精品解析：江西省九师联盟2024-2025学年高二下学期7月期末质量检测数学试题（湘教）

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版选择性必修第二册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数的概念与性质. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得集合，再结合集合间的补集和交集运算求解即可. 【详解】因为，， 且全集，可得， 所以. 故选：C. 2. 若随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. 0.24 B. 2.4 C. 0.28 D. 2.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点分布的性质结合方差定义计算求解. 【详解】设， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 3. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导可得，结合导数的定义运算求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 4. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件对应集合中的包含关系，解出不等式，判断解集的关系，判断结果. 【详解】已知，解得， 已知，化简得，解得， 可知，即不能推导，可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量中点到平面的距离公式求解即可． 【详解】， ，又， 点到平面的距离为， 故选：B 6. 已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，利用导数分析的单调性和极值点，结合题意列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，则， 又因为，令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 则有且仅有一个极值点， 若函数在上恰有一个极值点， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 7. 已知奇函数的定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数性质可知函数在内单调递减，再根据奇函数性质以及单调性解不等式即可. 【详解】因为当且，时，恒成立， 则在内单调递减， 又因为函数为奇函数，可知在内单调递减， 所以函数在内单调递减， 若，则， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构建，，利用导数分别判断其单调性，结合单调性比较大小即可. 详解】构建，则， 可知函数在内单调递增，则， 令，可得， 即，所以； 构建，则， 可知函数在内单调递增，则， 令，可得，即， 可得，所以； 综上所述：. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列四个命题，其中是真命题的有（） A. 若点共面，则存在实数，使得 B. 若分别为平面的法向量，且，则 C. 若分别为平面的法向量，且，则 D. 若，则直线所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由共面向量定理可判断A；对于B，由题可知，进而由，可求出；对于C，由题可知，列等式组即可求解；对于D，根据空间角的向量求法求解即可. 【详解】对于A，根据共面向量定理可知A正确； 对于B，，，，解得，故B正确； 对于C，，，即， ，消去,并整理得，故C错误； 对于D，，，， ， 因为异面直线所成的角范围为， 所成的角为，故D正确, 故选：ABD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BD：根据基本不等式运算求解即可；对于C：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：若，取，但，故A错误； 对于选项B：若，则， 可得，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于选项C：若，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于选项D：若，，， 则，，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，，则（ ） A. 函数的一个周期为4 B. 函数是偶函数 C. D. 不存在，使得在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据题意奇偶性的定义结合周期性的定义分析判断；对于B：整理可得，结合题意以及奇偶性定义分析判断即可；对于C：根据题意求，利用并项求和结合周期性求解；对于D：做出函数图象，结合图象分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为为偶函数，则， 可得， 又因为为奇函数，则， 即，可得， 则， 所以函数的一个周期为4，故A正确； 对于选项B：由可得， 且，可得， 可知函数为奇函数， 显然不恒为0，所以函数不为偶函数，故B错误； 对于选项C：因为，， 且当时，，则，解得， 又因为，可知， 则，为偶数， 可得 ， 所以，故C正确； 对于选项D：做出函数的部分图象， 结合图象可知在上单调递增， 所以存在，使得在上单调递增，故D错误； 故选：AC. 三､填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得在上恒成立，利用数形结合思想列出不等式求解即得. 【详解】因函数的定义域为 则在内恒成立， 故需使，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 某市10000名学生的联考数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是_____．（参考数据：若，则，） 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的概率，再应用概率计算人数即可. 【详解】某市10000名学生联考数学成绩服从正态分布， 且 则成绩位于的人数大约是. 故答案为：. 14. 一个盒子中有4个球，分别标记为号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知的可能取值为，分别计算其概率，进而可得的分布列，进而求 【详解】由题可知 的可能取值为，总的选取可能数为种， 表示四次都取到不同的球，有种，； 表示有1个球至少取出了2次，包含三种情况： ①该球取出了2次.先从4次中选出2次取出该球，再从剩下的3个球中选出2个球，使其在剩下的2次中排列,故有种； ②该球取出了3次.先从4次中选出3次取出该球，再从剩下的3个球中选出1个球，使其放在剩下的1次，故有种； ③该球取出了4次，有1种； 又因为从4个球中选出1个球有种，故； 表示有2个球各自出现了2次， 先从4个球中选出2个球，有种，再从4次中选出2次取出同一个球，有种，剩下一个球的位置会随之确定，因此共有种，故， 所以的分布列为 0 1 2 所以， 故答案为： 四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某饮品店统计了一天营业时间（单位：小时）与饮品销量（单位：杯）的数据如下表： 营业时间 1 2 3 4 5 饮品销量 17 36 56 77 99 已知与线性相关. （1）根据以上数据求饮品销量关于营业时间的回归直线方程； （2）若平均一杯饮品的纯利润为5元，某日该饮品店计划早上9点开始营业，晚上9点结束营业，中间不休息，试预测当日饮品的总利润能否超过1000元？ 参考公式：回归直线方程中，. 【答案】（1） （2）可预测当日饮品的总利润能超过1000元. 【解析】 【分析】（1）根据公式求解即可； （2）由题可知，求出此时的预测值及利润值，与1000比较即可. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， . 