1.1.5两条直线的交点坐标（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

1.5 两条直线的交点坐标 第一章 直线与圆 北师大版2019选择性必修第一册·高二 前情回顾 直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们 可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。 两点之间的距离 两条直线的交点 点到直线的距离 两平行直线的距离 思考：初中，我们学过几种直线的位置关系? 直线平行、相交、重合 平行 相交 重合 l2 l1 P l1 l2 思考：什么时候两条直线有交点呢?有几个交点呢？ 相交 重合 有一个交点 有无数个交点 章节导读 1.2直线的倾斜角、 斜率及其关系 1.3 直线 的方程 1.4两条直线的平行与垂直 1.5两条直线的交点坐标 直线的倾斜角 斜率 倾斜角与方向向量间的关系 一般式 、点法式 点斜式 、斜截式 、两点式 两条直线平行 两条直线垂直 1.6距离公式 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式 学 习 目 标 1 2 3 理解两条直线的交点坐标的代数含义与几何含义. 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 能利用方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 读教材 阅读课本P19-P20，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“两条直线的交点坐标”吧！ 1.两条直线的交点坐标和这两个直线方程有何关系？ 2.直线的位置关系和直线方程组的解有何对应关系？ 今天，我们一起来探讨上面的问题？ 新课引入 几何角度 代数角度 ？ ？ 点 直线 点在直线上 直线1上与2的交点是 学习过程 01 03 02 目录 1 两条直线的交点坐标 3 题型训练 2 直线的交点系方程 新知探究1 点在直线上 思考： 点(4,1)在直线上吗？你是怎么判断的？ 点(0,3)和点(4,1)在直线上吗？ 点的坐标满足直线方程 思考： 点(4,1)在直线上，也在直线上， 那么点(4,1)与这两条直线与何关系？画出图象并观察? 点(4,1)是直线与 直线的交点坐标。 思考：如果任给两个直线方程， 你能求出它们的交点坐标吗？怎么求？ 新知探究1 探究1 已知两条直线，：相交， 它们的交点坐标与直线，的方程有什么关系？ 分析:直线，的图象如图所示， 点既在直线上，也在直线上; 满足直线l1的方程x＋y－5＝0， 也满足直线l2的方程x－y－3＝0. 即为方程组的解 两条直线的交点坐标 所在直线二元一次方程组的解 新知1 两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点坐标: 将两条直线的方程联立，得方程组：， 若方程组有唯一解 点在直线上 点的坐标满足直线方程 两条直线的交点坐标 所在直线二元一次方程组的解 典例分析 例1 已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4,1)是△ABC的三个顶点， 求证：△ABC的三条中线交于一点. 解：根据已知条件将A，B，C三点画在平面直角坐标系中，如图. 设点E，F，G分别为AB，BC，AC的中点，则易求得三边的中点坐标分别为 课本第20页 所以中线AF所在直线的方程为x=1，中线BG所在直线的方程为： 即： ，中线CE所在直线的方程为： 即： 典例分析 例1 已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4,1)是△ABC的三个顶点， 求证：△ABC的三条中线交于一点. 解：由 得 ，即交点P的坐标为 课本第20页 ∴点P 满足中线CE所在直线的方程，即点P 在中线CE所在直线上. 所以△ABC的三条中线交于一点. 因为： 典例分析 例2 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： ， 解：解方程组得 所以，与的交点是.(如图) 典例分析 例3 求下列直线的交点： (1)， ； (2) (3)， . 解：(1) 与交点坐标为 (2)与的交点是 (3)的交点是. 课本第20页 学习过程 01 03 02 目录 1 两条直线的交点坐标 3 题型训练 2 直线的交点系方程 新知探究2 探究2 直线，直线 方程组一定有且只有一个解吗？什么时候无解，什么时候有多个解？ x y O 1 -2 2 -2 -1 -1 2 1 -3 4 3 5 6 3 4 l2 x y O 1 -2 2 -2 -1 -1 2 1 -3 4 3 5 6 3 4 无数组解， 且每一组解都满足方程 新知2 2. 方程组的解与直线的位置关系: 判断两条直线的位置关系 方程组的解 唯一解 无数个解 无解 直线l1和l2交点个数 1个 无数个 0个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 直线位置关系 直线斜率 解方程 直线方程系数关系或斜率关系，快速判断两条直线平行或相交（垂直） 解的个数与交点的个数的对应，判断两条 直线平行或相交；求相交直线交点坐标. 新知探究2 探究3 当λ变化时，直线方程 表示什么图形，有何特点？ 当λ=0时,方程为3x+4y-2=0 x y 当λ=1时,方程为5x+5y=0 当λ=－1时,方程为x+3y-4=0 O 该直线过定点： 注：此直线系方程少一条直线l2 几何意义: 此方程表示经过直线=0与直线=0 交点的直线束(但不包括直线=0 ). 新知2 3. 直线的交点（定点）系方程： 直线的交点系方程 经过两相交直线，的 交点的直线方程为： 注： 其中是待定系数， 当时，表示直线， 此方程无法表示直线 x y O 注：此直线系方程少一条直线l2 典例分析 例1 判断下列各对直线的位置关系；如果相交，求出交点的坐标： (1)，； (2) (3)，. 相交（3，1） 平行 重合 典例分析 解：(1)解方程组所以两条直线的交点坐标为 (2)解方程组 ，得，矛盾， 这个方程组无解，所以与无公共点， (3)解方程组 得 和可以化为同一个方程，即和表示同一条直线，与重合. 典例分析 例2 直线经过原点, 且经过直线与直 的交点, 求直线的方程？ 解：由已知可设直线方程为 因为直线经过原点，代入得 即 所以，直线方程为即 典例分析 例3 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程？ 解：∵设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11， ∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 典例分析 例4 求斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0 交点的直线方程？ 解：设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0， 即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 方法总结 两条直线的位置关系 (1)判断两直线位置关系的关键是看两直线的方程组的解的情况. (2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用. 学习过程 01 03 02 目录 1 两条直线的交点坐标 3 题型训练 2 直线的交点系方程 利用直线的交点求参 题型1 题型探究 例1 已知三条直线，， 相交于一点，求的值？ 解：解方程组 所以两条直线的交点坐标为. 由题意知点在直线上， 将代入，得，解得. 题型探究 例2 直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2,1)，求m＋n的值？ 解：∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1). ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10. 利用直线的交点求参 利用直线的交点求参 题型1 题型探究 例3 两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y 轴上,求k 的值？ 解：因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上， 所以设交点为(0，b)， 利用直线的交点求参 题型1 题型探究 例4 在下列直线中，与直线相交的直线为( ). . . . . 判断直线的位置关系 题型2 解： C 题型探究 例5 若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限， 求k的取值范围？ ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， 判断直线的位置关系 题型2 课堂小结 1.两条直线的交点坐标: 将两条直线的方程联立，得方程组：， 若方程组有唯一解 点在直线上 点的坐标满足直线方程 两条直线的交点坐标 所在直线二元一次方程组的解 课堂小结 2. 方程组的解与直线的位置关系: 方程组的解 唯一解 无数个解 无解 直线l1和l2交点个数 1个 无数个 0个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 直线位置关系 直线斜率 解方程 直线方程系数关系或斜率关系，快速判断两条直线平行或相交（垂直） 解的个数与交点的个数的对应，判断两条 直线平行或相交；求相交直线交点坐标. 课堂小结 3. 直线的交点（定点）系方程： 经过两相交直线，的 交点的直线方程为： 注： 其中是待定系数， 当时，表示直线， 此方程无法表示直线 x y O 注：此直线系方程少一条直线l2 感谢聆听！ ∴k＝＝－2，解得λ＝5. 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0， 即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. 所以消去b，可得k＝±6. 解得 ∴ 解得 即－<k<－. 解：联立两直线的方程 $$