14.3 角的平分线同步提升练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 同步提升 一．选择题 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，根据尺规作图的痕迹作射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 第1题 第2题 2．如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点P作直线l的垂线．其中作法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，∠AOB的平分线上有一点P，过点P作OA的平行线PC，∠CPO＝15°，OC＝2，则点P到射线OA的距离为（　　） A． B．1 C． D．2 第3题 第4题 第5题 第6题 4．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若DE＝3，AC＝4，则△ADC的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 6．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD和AE分别为ABC的高和角平分线，CD和AE相交于点F，已知AB：AC＝5：3，则CF：FD＝（　　） A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1 第7题 第8题 第9题 第10题 8．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OAC，△OBC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　） A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＞S3 C．S1+S2＜S3 D．S1+S2＝2S3 二．填空题（共6小题） 9．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点P，画射线OP，若P（2a﹣1，a+1），则a＝　 　 ． 10．如图，O为△ABC三个内角平分线的交点，AB＝6，将△ABC向下平移得到△FGO，OF、OG分别与AB相交于点D、E，则图中阴影部分的周长为 　 　 ． 11．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若DE＝1，则BC的长为 　 　 ． 第11题 第12题 第13题 第14题 12．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，，AC＝1cm，则BC长为 　 　 cm． 13．如图，已知△ABC的面积是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的周长＝ 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，AC＝4cm，AB＝6cm，△ABC的面积为12cm2，则DE的长度为 　 　 cm． 三．解答题 15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D． （1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ABD的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的角平分线交AC于E，求证：CB＝CE． 16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB． （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC的中点，AM平分∠DAB． （1）DM是否平分∠ADC？请证明你的结论． （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． 18．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M （1）求证：AP平分∠CAB； （2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数； （3）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△CAN≌△CMN． 19．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． （1）求证：OP平分∠AOB； （2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 20．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H． （1）求证：∠BEC＝∠ADC； （2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案与解析 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D C C A B 二．填空题 9．解：由作图过程可知，OP为∠MON的平分线， ∴∠MOP＝45°， ∴2a﹣1＝a+1， 解得a＝2． 故答案为：2． 10．解：连接OA，OB， ∵O为△ABC三个内角平分线的交点， ∴OA平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠OAC， 由平移的性质得到：OF∥AC， ∴∠AOD＝∠∠OAC， ∴∠OAD＝∠AOD， ∴AD＝OD， 同理：BE＝OE， ∴阴影部分的周长＝OD+DE+OE＝AD+DE+BE＝AB＝6． 故答案为：6． 11．解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝1， 在Rt△BDE中，∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝2， 在Rt△CDF中，∠C＝45°， ∴CDDF， ∴BC＝BD+CD＝2， 故答案为：2． 12．解：过D作DH⊥AB于H， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∴DH＝DC， ∵△ABD的面积AB•DH，△ACD的面积AC•CD， ∴△ABD的面积：△ACD的面积＝AB：AC， ∵△ABD的面积：△ACD的面积＝BD：CD， ∴AB：AC＝BD：CD＝3：1， ∵AC＝1cm， ∴AB＝3cm， ∴BC2（cm）． 故答案为：2． 13．解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD＝3， ∴OD＝OE＝OF＝3， ∵△ABC的面积是21， ∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB＝21， ∴， ∴， ∵OD＝3， ∴BC+AC+AB＝14，则△ABC的周长为14， 故答案为：14． 14．解：过点D作DF⊥AB于F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DF＝DE， ∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积AB•DFAC•DE6DE4DE＝12cm2， 解得DEcm， 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 15．（1）解：如图， （2）证明：如图， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90°， ∴∠A＝∠CBD， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠DBE， ∴∠CBE＝∠CBD+∠DBE， ∴∠CEB＝∠A+∠ABE， ∴∠CBE＝∠CEB， ∴CB＝CE． 16．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E， ∴DE＝DC． 在Rt△CDF与Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝EB． （2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD＝DE． 在Rt△ACD与Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x， 解得x＝2，即CF＝2． 17．解：（1）结论：MD平分∠ADC． 理由：过点M作ME⊥AD于点E． ∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝90°， ∴∠C＝90°， ∵M是BC的中点， ∴MB＝MC， ∵AM平分∠DAB，ME⊥AD，MB⊥AB， ∴MB＝ME， ∴ME＝MC， ∵ME⊥DA，MC⊥CD， ∴DM平分∠ADC； （2）结论：AM⊥DM． 理由：∵AB∥CD， ∴∠DAB+∠ADC＝180°， ∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC， ∴∠ADM∠ADC，∠DAM∠DAB， ∴∠ADM+∠DAM∠ADC∠DAB（∠ADC+∠DAB）＝90°， ∴∠AMD＝90°， ∴AM⊥DM． 18．（1）证明：连接PE、PF，如图， 由作法得AE＝AF，PE＝PF， 而AP＝AP， ∴△AEP≌△AFP（SSS）， ∴∠EAP＝∠FAP， 即AP平分∠CAB； （2）解：∵CD∥AB， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣114°＝66°， ∵AP平分∠CAB， ∴∠MAB∠BAC＝33°； （3）解：∵CD∥AB， ∴∠BAM＝∠CMA， ∵∠CAM＝∠BAM， ∴∠CAM＝∠CMA， ∴CA＝CM， ∵CN⊥AM， ∴∠CNA＝∠CNM， 在△CAN和△CMN中 ∴△CAN≌△CMN（AAS）． 