第15讲 对数及其运算 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第15讲 对数及其运算 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 对数式与指数式的互换 【题型二】 对数的运算性质 【题型三】 换底公式的运用条件求值问题 【题型四】 条件求值问题 【题型五】 实际问题中的对数运算 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化，会求简单的对数值； 2.掌握积、商、幂的对数运算性质，并能正确利用对数运算的性质进行对数运算； 3.掌握换底公式及其推论； 4.掌握常用对数、自然对数的概念与记法. 【题型一】 对数式与指数式的互换 相关知识点讲解 1 对数的概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) 解释 对数中对底数的限制与指数函数中对的限制一样. 2 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． 3 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 如 ；. 4 结论 ① 负数和零没有对数 ② 特别地，，， 解释 ， 中，如没意义； 由对数式与指数式的互化得， . 【典题1】（23-24高一上·广西河池·期末）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 变式练习 1（多选）（22-23高一下·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3（2024高二上·福建·学业考试）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型二】 对数的运算性质 相关知识点讲解 如果，，，有 ① ② ③ ④ (每条等式均可证明) 比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系 指数 对数 特别注意：，. 【典题1】（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）计算： ； 【典题2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）计算（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·江苏·期末）式子的值为（   ） A． B．10 C．11 D．12 3（24-25高一上·吉林长春·期中）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 5（24-25高一上·江西·期末）（1）若，求的值； （2）计算：. 【题型三】 换底公式的运用条件求值问题 相关知识点讲解 (1)公式 (2)公式推导 设，则， ，，. (3)推论 ① ② ③ 证明 ① ； ② ； ③ . 【典题1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025高三下·全国·专题练习）若，，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 2（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，则等于（    ） A．4 B．6 C．9 D．25 3（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A． B． C．1 D．2 4（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型四】 条件求值问题 【典题1】（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知，且，则（   ） A． B． C． D．12 变式练习 1（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·湖北武汉·期末）设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 4（24-25高一下·安徽·开学考试）若，则（   ） A． B． C． D．0 5（2024高三·全国·专题练习）若，且，则z的值可能为（    ） A． B． C．7 D．10 【题型五】 实际问题中的对数运算 【典题1】（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（    ）（参考数据：） A．4 B．5 C．7 D．8 变式练习 1（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·江苏苏州·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（   ） A．5级 B．6级 C．7级 D．8级 3（24-25高一下·云南·阶段练习）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（    ）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：） A．130天 B．149天 C．120天 D．155天 4（24-25高一上·湖南邵阳·期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（    ）（参考数据： ） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【A组---基础题】 1（2025·广西柳州·三模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（    ） A． B． C．4 D．5 3（24-25高一上·广东广州·期末）下列正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 4（24-25高一上·湖南常德·期末）设，，则（    ） A． B． C． D． 5（24-25高一下·湖北·开学考试）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过（    ）天参考数据：，， A．18 B．30 C．51 D．69 6（24-25高三下·山东青岛·开学考试）已知，，，则mn的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 7（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 8（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）计算 . 9（24-25高一上·浙江杭州·期末）（1）计算：； （2）若，用表示． 10（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）（1） （2） （3） 【B组---提高题】 1（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 2（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 对数及其运算 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 对数式与指数式的互换 【题型二】 对数的运算性质 【题型三】 换底公式的运用条件求值问题 【题型四】 条件求值问题 【题型五】 实际问题中的对数运算 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化，会求简单的对数值； 2.