14.3 角的平分线 第1课时 角平分线的性质 课件2025-2026学年 人教版八年级数学上册

第14章 全等三角形 14.3 角的平分线 第1课时 角平分线的性质 情境导入 壹 目 录 课堂小结 肆 当堂达标 叁 新知初探 贰 情境导入 壹 情境导入 如图所示的是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？ A B D C E A B D E C 如图所示的是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC， 将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？ 在△POM和△PON中, 所以△ADC≌△ABC(SAS), 所以∠DAC= ∠BAC. 所以AE是∠DAB的平分线. 新知初探 贰 新知初探 任务一　探究用尺规作已知角的平分线 　 (1)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，M,N分别是OA,OB上的点，探究PM与PN的关系. A O B C P M N 当OM与ON满足什么关系时,PM=PN? OM=ON 证明：因为OC是∠AOB的平分线， 所以∠POM=∠PON, 在△POM和△PON中, 所以△POM≌△PON(SAS), 所以PM=PN. 活动1 A O B P M N (2)如图，M,N分别是∠AOB的的边OA,OB上的点，OM=ON， 点P在∠AOB的内部，PM=PN. 连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么? OP就是∠AOB 的平分线． ∠POM=∠PON 　△POM≌△PON OM=ON，OP=OP，PM=PN, 【思考】从上面的探究过程，你受到哪些启发？ 请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系. 做一做 已知: ∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. A B O A B M N C O 仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 半径小于 MN或等于 MN，可以吗？ 任务二 探究角平分线的性质 (1)利用尺规我们可以作一个角的平分线， 那么角的平分线有什么性质呢？ 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，通过动画演示，观察PD、PE并作比较，你得到什么结论？ 活动1 问题3 如何证明这个猜想？ 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E． 求证：PD =PE． PD=PE △PDO≌△PEO PD⊥OA，PE⊥OB OC是∠AOB的角平分线 ∠PDO=∠PEO ∠POD=∠POE OP=OP 已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E． 求证：PD =PE． 证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO=∠PEO， 因为OC是∠AOB的角平分线， 所以∠POD=∠POE， 在△POD与△POE中， 所以△POD≌△POE(AAS), 所以PD=PE. 问题3 如何证明这个猜想？ 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： 因为OP 是∠AOB的平分线， 所以PD = PE （角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. PD⊥OA,PE⊥OB， (3)由角的平分线的性质的证明过程，你能 概括出证明几何命题的一般步骤吗？ （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 (题设) (结论) 已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E． （1）明确命题中的已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程． 求证：PD =PE． （1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明； （2）证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等. 范例应用 A B C D E F 证明： 因为AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， 所以 DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， 所以 Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). 所以 EB=FC. 例题 如图所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC. 分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF. 即时测评 1.如图,已知BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=6,则DF的长度是(　　) (A)2 (B)3 (C)4 (D)6 2.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是　 　. D 15 当堂达标 叁 当堂达标 2.如图所示，在△ABC中，AB = AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：①AD 上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD = CD，AD⊥BC；④∠BDE =∠CDF．其中，正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.在△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 . D 1.如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是（ ） A.PC = PD B.OC = OD C.∠CPO =∠DPO D.OC = PO D 3 解:点E即为所求,如图所示. 4.如图所示,四边形ABCD,在CD上求作一点E，使点E到射线AD与射线AB的距离相等. 5.如图AB=AC,BD=CD,DE⊥BA,点E为垂足,DF⊥AC, 点F为垂足,求证:DE=DF. 证明:在△ABD和△ACD中, 所以△ABD≌△ACD(SSS). 所以∠BAD=∠CAD. 因为DE⊥BA,DF⊥AC, 所以DE=DF. 课堂小结 肆 课堂小结 角的平分线的性质 会用尺规作图法画出一个已知角的平分线 性质 应用 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 利用角的平分线的性质解决计算与证明题 命题的证明的一般步骤 课后作业 基础题：1.课后习题 第 1,2题。 提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第7题 谢 谢 $$