函数的单调性 专题训练-2025届高三数学一轮复习

函数的单调性 1.复合函数单调性问题 例1．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是减函数 C．是偶函数，且在上是增函数 D．是偶函数，且在上是减函数 例3．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 例4．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.利用单调性解不等式 例5．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6．已知函数，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例7．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 例8．若函数的定义域为，且.若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例9．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例10．已知，若，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 3.利用单调性求解析式 例11．已知函数是定义在R上的单调函数．若对任意，都有，则（    ） A．9 B．15 C．17 D．33 例12．已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是___________________． 4.利用单调性找出多元变量之间的关系 例13．已知正实数满足，则的最小值为___________. 例14．已知实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 5.已知单调性求参数 例15．“”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（　　） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例16．命题 在上为增函数，命题Q：在单调增函数，则命题P是命题Q（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例17．已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.利用单调性之间比较大小 比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 例18．已知定义在上的奇函数满足:当时, ,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.同构出单调性后比较大小 例19．已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8.利用单调性求函数最值 例20．已知函数的最小值是－1，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.练真题汇编 1．（2024年新课标全国1卷）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题新高考1卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题新高考2卷）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 4．（2023·全国·高考真题乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 5．（2020年新高考2卷）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2020年新高考1卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2020年全国2卷）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 8．（2020年全国1卷）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2020年全国2卷）若，则（    ） A． B． C． D． 10．(2019年全国3卷)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则(　　) A． B． C． D． 11．（2018·全国·高考真题）若在是减函数，则的最大值是 A． B． C． D． 11．(2017年高考数学新课标1卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若 ,则满足的的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 12．（2017年全国2卷）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A． B． C． D． 13．（2015年全国1卷）设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A． B． C． D． 14．（2017年全国3卷）设函数则满足的x的取值范围是_________. 15．（2014年全国2卷）已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是_________. 10.练习 1．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，其中，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．曲线是轴对称图形 D．曲线是中心对称图形 6．设，且，则下列关系式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则不等式的解集为 . 8．已知函数（其中，且）为其定义域上的单调函数，则实数的取值范围为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的单调性 1.复合函数单调性问题 例1．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：函数在上是减函数，当时，恒成立，而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，因此，并且，解得， 所以实数的取值范围是.故选：D 例2．已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是减函数 C．是偶函数，且在上是增函数 D．是偶函数，且在上是减函数 解析：由题意可得： 且，由，故是偶函数；当时，，令，在时为单调递增函数，而 是单调递增函数，故函数在时为单调递增函数，故选：C 例3．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 解析：由函数在区间上单调递减，得在区间上单调递减，所以，解得.结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.故选：C. 例4．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：依题意在上恒成立且， 又可看成的复合函数，单调递减，欲使是减函数，只需递增，.故选：B 2.利用单调性解不等式 例5．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数， 且.所以函数在上为减函数. 由得.解得.故选:A. 例6．已知函数，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：令，则，因为，，∴为奇函数， 又因为，由复合函数单调性知为的增函数， ∵，则，∴， ， ∴，解得或，故 故选：D. 例7．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【详解】函数中，在上单调递减，在上单调递减，且，则函数在定义域上单调递减， ，，解得：，即不等式的解集为.故选：D. 例8．若函数的定义域为，且.若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为对任意不相等的实数，恒有， 所以，对任意不相等的实数，恒有，即， 令，所以，对任意不相等的实数，恒有，即，不妨设，则，所以，，即， 所以，在上单调递减.所以 ，所以不等式的解集为. 故选：D. 例9．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即，所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为.故选：D. 例10．已知，若，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【详解】因为在上为增函数，所以在上为增函数， 则，解得：，即a的取值范围为， 故选: C. 注：求解函数不等式时，由条件脱去，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域. 3.利用单调性求解析式 例11．已知函数是定义在R上的单调函数．若对任意，都有，则（    ） A．9 B．15 C．17 D．33 解析：因为是R上的单调函数，所以存在唯一的，使 由方程，得，则，所以 设，由于均为定义域内的单调递增函数，所以在R上是增函数，且3，所以，所以，故故选：C 例12．已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是___________________． 解析：因为函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，可设，故，且， 解可得，，所以，则．故答案为：． 注：利用单调性求解析式实质是严格单调函数的一一对应关系. 4.