21.1 一元二次方程 讲义　　 2025—2026学年人教版数学九年级上册

21.1 一元二次方程 暑假预习讲义 【知识精讲+例题讲解+巩固练习】 知识精讲 一、一元二次方程的定义 1.概念阐述：只含有一个未知数（这就是“一元”的含义），并且未知数的最高次数是2（即“二次”）的整式方程，其一般形式为（）。 2.关键要点： （1）一定要注意二次项系数，若，那么方程就变成了一元一次方程，比如当时，方程就变为，这就不符合一元二次方程的定义了。 （2）方程是整式方程，这意味着方程中分母不能含有未知数，像就不是一元二次方程，因为它含有分式，不满足整式方程的要求。 二、一元二次方程的一般形式 1.标准形式：（）。 2.各项含义及注意事项： （1）是二次项系数，它决定了二次项的大小和性质，比如在方程中，二次项系数。 （2）是一次项系数，在上述方程中，一次项系数。 （3）是常数项，该方程里常数项。 （4）系数、、都可以是实数，并且在确定一个方程的各项系数时，要先将方程化为整式形式的标准式，例如方程，需要先展开括号并化简为，即，进一步移项化为标准形式，此时才能准确确定，，。 三、一元二次方程的根 1.定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就叫做这个方程的根（也称为解）。 2.示例理解：比如对于方程，当时，把代入方程左边得，方程左右两边相等，所以就是方程的一个根；同样，当时，，所以也是这个方程的根。由此可见，一元二次方程最多可以有两个实数根，但也有可能只有一个根（两个相同的根，这种情况叫重根）或者没有实数根（后续学习判别式时会详细了解）。 四、根据实际问题列一元二次方程 1.一般步骤： （1）第一步是仔细审题，明确题目中的未知量，然后设这个未知量为。比如在一个关于长方形面积的问题中，如果要求长方形的长或宽，就可以设其中一个为。 （2）第二步是根据题目所给的数量关系，列出含有未知数的等式。例如，已知长方形的面积是平方米，长比宽多米，设宽为米，那么长就是米，根据长方形面积公式“面积 = 长×宽”，就可以列出方程。 （3）第三步是将列出的等式化简为一元二次方程的标准形式。上面所举例子中，展开并移项后可化为。 五、易错点提醒 1.忽略条件：在遇到形如这样的方程时，一定要先讨论是否为。如果，即时，方程就变成了一元一次方程；只有当时，它才是一元二次方程。 2.未化为标准形式：有些方程一开始不是标准形式，比如，如果不将其移项化为的标准形式，就很容易错误判断各项系数，甚至在后续解题过程中出现错误。 3.混淆项的次数与系数：对于像这样的项，要清楚系数是，表示该项的数字因数，而次数是，指的是未知数的指数，不能将两者搞混。 例题讲解 一、一元二次方程的定义及相关的量 【典型例题】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：A．，是一元二次方程，故此选项符合题意； ．，是二元二次方程，故此选项不合题意； ．，是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意； ．，未知数的最高次数是3次，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故答案为：A． 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案. 【变式训练1】方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】【解答】解：方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是5，-6，-1. 故答案为：A. 【分析】由一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义即可求解. 【变式训练2】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵关于x的方程 是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：B 【分析】根据一元二次方程定义可得，解之即可． 【变式训练3】若是关于的一元二次方程，则的值是　 　． 【答案】1 【解析】【解答】解：是关于的一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：1． 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，据此求解。 二、一元二次方程的一般形式 【典型例题】将一元二次方程化为一般形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得： 一元二次方程化为一般形式为， 故答案为：C 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可求出答案. 【变式训练】将方程化为一般形式为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：将 方程 左右两边去括号，得． 再移项，得． 接着合并同类项，得． 故填：． 【分析】去括号，移项，再合并同类项即可． 三、列一元二次方程 【典型例题】为丰富乡村文本生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得. 故答案为：A. 【分析】利用比赛的总场数=参赛队伍数×（参赛队伍数-1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程. 【变式训练1】公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：设原正方形的空地的边长为，则剩余空地的长和宽分别为和， 由题意，得：； 故答案为：A． 【分析】设原正方形的空地的边长为xm，结合图形，用含x的式子表示出剩余空地的长与宽，进而利用长方形的面积等于18和矩形的面积公式列出方程即可． 