掌握积、商、幂的对数运算性质，并能正确利用对数运算的性质进行对数运算； 3.掌握换底公式及其推论； 4.掌握常用对数、自然对数的概念与记法. 【题型一】 对数式与指数式的互换 相关知识点讲解 1 对数的概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) 解释 对数中对底数的限制与指数函数中对的限制一样. 2 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． 3 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 如 ；. 4 结论 ① 负数和零没有对数 ② 特别地，，， 解释 ， 中，如没意义； 由对数式与指数式的互化得， . 【典题1】（23-24高一上·广西河池·期末）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据给定的等式，求出即可计算得解. 【详解】由，得，解得，由，得，解得， 所以. 故选：D 变式练习 1（多选）（22-23高一下·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可. 【详解】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：BC. 2（24-25高一上·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案. 【详解】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 3（2024高二上·福建·学业考试）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，，所以. 故选：D 【题型二】 对数的运算性质 相关知识点讲解 如果，，，有 ① ② ③ ④ (每条等式均可证明) 比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系 指数 对数 特别注意：，. 【典题1】（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）计算： ； 【答案】； 【分析】利用对数的运算公式进行求解； 【详解】（1）原式 ； 【典题2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算律，可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：A. 变式练习 1（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的定义及对数的运算性质，求解即可. 【详解】因为， 故选：B. 2（24-25高一上·江苏·期末）式子的值为（   ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据指对数运算法则即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 3（24-25高一上·吉林长春·期中）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数运算可得，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由，可得，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 4（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数和对数的关系以及对数的运算性质计算即可； 【详解】由题意可得， 所以 故选：B. 5（24-25高一上·江西·期末）（1）若，求的值； （2）计算：. 【答案】（1）（2）0 【分析】（1）对数式化为指数式，得到，故； （2）利用对数运算和对数运算法则化简，求出答案. 【详解】（1）因为，所以，则， 从而. （2）原式 . 【题型三】 换底公式的运用条件求值问题 相关知识点讲解 (1)公式 (2)公式推导 设，则， ，，. (3)推论 ① ② ③ 证明 ① ； ② ； ③ . 【典题1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【详解】， ，. 故选：D. 变式练习 1（2025高三下·全国·专题练习）若，，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用对数运算公式和换底公式计算. 【详解】因为，，所以，， 所以，，因此，． 故选：B. 2（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，则等于（    ） A．4 B．6 C．9 D．25 【答案】D 【分析】根据题意，由条件，以及指数与对数的转换关系，可求出，，由换底公式可得，从而计算的值. 【详解】因为，所以，， 所以， 所以 . 故选：D. 3（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据指数式与对数式的互化，利用换底公式计算可得结果. 【详解】由，可得，， 所以. 故选：D. 4（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，得，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解. 【详解】由，得， 则. 故选：A. 5（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质及换底公式逐项判断可得答案. 【详解】设，则， ∴. A. ，A错误. B. ，B错误. C.，C正确. D. ，D错误. 故选：C. 【题型四】 条件求值问题 【典题1】（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知，且，则（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解. 【详解】由可得， 由 ， 故，故，由于，故， 故选；B 变式练习 1（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先由，得，进而结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由，得，又， 所以 . 故选：C. 2（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用指数式和对数式的互化以及对数的运算性质即可求解. 【详解】，则， 即. 故选：C. 3（24-25高一上·湖北武汉·期末）设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用指对数互换和幂的运算性质求得，再利用对数运算性质求得，进而求得可得结果. 【详解】因为，，则， 可得，，则， 又因为， 所以. 故选：B 4（24-25高一下·安徽·开学考试）若，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据指对互化，可得，，进而利用换底公式即可结合对数的运算性质求解. 【详解】解：因为，所以，，则，， 所以，所以，则， 故选:D 5（2024高三·全国·专题练习）若，且，则z的值可能为（    ） A． B． C．7 D．10 【答案】D 【分析】设可得，，，再由对数的运算性质可得答案. 【详解】设，则且， 所以，，， 所以， 即，所以. 故选：D. 【题型五】 实际问题中的对数运算 【典题1】（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（    ）（参考数据：） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】依题意可得第年投入的研发经费为万元，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】依题意可得第年投入的研发经费为万元， 令，即， 所以 ， 所以，又，所以的最小值为，即第年投入的研发经费首次超过20万元. 故选：B 变式练习 1（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，，相减即可求解； 【详解】由题意， ， 两式相减可得：， 又， 所以， 所以， 故选：C 2（24-25高一上·江苏苏州·期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（   ） A．5级 B．6级 C．7级 D．8级 【答案】B 【分析】先根据所给关系式分别表示出日本东北部海域地震和俄罗斯东南部地震释放的能量，再结合两者能量的倍数关系列出等式，最后通过对数运算求出俄罗斯东南部地震的震级. 【详解】设日本东北部海域发生的里氏9级地震释放的能量为， 俄罗斯东南部发生的地震震级为，释放的能量为. 对于日本东北部海域的9级地震有； 对于俄罗斯东南部的地震有. 因为日本东北部海域地震释放的能量是俄罗斯东南部地震的32000倍，即. 两边同时取对数可得，根据对数运算法则，. 又因为， 已知，所以. 将，，代入可得： ， 解得. 俄罗斯东南部地震震级大约是级. 故选：B 3（24-25高一下·云南·阶段练习）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（    ）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：） A．130天 B．149天 C．120天 D．155天 【答案】B 【分析】根据题意列出方程两边取对数，利用给出的数据解方程即可. 【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的20倍， 则 ， . 故选：B 4（24-25高一上·湖南邵阳·期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中h是常数，环境温度是．若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约还需要（    ）（参考数据： ） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【答案】B 【分析】利用公式及一杯的热水降至大约用时1分钟求得，再将数据代入得方程，利用对数的运算律计算即可得到答案. 【详解】由题意知，因为一杯的热水降至大约用时1分钟， ∴，即； 设水温从降至，需要的时间为t分钟， ∴，即， ∴， ∴ ∴水温从降至，大约还需要10分钟． 故选：B． 【A组---基础题】 1（2025·广西柳州·三模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 则. 故选：C. 2（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据对数运算法则即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 3（24-25高一上·广东广州·期末）下列正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】对于A，由指数幂的底不能为零，即可判断；对于B，利用指数运算，即可判断；对于C，利用对数恒等式，即可判断；对于D，利用对数换底公式计算，即可判断. 【详解】对于A，当时，无意义，故A错误； 对于B，若，则，即， 又，则， 所以，故B错误； 对于C，因为，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 4（24-25高一上·湖南常德·期末）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由换底公式及对数运算即可求解. 【详解】由换底公式可得. 故选：D. 5（24-25高一下·湖北·开学考试）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过（    ）天参考数据：，， A．18 B．30 C．51 D．69 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的4倍， 则 ， 故选：D. 6（24-25高三下·山东青岛·开学考试）已知，，，则mn的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的换底公式，再结合基本不等式，即可求解． 【详解】， ， 又因为，所以， 则， 当且仅当时取等， ． 故选：C． 7（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，求得，，，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，可得，，，且， 则， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以，所以. 故选：AD. 8（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）计算 . 【答案】4 【分析】由对数的运算化简可得结果. 【详解】 . 故答案为：4. 9（24-25高一上·浙江杭州·期末）（1）计算：； （2）若，用表示． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据指数运算法则及对数运算性质计算可得结果. （2）根据对数运算性质及换底公式计算可得结果. 【详解】（1） . （2）由题意得，，即， ∴. 10（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）（1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质结合绝对值的定义求解即可； （2）结合对数的运算性质求解即可； （3）根据换底公式，对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）                                                                     （2）         （3） . 【B组---提高题】 1（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】B 【分析】根据对数的运算可得，对A，根据判断即可；对B，由，可得，再根据，结合基本不等式求解即可；对C，根据，代入结合基本不等式求解即可；对D，根据代入可得原式，再根据求解范围即可. 【详解】若，则，，，即. 对于A，，当且仅当， 即，时，等号成立，可得，故A错误； 对于B，由，可得， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以， 当且仅当，时，等号成立，故C错误； 对于D，由，可得，可知， 故， 因为，故，，，故D错误. 故选：B 2（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再利用作商法结合换底公式及基本不等式即可得解. 【详解】由，，， 则，，， 而，，， 因为， 所以，故； 又， 所以，故. 综上所述，. 故选：A. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$