14.3 角的平分线 第2课时　角平分线的判定课件 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

第14章 全等三角形 14.3 角的平分线 第2课时　角平分线的判定 情境导入 壹 目 录 课堂小结 肆 当堂达标 叁 新知初探 贰 情境导入 壹 情境导入 定义 作法 性质 判定 OP平分∠AOB， PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别是D，E PD=PE 平行线的性质：两直线平行，同位角相等 平行线的判定：同位角相等，两直线平行 如果把角平分线的性质的题设与结论交换，是否能得到角平分线的判定方法呢？ 思 考 新知初探 贰 新知初探 任务一　探究角平分线的判定定理 活动1　我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，你能得到哪一个命题？这个命题还成立吗? 到角两边距离相等的点在角的平分线上. 活动1 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上. 到角的两边距离相等的点在角的平分线上. ？ OP平分∠AOB ∠AOP=∠BOP △DOP≌△EOP 分析 画出 图形 写出 已知 求证 已知：如图，点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP ｛ 证明猜想 作射线OP， 此时点P满足PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，且PD=PE，但是点P并不在∠AOB的角平分线上. 角的平分线的判定： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 符号语言： 如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线上. 图形 已知条件 结论 C 1 2 P D E O C B 1 A 2 P D E OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE P D E O B A P D E C 角的平分线的性质和判定的区别与联系 两个定理的条件与结论是相反的 PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB 即时测评 判断以下说法正确吗？ （1）如图1，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( ) 判断以下说法正确吗？ （2）如图2，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的 平分线； ( ) 判断以下说法正确吗？ （3）如图3，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，且QM=QN,则点Q在∠AOB 的平分线上．( ) 双垂直+等线段 若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，且OM=ON, ∴点O在∠MQN的平分线上. 因为角的平分线上的点到角两边的距离相等; 反过来，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 归纳总结： 范例应用 【例题】 如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P. 求证：(1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等； D E F A B C P N M BP平分∠ABC， PD⊥AB，PE⊥BC, 垂足是D，E， PD=PE CP平分∠ACB， PE⊥BC，PF⊥AC ,垂足是E，F， PE=PF PD=PE=PF 范例应用 【例题】 如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P. 求证：(1)点P到三边AB,BC,CA的距离相等； D E F A B C P N M 证明：（1）过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA,垂足分别为D，E，F. ∵ BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴ PD=PE . 同理 PE=PF . ∴ PD=PE=PF . 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 【例题】 如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P. 求证：(2) △ABC的三条角平分线交于一点. D E F A B C P N M 证明：(2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等, ∴点P在∠A的平分线上， ∴△ABC的三条角平分线交于一点. 归纳总结：三角形三个内角的平分线交于一点，而且这个点到三边的距离相等. 当堂达标 叁 1. 如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ的度数为( ) A、20° B、30° C、35° D、40° 当堂达标 C 2.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 C 解：QM=QN.理由如下： ∵PE⊥OA，PF⊥OB，PE=PF， ∴OP平分∠AOB， ∵QM⊥OA，QN⊥OB， ∴QM=QN． 3.如图，点P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E，点F，且PE=PF．点Q是OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别为点M和点N，QM与QN相等吗？为什么？ 4.如图所示，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC. 证明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分别为Q，M，N. 因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上， 所以PM = PQ，PN = PQ， 所以PM = PN. N Q M 又PM⊥AE，PN⊥AF， 所以 AP平分∠BAC. 课堂小结 肆 课堂小结 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 课后作业 基础题：1.课后习题 第 3,6题。 提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第8题 谢 谢 $$