【变式训练2】已知一个数x与比它大2的数的积等于35．请根据题意，列出关于x的方程　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意：， 故答案为：． 【分析】根据 一个数为x ，另一个数位x+2，利用“乘积等于35”列一元二次方程解题即可． 【变式训练3】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：设每个支干长出个小分支， 根据题意列方程得：． 故答案为：． 【分析】由题意设每个支干长出个小分支，每个小分支又长出个分支，则又长出个分支，则共有个分支，即可列方程． 四、一元二次方程的根 【典型例题】如果 是方程 的解，那么常数k的值为（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：把 代入方程 得 解得： 故答案为：D. 【分析】由题意把x=-1代入方程可得关于k的一元一次方程，解方程可求得k的值. 【变式训练1】已知一元二次方程有一个根是1，那么这个方程可以是　 　.（写一个即可） 【答案】x2﹣2x+1＝0 【解析】【解答】解：答案不唯一.一元二次方程ax2+bx+c＝0中几个特殊根的形式：x＝1时，a+b+c＝0.只须使方程系数满足a+b+c＝0即可. 如x2﹣2x+1＝0. 故答案为：x2﹣2x+1＝0. 【分析】开放性的命题，答案不唯一：根据一元二次方程的定义及方程根的概念即可写出答案. 【变式训练2】若一元二次方程 的一个根为0，则 　 　. 【答案】1 【解析】【解答】解：把 代入得： ， 解得： ， 又因为： 为一元二次方程， 所以： ， 所以： . 故答案为： . 【分析】将x=0代入方程中可得a的值，由一元二次方程的概念可得a≠-1，据此可得a的值. 巩固练习 一、选择题 1．下列方程为一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A.未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意； B.不是整式方程，故选项错误，不符合题意； C.符合一元二次方程的定义，故选项正确，符合题意； D.方程含有两个未知数，故选项错误，不符合题意。 故答案为：C. 【分析】 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。根据一元二次方程的定义对每个选项逐一判断求解即可。 2．若一元二次方程的二次项系数为1，则常数项为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【解析】【解答】解：一元二次方程的二次项系数为1，则常数项为， 故答案为：D． 【分析】根据一元二次方程相关量的定义即可求出答案. 3．方程的一般形式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解： ∴ ∴ ∴ 故答案为：B 【分析】去括号，然后移项合并同类项，化为的形式，即可求出答案. 4．若关于x的方程是一元二次方程，则a满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可知， 即：， 故答案为：B． 【分析】根据一元二次方程的定义得到，求出a的取值范围即可． 5．某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设共有x支球队参加比赛， 根据题意得：． 故答案为：． 【分析】设有支球队参赛，根据“ 采取单循环赛制，共安排了28场比赛 ”列一元二次方程即可． 6．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵当时，方程可化为； ∴方程必有一根为． 故选：B. 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 二、填空题 7．一元二次方程化为一般形式之后，则一次项的系数为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：， ∴， ∴一次项的系数为； 故答案为：． 【分析】根据一元二次方程的一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，移项即可求出答案. 8．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为　 　． 【答案】x（x﹣1）＝110 【解析】【解答】解：设这个小组有x人，则每人应送出(x﹣1)张贺卡，由题意得： x（x﹣1）＝110. 故答案为：x（x﹣1）＝110. 【分析】设这个小组有x人，则每人应送出(x﹣1)张贺卡，根据人数×每人送的张数=总张数可列出方程. 9．关于x的方程是一元二次方程，则　 　. 【答案】1 【解析】【解答】解： ∵原方程是一元二次方程， ∴k+1≠0，|k|+1=2 ∴k=1 故答案为：1. 【分析】原方程是一元二次方程，则x的最高次数为2，且二次项系数不为0，列式可求出k. 10．若 是方程 的一个解，则 ＝　 　． 【答案】3 【解析】【解答】∵ 是方程 的一个解， ∴2×22－2m-2=0， ∴m=3。 故答案为：3。 【分析】方程的解可以代入原方程，使原方程左右两边相等。故代入计算即可求出m。 11．若关于的二次方程的常数项等于，则的值为　 　． 【答案】2 【解析】【解答】解：根据一元二次方程的常数等于0， 可得，且，解得，且，所以． 故答案为：2． 【分析】根据一元二次方程的定义和常数为0，得到方程且，进而得出答案． 三、解答题 12．已知关于的方程． （1）当为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】（1）解：由一元一次方程得定义， 得 解得， 所以当时，此方程是一元一次方程； （2）解：由一元二次方程定义，得， 解得， ∴当k≠±2时，此方程是一元二次方程， 此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是． 