的单调递增区间为：和，单调递减区间为：； 当时，函数的单调递增区间为：上单调递增，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为：和，单调递减区间为：. 18. 有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. （1）若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； （2）若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 【答案】（1）分布列见解析 （2）均值为，方差为 【解析】 【分析】（1）的可能取值为6,7,8,9,10，求出相应的概率，得到分布列； （2）的可能取值为0,1,2，求出相应的概率，利用期望和方差公式进行求解. 【小问1详解】 的可能取值为6,7,8,9,10， ，， ，， ， 题目数的分布列如下： 6 7 8 9 10 【小问2详解】 的可能取值为0,1,2， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且没有正确解答， 故， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且正确解答其中的1道， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题目，且这道题目没能正确解答， 故， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且均正确解答， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题， 且这道题目正确解答， 或抽到的2道题均来自能正确解答的6道题目， 故， 所以该生答对的题目数的均值为， 方差为. 19. 函数，的导函数为. （1）求证：时，； （2）对，恒成立，求的取值范围； （3）求证：. 【答案】（1）证明：， 要证明，只需证明. 当时，， 不等式两边同时除以得：， 令，则 当时，恒成立， 在上是减函数. , ∴当时，恒成立， 即时，， 时， （2） （3）证明：当时，,即 由（1）知时，， 取，由（2）知，，， 当时， 接下来证明 当时，左边，右边，不等式成立， 假设时不等式成立，则 时，， 这里需要证明成立， 简化得， 整理得， 两边乘以得：，不等式成立 所以，对也成立 时，成立， 综合所有信息可得： 时， 时，； 时，不等式左边，右边 时，成立 综上， 【解析】 【分析】(1)求出，代入不等式再化简，构造，用导数求出成立，从而证明; (2)求，找到的临界点，用判断临界点性质，分析单调性，找出值域，得到答案; (3)换元，变形已知条件得，再由（1）（2）结合数学归纳法得出时，成立，最后验证时，不等式成立 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，, 令，得唯一解， 且 是唯一临界点 ,， 是增函数 在处取得极小值， 当时， 是最小值点 对，恒成立时，需 即 所以，的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州市2025年普通高中二年级春季学期教学质量监测 数学试题 （满分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束以后，将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从6名学生中选出2名分别担任组长和副组长，则不同的选择方法数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知事件发生的概率，事件发生的概率，则（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列中，，，则数列的前10项和为（ ） A. 55 B. 65 C. 110 D. 130 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.976 B. 0.024 C. 0.012 D. 0.988 5. 已知甲组有3名男生2名女生，乙组有2名男生4名女生，如果随机选1个组，再从该组中随机选1名学生，则该学生是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某寝室安排3人打扫下一周5天的寝室卫生，每天只安排1人，每人至少打扫1天，则有多少种不同的安排方法（ ） A. 120 B. 150 C. 240 D. 300 7. 定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，两组成对样本数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的线性相关性更强 B. 决定系数越接近0拟合效果越好 C. 若关于的经验回归方程为，则样本数据相应的残差为 D. 若关于的经验回归方程为的样本中心是，则 10. 已知，则（ ） A. 的展开式中含项的二项式系数为144 B. 的展开式中含项的系数为144 C. 的展开式的各二项式系数的和为 D. 11. 已知各项均为正数的数列满足：，以及，数列满足，则（ ） A. B. 数列的前项和为 C. 数列的前项和为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点为___________. 13. 已知，，，则______． 14. 已知，函数，当时，有两个零点，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着智能家居的迅速发展，扫地机器人已经成为许多家庭不可或缺的清洁助手.某扫地机器人公司在2024年底发布的某款旗舰级扫地机器人产品从2025年1月开始销售.该公司统计了从1月份到5月份每个月的销售量（万件）的数据如下表所示. 月份代码 1 2 3 4 5 销售量（万件） 1.75 2.5 3.75 5.5 7.75 （1）根据表格数据判断模型较为适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程，求关于的回归方程； （2）随机调查了200名购买者对该款扫地机器人的认可程度，得到的部分数据见下表： 认可 不认可 男性购买者 70 30 女性购买者 60 40 依据小概率值的独立性检验，分析购买者对该款扫地机器人的认可程度与性别是否有关联. 参考公式与数据：，，，，，其中. ，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列的前项和为，，等比数列满足：，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和为. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 18. 有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. （1）若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； （2）若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 19. 函数，的导函数为. （1）求证：时，； （2）对，恒成立，求的取值范围； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $