15.1.2 线段的垂直平分线 第2课时线段垂直平分线的作图 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第15章 轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段垂直平分线的作图 情境导入 壹 目 录 课堂小结 肆 当堂达标 叁 新知初探 贰 情境导入 壹 情境导入 复习回顾：线段垂直平分线的有关性质. 1.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 符号语言表达为： ∵直线PC是线段AB的垂直平分线 ∴PA=PB 复习回顾：线段垂直平分线的判定方法 符号语言表达为： 2.到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上. ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 如图所示，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 新知初探 贰 新知初探 任务一　线段垂直平分线的画法 活动1 问题1 有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的，如何验证呢？ A B C A ′ B ′ C ′ 通过折叠，如果这（两）个图形能够互相重合，则这（两）个图形是轴对称的. 问题2 不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 问题3 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称， 你能作出这条直线吗？ 分析： 图形轴对称的性质是：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段 被对称轴垂直平分. 所以连结AB，作出线段AB的垂直平分线就可以了. 如何作出线段AB的垂直平分线呢? 分析： 因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 所以要作出线段AB的垂直平分线，只要找到两个到A、B距离相等的点，点C和点D，再由两点确定一直线就可知直线CD就是线段AB的垂直平分线了. 如何找到点C和点D呢？ 思 考 如何作出线段的垂直平分线? 分析： 连结CA、CB、DA、DB， 则CA=CB，DA=DB. 为了方便，我们使作点C和作点D时所取的半径相等，这样作一次弧就可以同时得到点C和点D了.再由两点确定一直线可知:直线CD就是所求作的线段AB的垂直平分线了. 因为CA=CB，所以分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交就可以找到点C了.同样的方法可以找到点D. 思 考 如何作出线段AB的垂直平分线? 作法: (2)作直线CD. (1)分别以点A和点B为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于C，D两点; ∴ 直线CD就是所求作的直线. O 这个作法就是线段垂直平分线的尺规作图法. 思 考 如何作出线段AB的垂直平分线? 注意： O 由作图和分析可知：CD垂直平分AB， 也就是说CD与AB的交点O是AB的中点， 且CD⊥AB. 所以，线段垂直平分线的尺规作图法，也是线段的中点的尺规作图法. 思 考 范例应用 【例1】 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是. 公共汽车站 活动2 如图，五角星是轴对称图形，请作出它的一条对称轴. 分析： 所以找出这个五角星的一对对应点A和B， 连结AB，作出线段AB的垂直平分线m，则直 线m就是这个五角星的一条对称轴. 因为轴对称图形的对称轴，是任何一对 对应点所连线段的垂直平分线. ∴ 直线m即为所求作的一条对称轴. m 类似地，你能作出这个五角星的其他对称轴吗？ 方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，就能得此图形的对称轴. 利用垂直平分线的作法画对称轴的“三字诀” (1)找：无论是作成轴对称的两个图形的对称轴，还是作轴对 称图形的对称轴，其关键都是找出图形中的任意一组对应点； (2)连：连接这组对应点； (3)作：作所连线段的垂直平分线，该垂直平分线就是成轴对 称的两个图形或这个轴对称图形的一条对称轴． 即时测评 如图，△ABC与△A′B′C′关于某直线对称，请你作出它们的对称轴. 解：(1)连接BB′; (2)分别以B，B′为圆心，以大于 BB′ 的长为半径画弧，两弧交于D，E两点. (3)连接DE，则直线DE即为所求. 范例应用 问题2 如果点C在直线AB上， 那么过点C怎样作出AB的垂线？ 作法: (1)任意取一点Ｋ，使点K和点C在AB的两旁. (4)作直线CF. ∴ 直线CF就是所求作的垂线. (2)以点Ｃ为圆心，CK的长为半径作弧，交 AB于点D和点E. 【例2】尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知：直线AB和AB外一点C（如图） 求作：AB的垂线，使它经过点C. (3)分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长 为半径作弧，两弧交于点F. 问题1 根据上面作法中的步骤,想一想,为什么直线CF就是所求作的垂线? 已知：直线AB和AB上一点C（如图） 若点C在直线AB上，那么过点C怎样作出AB的垂线？ 分析： 同样找到例题中的线段DE就可以了. D E 求作：AB的垂线，使它经过点C. 这时以点C为圆心，任意长为半径 作弧，交AB于点D和点E，就可以得到 例题中的线段DE了. 思 考 已知：直线AB和AB上一点C（如图） 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法: (1)以点C为圆心，任意长为半径作弧， 交AB于点D和点E； ∴ 直线CF即为所求作的垂线. (3)作直线CF. D E (2)分别以点D和点E为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧交于点F. 若点C在直线AB上，那么过点C怎样作出AB的垂线？ 思 考 （1）经过已知直线外一点 作这条直线的垂线 （2）经过已知直线上一点 作这条直线的垂线 归纳：这两种情况就是“经过一点作已知直线的垂线” 的所有情况. 例2 变式 当堂达标 叁 当堂达标 1.如图所示，在△ABC中，分别以点A、B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D、E，则直线DE是（　　） A．∠A的平分线 B．AC边的中线 C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线 D 2．如图所示的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们所有的对称轴． 3.有A，B，C三个居民小区，现准备要建一所超市，要求超市到三个居民小区的距离相等，请你确定超市的位置. A B C 解：如图所示，连接AC，作AC的垂直平分线，连接BC，作BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是超市的位置. 课堂小结 肆 课堂小结 线段的垂直平分线的性质 用尺规作图作线段垂直平分线 作轴对称图形的对称轴 这是作对称轴的重要方法，也是作线段的中点和直线的垂线的方法. 课后作业 基础题：1.课后习题 第 10题。 提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第12题 谢 谢 $$