24.3 正多边形和圆课件2024-2025学年人教版九年级数学上册

24.3 正多边形和圆 情境引入 实际生活中，经常遇到画正多边形的问题， 比如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角 星等，这些问题都与等分圆周有关.要制造如下图中的零件，也需要等分圆周. 2 引入新知 　　已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． O 3 问题2：正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 总结：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形. 第二步 交流预习 环节2:师友释疑 温馨提示：学友先回答，师傅再补充，对师友存在的共性问题进行重点强调 问题1： 怎样把一个圆进行四等分？依次连接各等分点，得到一个什么图形？ A B C D · 第二步 互助探究 环节1:师友探究 问题2：把⊙O 进行五等分,依次连接各等分点得到五边形ABCDE .这个五边形是正五边形吗？说说你的理由。如果六、七…等分？如果将圆ｎ等分呢？ · A E D C B O 温馨提示：学友主讲,师傅补充和纠正,其他师友进行答疑或点评 问题3：什么是正多边形的中心？什么是正多边形的半径、中心角、边心距？请举例说明。 问题4：n边形的内角和的计算公式？正n边形的一个内角的度数是多少度？中心角是多少度？中心角与外角有什么关系？ 结论：将一个圆分成ｎ等份，依次连接各分点得到一个正ｎ边形． O C D A B M 半径R 圆心角 弦心距r 弦a 圆心 类比学习 圆内接正多边形 外接圆的圆心 正多边形的中心 外接圆的半径 正多边形的半径 每一条边所 对的圆心角 正多边形的中心角 每一条边所对应的弦心距 正多边形的边心距 第二步 互助探究 温馨提示：类比圆的有关概念学习正多边形的相关概念,师傅指导和纠正。 环节2:教师讲解 （1）正n边形的每个内角都等于= （2）正n边形的每个中心角都等于. （3）正n边形的每个外角都等于. 操作并观察: 当n为奇数时, n=3时, 有三条对称轴 n=5时, 有五条对称轴 n=7时, 有七条对称轴 一个正n边形,当n为奇数时,它有n条对称轴,各边的垂直平分线都是它们的对称轴. 操作并观察: 当n为偶数时, n=4时, 有四条对称轴 n=6时, 有六条对称轴 n=8时, 有八条对称轴 一个正n边形,当n为偶数时,它有n条对称轴,过相对两内角的顶点的直线,或一边的垂直平分线都是它们的对称轴. 正n边形是中心对称图形吗? 问题2: 一个正n边形,当n为奇数时,正n边形不是中心对称图形; 一个正n边形,当n为偶数时,正n边形是中心对称图形. 对称中心是它的两条对称轴的交点. 例2 如图29-5-4，△ABC为⊙O的内接正三角形．如果的⊙O半径为r，求这个正三角形的边长和边心距． 解：如图29-5-5，连接OB，过点O作OD⊥BC，垂足为D.在Rt△OBD中， ∵∠OBD=30°，OB=r， ∴OD= ，BD= ，BC=2BD= . 即这个正三角形的边长为 ,边心距为 . 正多边形边数 边长 半径 边心距 中心角 3 4 6 知识点 正多边形的有关计算 【例题】如图24-3-1，已知正六边形ABCDEF的半径 R＝ 4 cm，求这个正六边形的中心角α，边长 a，周长 P 及面积 S. 图 24-3-1 中心 E D C B A O 半径 中心角 边心距 正多边形中的有关概念： F 既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心. 正n边形的一个内角的 度数是____________; 中心角是___________; 正多边形的中心角与外角的 大小关系是________. 中心角与内角互补. 相等 想一想： E D C B A O F 有一个亭子,它的地基半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1 m2). 因此，亭子地基的周长 l =4×6=24(m). 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 例 变式 例1中的亭子地基如果是正八边形,其他条件不变. (1)用适当的工具在如图24-3-4所示的圆中画出正八边形; 解:(1)如图所示,正八边形ABCDEFGH即为所求. 图24-3-4 (2)求出地基的中心角和面积.(结果保留根号) (2)如图,连接OA,OB,过点A作AM⊥OB于点M. ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴地基的中心角∠O==45°, ∴△OAM是等腰直角三角形. ∵OA=OB=4 m,∴AM=OM=2 m, ∴S△OAB=OB·AM=×4×2=4(m2), ∴地基的面积=8S△OAB=8×4=32(m2). 学 方法 等分圆周画正多边形的工具和方法 ①只用量角器:用量角器把360°的圆心角n等分,相应的圆周 也被n等分,顺次连接各分点得到正n边形. ②用量角器和圆规:先用量角器画出360°的圆心角的,相应 得到圆周的;再用圆规顺次截取,便得到圆周的n等分点,顺 次连接各分点得到正n边形. ③用圆规和直尺:用尺规等分圆周,可以作正六边形、正方 形等特殊正多边形. 新知讲解 用量角器等分圆： 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个 的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”.这种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小． 用尺规等分圆： 用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法． 19 课堂练习 1.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 A 2.已知圆的半径是2则该圆的内接正六边形的面积是( ) A.3 B.9 C.18 D.36 C 20 课堂练习 3．正三角形的边心距、半径和高的比为(　　) 　A．1∶2∶　　　　　 　B．1: :3 　C．1∶ ∶　 D．1∶2：3 4．如图，正六边形的内切圆的半径OD＝ cm，则它的中心角∠AOB＝____，边长AB＝____cm，正六边形的面积S＝ cm2. D 60° 2 $$