【解析】【分析】（1）只含有一个未知数，未知数项的最高次数为1次，且一次项系数不为零的整式方程就是一元一次方程，据此可得二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案； （2）只含有一个未知数，未知数项的最高次数为2次，且二次项系数不为零的整式方程就是一元二次方程，据此列出不等式求解可得k的取值范围；一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)，其中二次项系数是a、一次项系数是b及常数项是c据此作答即可. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1 一元二次方程 暑假预习讲义 【知识精讲+例题讲解+巩固练习】 知识精讲 一、一元二次方程的定义 1.概念阐述：只含有一个未知数（这就是“一元”的含义），并且未知数的最高次数是2（即“二次”）的整式方程，其一般形式为（）。 2.关键要点： （1）一定要注意二次项系数，若，那么方程就变成了一元一次方程，比如当时，方程就变为，这就不符合一元二次方程的定义了。 （2）方程是整式方程，这意味着方程中分母不能含有未知数，像就不是一元二次方程，因为它含有分式，不满足整式方程的要求。 二、一元二次方程的一般形式 1.标准形式：（）。 2.各项含义及注意事项： （1）是二次项系数，它决定了二次项的大小和性质，比如在方程中，二次项系数。 （2）是一次项系数，在上述方程中，一次项系数。 （3）是常数项，该方程里常数项。 （4）系数、、都可以是实数，并且在确定一个方程的各项系数时，要先将方程化为整式形式的标准式，例如方程，需要先展开括号并化简为，即，进一步移项化为标准形式，此时才能准确确定，，。 三、一元二次方程的根 1.定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就叫做这个方程的根（也称为解）。 2.示例理解：比如对于方程，当时，把代入方程左边得，方程左右两边相等，所以就是方程的一个根；同样，当时，，所以也是这个方程的根。由此可见，一元二次方程最多可以有两个实数根，但也有可能只有一个根（两个相同的根，这种情况叫重根）或者没有实数根（后续学习判别式时会详细了解）。 四、根据实际问题列一元二次方程 1.一般步骤： （1）第一步是仔细审题，明确题目中的未知量，然后设这个未知量为。比如在一个关于长方形面积的问题中，如果要求长方形的长或宽，就可以设其中一个为。 （2）第二步是根据题目所给的数量关系，列出含有未知数的等式。例如，已知长方形的面积是平方米，长比宽多米，设宽为米，那么长就是米，根据长方形面积公式“面积 = 长×宽”，就可以列出方程。 （3）第三步是将列出的等式化简为一元二次方程的标准形式。上面所举例子中，展开并移项后可化为。 五、易错点提醒 1.忽略条件：在遇到形如这样的方程时，一定要先讨论是否为。如果，即时，方程就变成了一元一次方程；只有当时，它才是一元二次方程。 2.未化为标准形式：有些方程一开始不是标准形式，比如，如果不将其移项化为的标准形式，就很容易错误判断各项系数，甚至在后续解题过程中出现错误。 3.混淆项的次数与系数：对于像这样的项，要清楚系数是，表示该项的数字因数，而次数是，指的是未知数的指数，不能将两者搞混。 例题讲解 一、一元二次方程的定义及相关的量 【典型例题】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练2】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】若是关于的一元二次方程，则的值是　 　． 二、一元二次方程的一般形式 【典型例题】将一元二次方程化为一般形式为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】将方程化为一般形式为　 　． 三、列一元二次方程 【典型例题】为丰富乡村文本生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】已知一个数x与比它大2的数的积等于35．请根据题意，列出关于x的方程　 　． 【变式训练3】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为　 　． 四、一元二次方程的根 【典型例题】如果 是方程 的解，那么常数k的值为（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式训练1】已知一元二次方程有一个根是1，那么这个方程可以是　 　.（写一个即可） 【变式训练2】若一元二次方程 的一个根为0，则 　 　. 巩固练习 一、选择题 1．下列方程为一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的二次项系数为1，则常数项为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 3．方程的一般形式是（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则a满足的条件是（　　） A． B． C． D． 5．某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．一元二次方程化为一般形式之后，则一次项的系数为　 　. 8．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为　 　． 9．关于x的方程是一元二次方程，则　 　. 10．若 是方程 的一个解，则 ＝　 　． 11．若关于的二次方程的常数项等于，则的值为　 　． 三、解答题 12．已知关于的方程． （1）当为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$