利用单调性找出多元变量之间的关系 利用单调性，即严格单调函数的一一对应关系找到多元变量的关系，从而解决问题. 例13．已知正实数满足，则的最小值为___________. 解析：由，得，令，则在上单调递增，所以，即，又因为是正实数， 所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为： 例14．已知实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 解析：由得，令，，在上单调递增，，，，，故当时，取最小值.故选：C. 5.已知单调性求参数 （1）已知单调性直接求参数 基本原理：已知函数在区间上单增，则，反之亦然. （2）同构出函数单调性后求参数 （3）分段函数单调性问题要注意 例15．“”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（　　） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若在区间（1，2）上单调递减，所以在区间（1，2）上恒成立，所以在区间（1，2）上恒成立，所以，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，所以“”是函数在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，故选：C. 例16．命题 在上为增函数，命题Q：在单调增函数，则命题P是命题Q（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为命题 在上为增函数，则有，解得，又因为命题Q：在单调增函数，则有，解得，若命题成立，则命题一定成立，反之则不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选：A. 例17．已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：不等式恒成立，即， 即时，，所以分段函数在上单调递减，（时也会得到分段函数在上单调递减），故每段函数为减函数，应满足，解得， 同时在上单调递减，对于边界值还需满足，解得或， 所以．故选：C. 6.利用单调性之间比较大小 比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 例18．已知定义在上的奇函数满足:当时, ,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】任取，则，所以. 由为定义在上的奇函数，所以，所以， 即在上都有.由幂函数的性质可知在上单调递增，所以不等式对任意实数恒成立可转化为： 对任意实数恒成立. 结合二次函数图像可得.故选：A. 7.同构出单调性后比较大小 例19．已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵，即， 构建，可知当时，则，故在上单调递减，又∵，即，且， 则，解得，故不等式的解集为.故选：C. 8.利用单调性求函数最值 例20．已知函数的最小值是－1，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，, 当时，，在上单调递减， 在上单调递增，所以在处取得最小值 当时，，在上单调递增， 所以在处取得最小值， 当时，，在上单调递减， 于题意不符； 当时，，在上单调递减， 于题意不符； .故选：C. 9.练真题汇编 1．（2024年新课标全国1卷）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围是（    ） A． B． C． D． 解析：因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即的范围是.故选：B. 2．（2023·全国·高考真题新高考1卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D 3．（2023·全国·高考真题新高考2卷）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 解析：依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即的最小值为．故选：C． 4．（2023·全国·高考真题乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是__________.（凌晨讲数学，更多优质资料，请前往公众号下载） 解析：由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：. 5．（2020年新高考2卷）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：由得或，所以的定义域为 因为在上单调递增，所以在上单调递增 所以，故选：D 6．（2020年新高考1卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或，解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D. 7．（2020年全国2卷）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 解析：由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D. 8．（2020年全国1卷）若，则（    ） A． B． C． D． 解析：设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 9．（2020年全国2卷）若，则（    ） A． B． C． D． 解析：由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 10．(2019年全国3卷)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则(　　) A． B． C． D． 解析：是上的偶函数，． ，又在(0，+∞)单调递减，，，故选C． 11．（2018·全国·高考真题）若在是减函数，则的最大值是 A． B． C． D． 解析：因为，所以由得，因此，从而的最大值为，故选：A. 11．(2017年高考数学新课标1卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若 ,则满足的的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 解析：因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得,即使成立的满足,选D． 12．（2017年全国2卷）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A． B． C． D． 解析： 是奇函数，故 ；又 是减函数，， 即 则有 ，解得 ，故选D. 13．（2015年全国1卷）设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A． B． C． D． 解析：构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：. 故选A. 14．（2017年全国3卷）设函数则满足的x的取值范围是_________. 解析：由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是. 15．（2014年全国2卷）已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是_________. 解析：因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得. 10.配套演练 1．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，其中，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．曲线是轴对称图形 D．曲线是中心对称图形 6．设，且，则下列关系式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则不等式的解集为 . 8．已知函数（其中，且）为其定义域上的单调函数，则实数的取值范围为 . 配套演练参考答案 1.解析：函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数， 且.所以函数在上为减函数. 由得.解得.故选:A. 2.解析：令，则，因为，，∴为奇函数， 又因为，由复合函数单调性知为的增函数， ∵，则，∴， ， ∴，解得或，故 故选：D. 3【详解】当且，时，恒成立， 可得在上单调递减，且关于对称，所以在上单调递增，，，，即.故选：B. 4.【详解】对任意，都有， 令，则在R上单调递增， 其中， 当时，，解得， 且，解得或， 故， 当时，， 因为，所以， 故在上单调递增，满足要求， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 5【详解】由题设，，定义域为且， 所以关于对称，C正确； 又， 当时，不妨假设，则，显然，此时在上有递减区间，A错误； 当时，在上，即在上递增，B错误； 由，不可能为定值，故D错误. 故选：C 6.【详解】由于，知，及其，则，解得， 对AB，，设函数，， 故在上单调递减，则1，即，故A对B错； 对C，由于，设，， 故在上单调递减，，故， 若，故C对； 对D，，设，， 令，则，则，，则，， 则在上单调递增，在上单调递减，，故，即，故D错误. 故选：AC. 7.解析：由已知得：， 所以，即，则不等式等价于，再由，可得在上单调递增，所以，解得，故答案为：. 8.【详解】， 记，在定义域上单调，可得必为单调函数. 若单调递增，则恒成立，即， ∴.又函数在时值趋近于0，不满足. 若单调递减，则恒成立，即 ，即，∴， 设，，则， 当时，不成立； 当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴，即， ∴，即，解得. 故答案为：. 1 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