14.2 三角形全等的判定 同步提升 2025—2026学年人教版八年级数学上册

答案与解析 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B A B C B C A 二．填空题 11．解：∵AC∥DF， ∴∠A＝∠FDE， ∵CB∥FE， ∴∠CBA＝∠E， ∴当添加AB＝DE或AD＝BE时，△ABC≌△DEF（ASA）； 当添加AC＝DF或BC＝EF时，△ABC≌△DEF（AAS）； 故答案为：AB＝DE（或AD＝BE或AC＝DF或BC＝EF）． 12．解：如图，在CD上取点E，使得CE＝BD， ∵DC＝AB， ∴BE＝CD＝AB， ∴∠BAE＝∠BEA（180°﹣46°）＝67°， ∴∠DAE＝67°﹣21°＝46°， 又∠AED＝67°， ∴∠ADE＝67°， ∴∠ADE＝∠AED＝67°， ∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC， 在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠DAB＝∠CAE＝21°， ∴∠CAD＝∠DAE+∠CAE＝46°+21°＝67°． 故答案为：67°． 13．解：∵在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD边上一点， ∴AD⊥BC于点D， ∴∠ADC＝∠BDE＝90°， 在Rt△ADC和Rt△BDE中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△BDE（HL）， ∴AD＝BD＝4， 故答案为：4． 14．解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDE和△CEF中， ， ∴△BDE≌△CEF（SAS）， ∴∠BDE＝∠CEF， ∵∠DEF＝56°， ∴∠B＝180°﹣（∠BDE+∠BED）＝180°﹣（∠CEF+∠BED）＝∠DEF＝56°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣2∠B＝180°﹣2×56°＝68°， 故答案为：68°． 15．解：∵点B距离地面的高度为1.5m，点C距离地面的高度是1.6m， ∴点D距离地面的高度为1.5m，点E距离地面的高度是1.6m， ∴DE＝1.6﹣1.5＝0.1（m）， ∵∠BDO＝∠BOC＝90°， ∴∠OBD+∠BOE＝∠BOE+COD＝90°， ∴∠OBD＝∠COD， 在△OBD≌△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.7m，CE＝OD， ∴CE＝OD＝OE+DE＝1.7+0.1＝1.8（m）， ∴点C到OA的距离CE为1.8m， 故答案为：1.8． 16．解：∵BD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴DB＝AE＝6cm，CE＝AD＝8cm， 则DE＝AD+AE＝8+6＝14（厘米）， 故答案为：14． 17．解：当AP＝BQ，AC＝BP时，△ACP≌△BPQ（SAS）， ∵P、Q运动的路程和时间相同， ∴Q和P的运动速度相同是1cm/s； 当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP（SAS）， ∵APAB6＝3（cm）， ∴Q运动的时间是3÷1＝3（s）， ∵BP＝AC＝4cm， ∴Q运动的速度是4÷3（cm/s）， ∴当点Q的运动速度为1或cm/s时，△ACP与△BPQ全等． 故答案为：1或． 18．解：延长AC到D使AD＝AB，连接BD、PD，延长AP交BD于E， ∵∠PAB＝∠PAC＝21°，AP＝AP， ∴△ABP≌△ADP（SAS）， ∴∠PDA＝∠ABP＝9°，PB＝PD， ∵∠BPE＝∠PAB+∠PBA＝30°，∠DPE＝∠PAC+∠ADP＝30°， ∴∠BPD＝∠BPE+∠DPE＝60°， ∴△PDB是等边三角形， ∴∠PBD＝60°， ∵∠PBC＝30°， ∴∠CBD＝∠PBD﹣∠PBC＝30°， ∴∠CBD＝∠PBC， ∴BC平分∠PBD， ∴BC垂直平分PD， ∴PC＝CD， ∴∠CPD＝∠PDC＝9°， ∴∠CPE＝∠DPE+∠CPD＝39°， ∴∠APC＝180°﹣∠CPE＝141°． 故答案为：141°． 三．解答题 19．（1）证明：在△AED和△CEF中 ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴∠A＝∠ACF， ∴CF∥AB； （2）解：∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ACF，∠ABC+∠BCF＝180°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠BCF＝130°， ∵AC平分∠BCF， ∴∠ACB＝∠ACF＝65°， ∴∠A＝∠ACF＝65°． 20．（1）证明：∵CB⊥AD，AE⊥DC， ∴∠ABF＝∠CBD＝90°，∠CEF＝90°， ∴∠A+∠AFB＝90°，∠C+∠CFE＝90°， 又∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠A＝∠C， 在△ABF和△CBD中， ， ∴△ABF≌△CBD（ASA）； （2）解：由（1）可知：△ABF≌△CBD， ∴AB＝CB，BF＝BD， ∴AD＝AB+BD＝AB+BF， ∴AB＝AD﹣BF， ∵AD＝7，BF＝2， ∴AB＝AD﹣BF＝7﹣2＝5， ∴AB＝CB＝5， ∴CF＝CB﹣BF＝5﹣2＝3． 21．（1）证明：∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵AF＝DC， ∴AF+FC＝DC+FC， ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； （2）解：在△BFO和△BCO中， ， ∴△BFO≌△BCO（SSS）， ∴∠BOF＝∠BOC， ∵点A、F、C、D在同一条直线上， ∴∠BOF+∠BOC＝180°， ∴∠BOF＝∠BOC＝90°， ∴△AOB是直角三角形， 在Rt△AOB中，∠A＝30°，AB＝6， ∴OBAB＝3， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠D＝30°，AB＝DE＝6， 又∵∠DOE＝∠BOF＝90°， 在Rt△DOE中，OEDE＝3， ∴BE＝OB+OE＝6． 22．（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）． （2）解：BF+EF＝BD， 证明：如图2，延长CA、BF交于点H， ∵∠BAC＝90°，点D，E分别在AC，AB上， ∴∠BAH＝∠BAD＝90°， ∵BA平分∠FBD， ∴∠ABH＝∠ABD， 在△ABH和△ABD中， ， ∴△ABH≌△ABD（ASA）， ∴AH＝AD， ∵AE＝AD， ∴AH＝AE， ∵AB＝AC，AF∥BC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠FAH＝∠C，∠FAE＝∠ABC， ∴∠FAH＝∠FAE， 在△FAH和△FAE中， ， ∴△FAH≌△FAE（SAS）， ∴HF＝EF， ∴BF+EF＝BF+HF＝BH， ∵AB垂直平分DH， ∴BH＝BD， ∴BF+EF＝BD． 23．（1）解：由条件可知∠AOC+∠BOD＝180°， 又∵AO＝OB，OC＝OD， ∴△OAC和△OBD是兄弟三角形， 故答案为：是； （2）证明：①BE＝OD． 延长OP至E，使PE＝OP， 由条件可知BP＝PD， 在△BPE和△DPO中， ， ∴△BPE≌△DPO（SAS）， ∴BE＝OD． ②∵△BPE≌△DPO， ∴∠E＝∠DOP， ∴BE∥OD， ∴∠EBO+∠BOD＝180°， 由条件可知∠EBO＝∠AOC， ∵BE＝OD，OD＝OC， ∴BE＝OC， 在△EBO和△COA中， ， ∴△EBO≌△COA（SAS）， ∴OE＝AC， 又∵OE＝2OP， ∴AC＝2OP． 24．解：（1）D为BC边上的中点， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴△ADC≌△EDB的理由是SAS， 故答案为：A； （2）∵△ADC≌△EDB， ∴EB＝AC＝4， ∵AB﹣EB＜AE＜AB+EB， ∴6﹣4＜2AD＜6+4， 即1＜AD＜5； （3）延长BF至G，使GF＝BF，连接CG， ∵BF是△BEC的中线， ∴CF＝EF， 在△CFG和△EFB中， ， ∴△CFG≌△EFB（SAS）， ∴CG＝EB，∠1＝∠2， ∵∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴∠4+∠CBE＝180°， ∵∠2+∠3+∠CBE＝180°， ∴∠4＝∠2+∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠4＝∠1+∠3， 即∠4＝∠GCB， ∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形， ∴AB＝CB，BD＝BE， ∴BD＝CG， ∴△ABD≌△BCG（SAS）， ∴AD＝BG＝2BF＝10， 即AD的长为10． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/5 15:00:35；用户：王妍；邮箱：18068992688；学号：38112000 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2 三角形全等的判定 同步提升 一．选择题 1．已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，AC、DF交于点O，OA＝OD，EA＝DB，增加下列条件不能推导出△ABC≌△DEF的是（　　） A．OC＝OF B．∠E＝∠B C．EF＝BC D．∠C＝∠F 2．如图，已知△ABC的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和△ABC全等的图形是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C＝2∠B，AC＝5，CD＝3，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 第1题 第3题 第4题 4．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 5．如图，AE∥BC且∠EFA＝∠ABC，点F在AC上．若AE＝5，AB＝EF＝3，则AC的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 第5题 第6题 第7题 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC上的点，且AD＝AE，BE与CD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　）对． A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，若AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC 8．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆AB＝AC，点E，F分别为AB，AC中点，ED，FD是连接立杆和支撑杆的支架，且ED＝FD．立杆在伸缩过程中，总有∠EAD＝∠FAD，其判定依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 第8题 第9题 第10题 9．如图所示，BC、AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD＝BF，AF＝10，CF＝3，则BD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在等边△ABC中，M，N分别在BC，AC上移动，且BM＝CN，AM与BN相交于点Q，则∠BAM+∠ABN的度数是（　　） A．60° B．55° C．45° D．不能确定 二．填空题（共8小题） 11．如图，已知AC∥DF，CB∥FE，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，这个条件可以是 　 　 （填写一个即可）． 第11题 第12题 第13题 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝46°，D是边BC上的一点，DC＝AB，∠DAB＝21°，则∠CAD的度数为 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD边上一点，且DE＝DC，AC＝BE，若BD＝4，则AD＝　 　 ． 14．如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、CA边上，且BE＝CF，BD＝CE，如果∠DEF＝56°，则∠A的度数为 　 　 ． 第14题 第15题 15．小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为　 　 米． 16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作经过点A的直线的垂线段BD、CE，若BD＝6cm，CE＝8cm，则DE的长为　 　 cm． 第16题 第17题 第18题 17．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，点Q在线段BD上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 　 　 cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等． 18．如图，点P是三角形ABC内部一点，且满足∠PAB＝∠PAC＝21°，如果∠PBC＝30°，∠PBA＝9°，则∠APC的度数是 　 　 ． 三．解答题 19．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数． 20．已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别为B，E，AE，BC相交于点F，且AB＝BC． （1）求证：△ABF≌△CBD； （2）已知AD＝7，BF＝2，求CF的长度． 21．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC∥EF，AF＝DC，连接BF，EC，BE，BE与AC相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BF＝BC，OF＝OC，∠A＝30°，AB＝6，求线段BE的长． 22．已知AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD． （1）如图1，证明：△ABE≌△ACD； （2）如图2，∠BAC＝90°，点D，E分别在AC，AB上，连接BD，过点A作AF∥BC，连接BF，EF，恰好满足BA平分∠FBD．请猜想线段BF，EF，BD间的数量关系，并进行证明． 23．我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，在△OAC和△OBD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOC＝60°，∠BOD＝120°． （1）△OAC和△OBD　 　 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） （2）取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP，小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE，试判断BE与OD的数量关系，并说明理由； ②求证：AC＝2OP． 24．综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，D为BC边上的中点，试求中线AD长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到△ADC≌△EDB，理由是　 　 ． A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS （2）求中线AD长的取值范围．（直接写出答案） 【解决问题】 （3）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形．∠ABC＝∠DBE＝90°，BF是△BEC的中线，若BF＝5，求AD的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 6页） 14.2 三角形全等的判定 同步提升 一．选择题 1．已知：如图，点 E、A、D、B在同一直线上，AC、DF交于点 O，OA＝OD，EA＝DB，增加下列条件 不能推导出△ABC≌△DEF的是（ ） A．OC＝OF B．∠E＝∠B C．EF＝BC D．∠C＝∠F 2．如图，已知△ABC的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和△ABC全等的图形是 （ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C＝2∠B，AC＝5，CD＝3，则 AB的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 第 1题 第 3题 第 4题 4．如图，点 C在∠AOB的 OB边上，用尺规作出了 CN∥OA，连接 EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN 根据的是（ ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 5．如图，AE∥BC且∠EFA＝∠ABC，点 F在 AC上．若 AE＝5，AB＝EF＝3，则 AC的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 第 5题 第 6题 第 7题 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是 AB、AC上的点，且 AD＝AE，BE与 CD相交于点 O，则 第 2页（共 6页） 图中全等三角形共有（ ）对． A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，若 AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ） A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC 8．如图 1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图 2是底座部分的平面图，其中支撑杆 AB＝AC，点 E， F分别为 AB，AC中点，ED，FD是连接立杆和支撑杆的支架，且 ED＝FD．立杆在伸缩过程中，总有 ∠EAD＝∠FAD，其判定依据是（ ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 第 8题 第 9题 第 10题 9．如图所示，BC、AE是锐角△ABF的高，相交于点 D，若 AD＝BF，AF＝10，CF＝3，则 BD的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在等边△ABC中，M，N分别在 BC，AC上移动，且 BM＝CN，AM与 BN相交于点 Q，则∠ BAM+∠ABN的度数是（ ） A．60° B．55° C．45° D．不能确定 二．填空题（共 8 小题） 11．如图，已知 AC∥DF，CB∥FE，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，这个条件可以是 （填 写一个即可）． 第 11题 第 12题 第 13题 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝46°，D是边 BC上的一点，DC＝AB，∠DAB＝21°，则∠CAD的度 第 3页（共 6页） 数为 ． 13．如图，在△ABC中，AD是 BC边上的高，E是 AD边上一点，且 DE＝DC，AC＝BE，若 BD＝4，则 AD＝ ． 14．如图，△ABC中，AB＝AC，点 D、E、F分别在 AB、BC、CA边上，且 BE＝CF，BD＝CE，如果∠ DEF＝56°，则∠A的度数为 ． 第 14题 第 15题 15．小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置 A处，OA与地面垂直，小丽两 脚在地面上用力一蹬，妈妈在 B处接住她后用力一推，爸爸在 C处接住她．若点 B距离地面的高度为 1.5m，点 B到 OA的距离 BD为 1.7m，点 C距离地面的高度是 1.6m，∠BOC＝90°，则点 C到 OA的 距离 CE为 米． 16．如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点 B、C作经过点 A的直线的垂线段 BD、CE， 若 BD＝6cm，CE＝8cm，则 DE的长为 cm． 第 16题 第 17题 第 18题 17．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA，点 P在线段 AB上以 1cm/s的速度由点 A向点 B 运动，点 Q在线段 BD上由点 B向点 D运动，两个动点同时出发，设运动时间为 t（s），则当点 Q的运 动速度为 cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等． 18．如图，点 P是三角形 ABC内部一点，且满足∠PAB＝∠PAC＝21°，如果∠PBC＝30°，∠PBA＝9°， 则∠APC的度数是 ． 三．解答题 第 4页（共 6页） 19．如图，在△ABC中，D为 AB边上一点，E为 AC的中点，连接 DE并延长至点 F，使得 EF＝ED，连 接 CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，且 AC平分∠BCF，求∠A的度数． 20．已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别为 B，E，AE，BC相交于点 F，且 AB＝BC． （1）求证：△ABF≌△CBD； （2）已知 AD＝7，BF＝2，求 CF的长度． 21．如图，点 A、F、C、D在同一条直线上，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC∥EF，AF＝DC，连接 BF，EC， BE，BE与 AC相交于点 O． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若 BF＝BC，OF＝OC，∠A＝30°，AB＝6，求线段 BE的长． 第 5页（共 6页） 22．已知 AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD． （1）如图 1，证明：△ABE≌△ACD； （2）如图 2，∠BAC＝90°，点 D，E分别在 AC，AB上，连接 BD，过点 A作 AF∥BC，连接 BF，EF， 恰好满足 BA平分∠FBD．请猜想线段 BF，EF，BD间的数量关系，并进行证明． 23．我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，在△OAC和△OBD中，OA ＝OB，OC＝OD，∠AOC＝60°，∠BOD＝120°． （1）△OAC和△OBD 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） （2）取 BD的中点 P，连接 OP，试说明 AC＝2OP，小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的 “中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE，试判断 BE与 OD的数量关系，并说明理由； ②求证：AC＝2OP． 第 6页（共 6页） 24．综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图 1，在△ABC中，若 AB＝6， AC＝4，D为 BC边上的中点，试求中线 AD长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图 2，延长 AD到点 E， 使 DE＝AD，连接 BE．请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到△ADC≌△EDB，理由是 ． A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS （2）求中线 AD长的取值范围．（直接写出答案） 【解决问题】 （3）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图 3，△ABC和△BDE都 是等腰直角三角形．∠ABC＝∠DBE＝90°，BF是△BEC的中线，若 BF＝5，求 AD的长．