19．（1）证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E， ∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN， ∴PC＝PD， ∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB， ∴PD＝PE， ∴PC＝PE， ∴OP平分∠AOB； （2）∵△PMN的面积是16，MN＝8， ∴MN•PD＝16， ∴8•PD＝16， ∴PD＝4， ∴PD＝PC＝PE＝4， ∵△OMN的面积是24， ∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝16+24＝40， ∴△POM的面积+△PON的面积＝40， ∴OM•PCON•PE＝40， ∴OM•4ON•4＝40， ∴OM+ON＝20， ∴线段OM与ON的长度之和为20． 20．解：（1）∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠DAC＝∠DAB∠BAC＝15°，∠ACE∠ACB＝45°， ∴∠CDA＝∠BAD+∠ABD＝75°，∠BEC＝∠BAC+∠ECA＝75°， ∴∠BEC＝∠ADC； （2）相等， 理由：如图①，过点F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴HF＝FG，∠DHF＝∠EGF＝90°， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠DAC∠BAC＝15°， ∴∠CDA＝75°， ∵∠HFC＝45°，∠HFG＝120°， ∴∠GFE＝15°， ∴∠GEF＝75°＝∠HDF， 在△DHF和△EGF中， ， ∴△DHF≌△EGF（AAS）， ∴FE＝FD； （3）成立． 理由：如图②，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°， ∴四边形BNFM是圆内接四边形， ∵∠ABC＝60°， ∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵∠CFA＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠ABC）＝180°（180°﹣60°）＝120°， ∴∠DFE＝∠CFA＝∠MFN＝120°． 又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE， ∴∠DFM＝∠NFE， 在△DMF和△ENF中， ∴△DMF≌△ENF（ASA）， ∴FE＝FD． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/5 16:18:38；用户：王妍；邮箱：18068992688；学号：38112000 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 5页） 14.3 角的平分线 同步提升 一．选择题 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，根据尺规作图的痕迹作射线 AP，与 BC相交于点 D，则 ∠ADC的度数为（ ） A．60° B．65° C．70° D．75° 第 1题 第 2题 2．如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点 P 作直线 l的垂线．其中作法正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，∠AOB的平分线上有一点 P，过点 P作 OA的平行线 PC，∠CPO＝15°，OC＝2，则点 P到射 线 OA的距离为（ ） A． 1 2 B．1 C． 3 2 D．2 第 3题 第 4题 第 5题 第 6题 4．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交 BC于点 D，DE⊥AB，垂足为 E，若 DE＝3，AC＝4，则△ ADC的面积为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．三条公路将 A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要 使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 6．如图，AB∥CD，BP和 CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点 P，且与 AB垂直，若 AD＝8，则点 P 第 2页（共 5页） 到 BC的距离是（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD和 AE分别为 ABC的高和角平分线，CD和 AE相交于点 F， 已知 AB：AC＝5：3，则 CF：FD＝（ ） A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1 第 7题 第 8题 第 9题 第 10题 8．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接 OA，OB，OC，若△OAB，△OAC，△OBC的面积分 别为 S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ） A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＞S3 C．S1+S2＜S3 D．S1+S2＝2S3 二．填空题（共 6 小题） 9．如图，在平面直角坐标系中，以点 O为圆心，适当长为半径画弧，交 x轴正半轴于点 M，交 y轴正半 轴于点 N，再分别以点 M、N为圆心，大于 1 2 ��的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点 P，画射线 OP，若 P（2a﹣1，a+1），则 a＝ ． 10．如图，O为△ABC三个内角平分线的交点，AB＝6，将△ABC向下平移得到△FGO，OF、OG分别与 AB相交于点 D、E，则图中阴影部分的周长为 ． 11．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交 BC于点 D，DE⊥AB，垂足为 E，若 DE＝1，则 BC的长为 ． 第 11题 第 12题 第 13题 第 14题 12．如图，△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D， �� �� = 3 1 ，AC＝1cm，则 BC 长为 cm． 13．如图，已知△ABC的面积是 21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于 D，且 OD＝3，则 △ABC的周长＝ ． 第 3页（共 5页） 14．如图，在△ABC中，已知 AD平分∠BAC，DE⊥AC于点 E，AC＝4cm，AB＝6cm，△ABC的面积为 12cm2，则 DE的长度为 cm． 三．解答题 15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点 D． （1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ABD的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的角平分线交 AC于 E，求证：CB＝CE． 16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点 E，点 F在 AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB． （2）若 AB＝12，AF＝8，求 CF的长． 第 4页（共 5页） 17．如图，在四边形 ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为 BC的中点，AM平分∠DAB． （1）DM是否平分∠ADC？请证明你的结论． （2）线段 DM与 AM有怎样的位置关系？请说明理由． 18．如图，AB∥CD，以点 A为圆心，小于 AC长为半径作圆弧，分别交 AB，AC于 E，F两点，再分别以 E，F为圆心，大于 1 2 EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点 P，作射线 AP，交 CD于点 M （1）求证：AP平分∠CAB； （2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数； （3）若 CN⊥AM，垂足为 N，求证：△CAN≌△CMN． 第 5页（共 5页） 19．如图，在∠AOB的两边 OA、OB上分别取点 M、N，连接 MN．若 MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． （1）求证：OP平分∠AOB； （2）若 MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是 16和 24，求线段 OM与 ON的长度之和． 20．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、 CE相交于点 F，且 FG⊥AB于 G，FH⊥BC于 H． （1）求证：∠BEC＝∠ADC； （2）请你判断并 FE与 FD之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平 分线，AD、CE相交于点 F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立， 请说明理由．