预习第06讲 用空间向量研究直线、平面的平行 2025年升高二暑假数学讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第06讲 用空间向量研究直线、平面的平行 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 向量法证明线线平行 【题型二】 向量法证明线面平行 【题型三】 向量法证明面面平行 【题型四】 存在性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握利用空间向量证明线线平行； 2.掌握利用空间向量证明线面平行； 3.掌握利用空间向量证明面面平行. 【题型一】 向量法证明线线平行 相关知识点讲解 设直线的方向向量分别是， 则要证明，只需证明，即 【典题1】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 【典题2】（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，在正方体中，分别是棱的中点. 证明： ； 变式练习 1（24-25高二上·重庆·期中）已知点，，，若，，三点共线，则，的值是（   ） A．，3 B．，3 C．1，3 D．，2 2（24-25高二·全国·课后作业）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 【题型二】 向量法证明线面平行 相关知识点讲解 设直线的方向向量是，平面的法向量是，且， 则要证明，只需证明，即 【典题1】（24-25高二上·青海西宁·期中）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 【典题2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 变式练习 1（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 2如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 3（2025高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 4（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 【题型三】 向量法证明面面平行 相关知识点讲解 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，即证 【典题1】（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【典题2】（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    变式练习 1若平面，则下面选项中可以是这两个平面法向量的是（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 2设平面的法向量的坐标为，平面的法向量的坐标为.若，则等于（ 　 ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 3（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 4（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【题型四】 存在性问题 【典题1】（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 变式练习 1（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 3（2024·宁夏银川·一模）如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（    ）    A． B． C． D． 4（22-23高二上·广东·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 5（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 6（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 7（2024·河北邢台·二模）直三棱柱中，，，， (1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值； (2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？    【B组---提高题】 1（22-23高二下·四川达州·期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 用空间向量研究直线、平面的平行 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 向量法证明线线平行 【题型二】 向量法证明线面平行 【题型三】 向量法证明面面平行 【题型四】 存在性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握利用空间向量证明线线平行； 2.掌握利用空间向量证明线面平行； 3.掌握利用空间向量证明面面平行. 【题型一】 向量法证明线线平行 相关知识点讲解 设直线的方向向量分别是， 则要证明，只需证明，即 【典题1】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，设，列方程求. 【详解】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，， 所以，设， 则， 所以，. 故选：A. 【典题2】（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，在正方体中，分别是棱的中点. 证明： ； 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 ， 故， 由于，故，显然，不重合，故 ； 变式练习 1（24-25高二上·重庆·期中）已知点，，，若，，三点共线，则，的值是（   ） A．，3 B．，3 C．1，3 D．，2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示及共线向量的坐标关系求解即得. 【详解】依题意，， 由，，三点共线，得，则， 所以. 故选：B 2（24-25高二·全国·课后作业）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线． 【答案】证明见解析. 【分析】利用坐标法，利用向量共线定理即得. 【详解】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则、、、、、、、， 由题意知、、、， ∴，． ∴，又，不共线， ∴. 【题型二】 向量法证明线面平行 相关知识点讲解 设直线的方向向量是，平面的法向量是，且， 则要证明，只需证明，即 【典题1】（24-25高二上·青海西宁·期中）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用坐标运算得出，即可根据得出或 【详解】由题意可知，，则，故或. 故选：D 【典题2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 变式练习 1（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，有，结合空间向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，则，即，可得. 故选：A 2如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求平面的法向量，根据线面平行可得，根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 3（2025高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【详解】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 4（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】以的中点O为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用表示点坐标，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直可得结果. 【详解】如图，取的中点O，以O为坐标原点，，所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立如图空间直角坐标系Oxyz． 由题意知，，，． 设点C的坐标为，则． 因为， 所以， 所以Q． 因为M为的中点，所以． 因为P为的中点，所以P， 所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 因为平面，所以平面． 【题型三】 向量法证明面面平行 相关知识点讲解 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，即证 【典题1】（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由，得到两平面法向量共线，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以 ， 故选：B 【典题2】（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 变式练习 1若平面，则下面选项中可以是这两个平面法向量的是（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】平面，则两个平面的法向量平行，即可得答案. 【详解】因为平面，所以两个平面的法向量应该平行，即存在，，只有D项符合. 故选： D. 2设平面的法向量的坐标为，平面的法向量的坐标为.若，则等于（ 　 ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】根据可得平面的法向量与平面的法向量共线，建立等式解出即可. 【详解】解：因为，则平面的法向量与平面的法向量共线， 即，即，解得. 故选：A 3（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 【答案】B 【分析】根据，可得，则，进而可求出的关系及符号，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 则存在唯一实数，使得， 即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 4（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 【题型四】 存在性问题 【典题1】（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 变式练习 1（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析. 【分析】（1）运用两次证明线线平行，得到线面平行，再用面面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，求出方向向量和平面法向量计算证明即可. 【详解】（1）如图，连接,由于平面，平面,则. 且，，则. 又，则，故. 又,则,又,则四边形为平行四边形.则. 平面,平面,则平面(∗). 由于，，则.又，则, 则,则，则. 平面,平面,则平面(∗∗). 平面,结合 (∗)，(∗∗)，得到平面平面. （2）由前面证明知道，四边形为矩形，平面， 则两两垂直，可建立空间直角坐标系.则 , 设,则. 设平面法向量为，且. 则,则，则解得. 又,若平面，则. 则， 则，解得.此时. 故棱上存在一点，使得平面，. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求出，再利用，解得得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 2（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】B 【分析】根据得到，进而得到与的位置关系. 【详解】因为，所以，所以或， 由于，所以. 故选：B. 3（2024·宁夏银川·一模）如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，求平面的法向量，利用空间向量求点M的位置，进而可得结果. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，    则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为∥平面，可知平面的法向量为， 设，可得， 可得，解得， 则，可得， 所以. 故选：C. 4（22-23高二上·广东·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，根据条件求得点的坐标，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则 所以平面的一个法向量为 因为平面，则 设，则，所以 解得，所以，即 故选:C. 5（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 6（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明； （2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明； （3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行. 【详解】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．    依题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴，即. （2）设平面ACD1的法向量为， ∵，，， ∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又， ∴，∴， 又平面，∴平面． （3）证法一  ∵， ∴，又， ∴，∴， 又平面，平面， ∴平面， 又由（2）知平面，而， 且平面，平面, ∴平面平面. 证法二  设平面的法向量为 则即∴ 令，得，∴， 由（2）知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴， ∴平面平面. 7（2024·河北邢台·二模）直三棱柱中，，，， (1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值； (2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？    【答案】(1) (2)存在点在靠近点的三等分点处 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，进而可得出答案； （2）利用向量法求解即可. 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设，则， ， 故 ， 所以， 当时，取得最小值， 所以线段长的最小值为； （2）假设存在，设， ， 故， ， 设平面的法向量为， 则有，可取， 因为面，所以， 则，解得， 所以存在点在靠近点的三等分点处，使得面.    【B组---提高题】 1（22-23高二下·四川达州·期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面平行求出的关系，再借助二次函数求出向量模的最小值作答. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    则 ， ，于是， 即有，向量是平面的一个法向量， ，则，而， 于是，因为平面，则， 即，化简得，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 10 学科网（北京）股份有限公司 $$