精品解析：山东省东营市广饶县2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题

2024-2025学年第二学期期末考试 七年级数学试题 （总分130分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，100分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出答案超过一个均记零分． 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列所学过的真命题中，是基本事实的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 同位角相等，两直线平行 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 同角的余角相等 4. 已知关于x与y的方程组的解满足，则m应满足（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将一把直尺和一块含30°和60°角三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 7. 如图，的度数（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人匀速在400米环形跑道上跑步，同时同地出发，如果相向而行，每隔1分钟相遇一次；如果同向而行，每隔5分钟相遇一次，已知甲比乙的速度快．设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米，根据题意，列出方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（ ） A. 如图①，过点作 B. 如图②，延长到，过点作 C. 如图③，过上一点作， D. 如图④，过点作 10. 如图，在中，和平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 小明把一副扑克中带数字7的扑克牌全部拿出给小龙抽，则小龙抽到黑桃7概率为 _____． 12. 关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是________． 13. 如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线与相交于点，若，则______． 14. 如图所示，，，，，，则 ______ 15. 已知为三边的长，若，则的形状为__________ ． 16. 10年前，小明的爸爸的年龄是小明的6倍；10年后，小明爸爸的年龄是小明的2倍，则小明现在的年龄是_____ 17. 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为1，设点运动时间为秒，当是以为腰的等腰三角形时，的值为______． 18. 已知：；；；；…；． 请你根据上式中包含的规律，则不等式的解集是___________． 三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （）解方程组． （）解不等式组． 20. 分解因式． （1）； （2） 21. 如图，已知锐角，．请用尺规作图法，在内部求作一点P，使，且 （保留作图痕迹，不写做法）． 22. 【项目背景】《中华人民共和国保守国家秘密法》是规范国家秘密保护基础性法律，首次颁布于年，历经了年和年两次重大修订，最新修订版本于年月日起实施，今年月日是该部法律实施一周年纪念日，某校为了解同学们对该部法律的了解情况，选取了部分同学进行调查． 【数据的收集与整理】 该校道德与法治老师从七、八年级中各随机抽取了相同人数的学生进行答卷测评将抽查学生的成绩进行如下分组： 组别 并将抽查学生的成绩制成如下的统计图表： 八年级学生测试成绩频数分布表 组别 频数 频率 — 七年级组学生成绩（单位：分）为． 【数据分析与应用】 任务：本次抽查的七、八年级学生共多少人？的值是多少？ 任务：该校七年级共人，请估计七年级全体学生对法律了解情况是组别的学生数量； 任务：从七年级组学生中选取名男生和名女生，从八年级组学生中选取名男生和名女生组成《中华人民共和国保守国家秘密法》宣讲团，某天该校从宣讲团中任选一名同学到六年级宣讲该法律，求抽到的同学是女生的概率． 23. 如图，直线与直线相交于点，与轴分别交于两点． （1）求的值，并结合图象写出关于的方程组的解； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）求的面积． 24. 小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题． 应用题：小东在某商场中看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元．由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售， ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台．空调两台，共花费7200元．求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 解：设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意，得 25 利用三角形全等测距离． 任务1 目测出操场上与你距离相等两个点 方案 第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图 原理 ∵，，∴______， 又∵，，∴（______），∴______． 任务2 测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案 第一步：______； 第二步：______； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 26. 问题情境：如图①，，，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求的度数． （1）按小明的思路，易求得的度数为______度； （2）问题迁移：如图②，，点P在射线上运动，记，． ①当点P在B、D两点之间运动时，请直接写出与α，β之间的数量关系； ②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系； （3）问题解决： 如图③是北斗七星的位置图，将其抽象成图④，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且，，，那么与有什么关系？请说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期末考试 七年级数学试题 （总分130分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，100分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出答案超过一个均记零分． 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义以及性质对各项进行判断即可． 【详解】解：A．方程是三元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．方程不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．方程是二元一次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义把一个多项式分解为几个多项式的乘积即可求解． 【详解】解：A．右边为多项式，不是因式分解，故A错误； B．，是因式分解，故B正确； C．右边为多项式，不是因式分解，故C错误； D．，因式分解错误，故D错误． 故选：B． 3. 下列所学过的真命题中，是基本事实的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 同位角相等，两直线平行 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 同角的余角相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据公认的真命题称为基本事实即可逐一判断． 【详解】解：A、两直线平行，内错角相等；不是基本事实，不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是基本事实，符合题意； C、三角形两边之和大于第三边，不是基本事实，不符合题意； D、同角的余角相等，不是基本事实，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了基本事实，解题关键是熟知以下基本事实：①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；②两条平行线被第三条直线所截，同为角相等；③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；⑤三边对应相等的两个三角形全等；⑥全等三角形的对应边相等，对应角相等． 4. 已知关于x与y的方程组的解满足，则m应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式，理解两个方程的系数之间的特点是关键．两式相减得，即可利用m表示出的值，从而得到一个关于m的一元一次不等式，即可解答． 详解】解：， 由②①得到：， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5. 如图，若直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质可得，即可求解．本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握平行线的性质以及三角形外角的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ，， ， ， 故选：D． 6. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小． 【详解】由图可得,∠CDE=40° ,∠C=90°， ∴∠CED=50°， 又∵DE∥AF， ∴∠CAF=50°， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAF=60°−50°=10°， 故选A. 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键. 7. 如图，的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，把所求的五个角转化在一个三角形中是解题的关键．根据三角形外角的性质可得：，再根据三角形内角和定理即即可求解． 【详解】解：如图， ∵， 又∵， ∴． 故选：A． 8. 甲、乙两人匀速在400米环形跑道上跑步，同时同地出发，如果相向而行，每隔1分钟相遇一次；如果同向而行，每隔5分钟相遇一次，已知甲比乙的速度快．设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米，根据题意，列出方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，准确理解题意是解题的关键．根据题意找出等量关系即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， 故选：B． 9. 在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（ ） A. 如图①，过点作 B. 如图②，延长到，过点作 C. 如图③，过上一点作， D. 如图④，过点作 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质以，角平分线的性质与判定等知识，由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定①正确；过作于点于点，由三角形的面积证得②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确，即可得出结论，正确作出辅助线证得是解题的关键． 【详解】解：①∵和的平分线相交于点， ，， ∴，故①符合题意； ②过作于点，于点，如图： 和的平分线相交于点， ∴点在的平分线上， ， ，故②符合题意； ③∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 小明把一副扑克中带数字7的扑克牌全部拿出给小龙抽，则小龙抽到黑桃7概率为 _____． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】从4张扑克牌中任取一张，所有可能出现结果一共有4种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到黑桃7的结果有1种．根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：从4张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有4种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到黑桃7的结果有1种． 所以，抽到黑桃7的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 12. 关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据解的情况，列出关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：，得：， ∵不等式组有4个整数解， ∴，整数解为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 13. 如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线与相交于点，若，则______． 【答案】126° 【解析】 【分析】由AD∥BC，得出，再由三角形内角和得出，而得到 【详解】 AD∥BC， ， 则 故答案为126° 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，属于基础题． 14. 如图所示，，，，，，则 ______ 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质．先由得到，即可证明，得到，再由三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15. 已知为三边的长，若，则的形状为__________ ． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，对原式进行整理，得出，得到，因此三角形是等边三角形． 【详解】解：因为， 即， 即， 得：， 所以， 所以， 所以的形状为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 16. 10年前，小明的爸爸的年龄是小明的6倍；10年后，小明爸爸的年龄是小明的2倍，则小明现在的年龄是_____ 【答案】15岁 【解析】 【详解】本题考查一元一次方程. 设小明今年的年龄为，则年前小明的年龄为，爸爸的年龄为； ]年后小明的年龄为，爸爸的年龄为； 由题意有，即 整理得，解得. 17. 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为1，设点运动时间为秒，当是以为腰的等腰三角形时，的值为______． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、等腰三角形的定义、勾股定理等知识，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．根据题意，由勾股定理可得，设，根据等腰三角形的定义，分和两种情况，分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 根据题意，动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为1，点运动时间为， 则可设， ∵是以为腰的等腰三角形 ∴当时，可有， 解得， 当时，可有， 解得或（舍去）． 综上所述，的值为4或． 故答案为：4或． 18. 已知：；；；；…；． 请你根据上式中包含的规律，则不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，求不等式的解集，利用规律将不等式进行变形，再进行求解即可． 【详解】解： ， ∴原不等式化为：， ∴； 故答案为： 三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （）解方程组． （）解不等式组． 【答案】（）；（） 【解析】 【分析】（）先化简方程组，再利用加减法解答即可； （）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）方程组整理得，， ②①得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 20. 分解因式． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可； （2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 21. 如图，已知锐角，．请用尺规作图法，在内部求作一点P，使，且 （保留作图痕迹，不写做法）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．作的平分线，的垂直平分线，交于点，则点满足条件． 【详解】解：如图，点即为所求． 22. 【项目背景】《中华人民共和国保守国家秘密法》是规范国家秘密保护的基础性法律，首次颁布于年，历经了年和年两次重大修订，最新修订版本于年月日起实施，今年月日是该部法律实施一周年纪念日，某校为了解同学们对该部法律的了解情况，选取了部分同学进行调查． 【数据的收集与整理】 该校道德与法治老师从七、八年级中各随机抽取了相同人数的学生进行答卷测评将抽查学生的成绩进行如下分组： 组别 并将抽查学生的成绩制成如下的统计图表： 八年级学生测试成绩频数分布表 组别 频数 频率 — 七年级组学生成绩（单位：分）为． 【数据分析与应用】 任务：本次抽查的七、八年级学生共多少人？的值是多少？ 任务：该校七年级共人，请估计七年级全体学生对法律了解情况是组别的学生数量； 任务：从七年级组学生中选取名男生和名女生，从八年级组学生中选取名男生和名女生组成《中华人民共和国保守国家秘密法》宣讲团，某天该校从宣讲团中任选一名同学到六年级宣讲该法律，求抽到的同学是女生的概率． 【答案】任务：人，；任务：人；任务： 【解析】 【分析】任务：用八年级组的频数除以其频率可求出八年级学生抽查的人数，进而可求出的值和抽查的七、八年级学生人数； 任务：用乘以七年级组的学生人数占比即可求解； 任务：根据概率公式计算即可； 本题考查了频数分布直方图和频数分布表，样本估计总体，概率公式，看懂统计图表是解题的关键． 【详解】解：任务：∵， ∴八年级学生抽查了人， ∴， ∵抽查的七、八年级学生人数相同， ∴本次抽查的七、八年级学生共人； 任务：∵， ∴估计七年级全体学生对法律了解情况是组别的学生为人； 任务：由题意可知，宣讲团共有名同学，其中女生名， ∴选一名同学到六年级宣讲该法律，抽到的同学是女生的概率是． 23. 如图，直线与直线相交于点，与轴分别交于两点． （1）求的值，并结合图象写出关于的方程组的解； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（）把代入可求出的值，进而得到点的坐标，再把点的坐标代入可求出的值，由函数图象可得方程组的解； （）根据函数图象即可求解； （）求出的的坐标，进而得到的长，再根据三角形的面积公式计算即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，一次函数与不等式，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 由函数图象可知，方程组的解即为直线和直线的交点的坐标， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴． 24. 小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题． 应用题：小东在某商场中看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元．由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售， ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台．空调两台，共花费7200元．求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 解：设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意，得 【答案】被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元 【解析】 【分析】根据列出的方程可得出被污染的条件，然后根据题意列出另一个方程，解方程组即可得出答案． 【详解】解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元， 设“五一”前同样的电视每合x元，空调每台y元，根据题意，得 解得 即“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意列出方程组是解题的关键． 25. 利用三角形全等测距离． 任务1 目测出操场上与你距离相等的两个点 方案 第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图 原理 ∵，，∴______， 又∵，，∴（______），∴______． 任务2 测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案 第一步：______； 第二步：______； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 【答案】任务一：见解析；任务二：设计方案；第一步：在平地上取一个可以到达的点；第二步：连接，并延长，使，，连接；证明见解析； 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，熟练的利用全等三角形的性质解决问题是关键； 任务一：根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可； 任务二：根据全等三角形的性质设计方案；第一步：在平地上取一个可以到达的点； 第二步：连接，并延长，使，，连接；再画图，最后证明即可； 【详解】任务一： 解：∵，， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴． 任务二： 方案： 第一步：在平地上取一个可以到达的点； 第二步：连接，并延长，使，，连接； 如图，则的长度即为的长度； 理由：∵，，， ∴， ∴． 26. 问题情境：如图①，，，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求的度数． （1）按小明的思路，易求得的度数为______度； （2）问题迁移：如图②，，点P在射线上运动，记，． ①当点P在B、D两点之间运动时，请直接写出与α，β之间的数量关系； ②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系； （3）问题解决： 如图③是北斗七星的位置图，将其抽象成图④，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且，，，那么与有什么关系？请说明． 【答案】（1） （2）①．②或 （3）与的关系是：，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点P作，利用平行线的性质分别求出，，再求出它们的和即可得； （2）①过点P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②分两种情况：当P在的延长线上时；当点P在线段上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）根据（2）的结论得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：过点P作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ． 理由：如图，过点P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②如图，当点P在延长线上时，， 过点P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，当点P在线段上时，， 过点P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【小问3详解】 ∵，， 由（2）得：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理推论的应用，根据平行线的性质探究角的关系，求角的和差，解题关键是通过作辅助线构造平行线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$