【小问2详解】 由题可知该饮品店营业时间为12小时，即， ， 故当日饮品的总利润为， 可预测当日饮品的总利润能超过1000元. 16. 如图，在四棱锥中，底面是线段上一点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在上取点使得，可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 在上取点，使得，得，因， 所以，因为，所以， 又因为，，所以， 可得四边形为平行四边形，， 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为底面，，以为原点， 所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 可得， ， 设为平面的一个法向量，则 ，令，则，所以， 设为平面的一个法向量，则 ，令，则，所以， 可得. 可得平面与平面所成角余弦值为. 17. 已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. （1）求函数与解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可. 【小问1详解】 因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 联立方程，解得，. 【小问2详解】 因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 18. 盛夏来临，某棋牌室举办为期一周的“消夏”围棋活动，分为趣味赛和积分赛（每局比赛必须决出胜负），规则如下：前2天举办趣味赛，每天仅首局比赛可获得积分，获胜得1分，失败得0分；积分赛在后5天进行，每天只有前两局比赛可获得积分，首局获胜得2分，次局获胜得1分，失败得0分．小张这一周中每天至少参加两局围棋比赛，已知她每天第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，，且各局比赛相互独立． （1）已知趣味赛两天积分不为0的参赛选手可获得精美礼品一份，． （i）求小张在趣味赛中获得精美礼品的概率； （ii）在小张获得精美礼品的条件下，求小张2天趣味赛仅积1分的概率； （2）设小张在后5天的积分赛中，恰有2天每天积分不低于1分的概率为，求的最大值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）计算两天积分不为0的概率，利用对立事件求概率即可； （ii）根据条件概率公式求概率即可； （2）先确定每天积分不为0的概率，后5天中积分不低于1的天数，，根据二项分布得出，再利用导数分析单调性，根据单调性确定最值即可. 【小问1详解】 （i）设小张在趣味赛中获得精美礼品事件为， 则， 所以小张在趣味赛中获得精美礼品的概率为. （ii）设小张2天趣味赛仅积1分事件为B， 则，所以， 在小张获得精美礼品的条件下，求小张2天趣味赛仅积1分的概率为. 【小问2详解】 设小张在后5天的积分赛中，一天中积分不低于1分事件为C， 则， 即在后5天中积分不低于1的天数，， 则，令， 则， ， 所以在单调递增，单调递减， 即， 所以当，即时，的最大值为. 19. 已知函数. （1）若从0到的平均变化率为，求方程在上的解； （2）求证：对任意实数； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均变化率的定义，求出参数值，写出函数解析式，解出方程即可. （2）根据不等式，构造两个函数，通过导函数求出两个函数的单调性，说明不等式恒成立. （3）根据解恒成立问题的方法，构造函数，通过函数导数求出单调性，求出函数最值，根据函数最值说明不等式恒成立. 【小问1详解】 由，得， 所以， 令，得，又，所以， 所以方程在上的解为． 【小问2详解】 不妨设，则， 设，则，所以单调递减， 因为，所以，即，所以． 设，则，所以单调递增， 因为，所以，即， 所以． 综上所述，，即． 【小问3详解】 已知对恒成立． 设， 当时，由，得， 即， 设，则，且． 当时，设， 因为函数与在上均单调递减，所以在上单调递减， 又 所以，使得， 所以当时，单调递增；当时，单调递减． 又，故对任意的， 所以在上单调递增，． 所以当时，在上恒成立，即恒成立． 当时，， 令，则， 因为函数与在上单调递减，所以在上单调递减， 又，所以存在，使得， 所以当时，，所以在上单调递增， 又， 若，则存在，使得， 且时，，在上单调递减， 因此时，，即； 若，则时，，在上单调递减， 所以时，，即． 与对恒成立矛盾，所以不成立． 综上所述，，即实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版选择性必修第二册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数的概念与性质. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A B. C. D. 2. 若随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. 0.24 B. 2.4 C. 0.28 D. 2.8 3. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A. B. C. D. 6. 已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数的定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列四个命题，其中是真命题的有（） A. 若点共面，则存在实数，使得 B. 若分别为平面的法向量，且，则 C. 若分别为平面的法向量，且，则 D. 若，则直线所成的角为 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，，则（ ） A. 函数的一个周期为4 B. 函数是偶函数 C. D. 不存在，使得在上单调递增 三､填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____. 13. 某市10000名学生的联考数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是_____．（参考数据：若，则，） 14. 一个盒子中有4个球，分别标记为号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则__________. 四､解答题：本题共小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某饮品店统计了一天营业时间（单位：小时）与饮品销量（单位：杯）数据如下表： 营业时间 1 2 3 4 5 饮品销量 17 36 56 77 99 已知与线性相关. （1）根据以上数据求饮品销量关于营业时间的回归直线方程； （2）若平均一杯饮品的纯利润为5元，某日该饮品店计划早上9点开始营业，晚上9点结束营业，中间不休息，试预测当日饮品的总利润能否超过1000元？ 参考公式：回归直线方程中，. 16. 如图，在四棱锥中，底面线段上一点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. （1）求函数与的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 盛夏来临，某棋牌室举办为期一周的“消夏”围棋活动，分为趣味赛和积分赛（每局比赛必须决出胜负），规则如下：前2天举办趣味赛，每天仅首局比赛可获得积分，获胜得1分，失败得0分；积分赛在后5天进行，每天只有前两局比赛可获得积分，首局获胜得2分，次局获胜得1分，失败得0分．小张这一周中每天至少参加两局围棋比赛，已知她每天第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，，且各局比赛相互独立． （1）已知趣味赛两天积分不为0参赛选手可获得精美礼品一份，． （i）求小张在趣味赛中获得精美礼品的概率； （ii）在小张获得精美礼品的条件下，求小张2天趣味赛仅积1分的概率； （2）设小张在后5天的积分赛中，恰有2天每天积分不低于1分的概率为，求的最大值． 19. 已知函数. （1）若从0到的平均变化率为，求方程在上的解； （2）求证：对任意实数； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $