第14讲 指数函数及其性质 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第14讲 指数函数及其性质 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 指数函数的概念 【题型二】 指数函数过定点问题 【题型三】 指数函数的图象辨析 【题型四】 指数函数的应用 角度1 比较幂的大小 角度2 最值问题 角度3 指数型函数综合问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的定义域、值域的求法； 2.理解指数函数的单调性，能利用指数函数的单调性比较幂的大小； 3.掌握指数函数图象的特殊的点，会作指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 【题型一】 指数函数的概念 相关知识点讲解 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 【典题1】（2024高二上·新疆·学业考试）若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式练习 1 （2023高二上·甘肃兰州·学业考试）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 2（23-24高三上·广东茂名·阶段练习）若函数的图象经过，则（    ） A． B． C．3 D．9 3（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D．4 【题型二】 指数函数过定点问题 相关知识点讲解 指数函数且过定点，因为不管为何值，时对应的函数值． 【典题1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ 　　 ） A． B．9 C． D．3 变式练习 1（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·重庆·期末）函数的图象恒过定点，若点的坐标满足关于的方程，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型三】 指数函数的图象辨析 相关知识点讲解 指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 【典题1】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24高一上·江西吉安·阶段练习）函数图像的大致形状为（    ） A．  B．  C．   D．   2（24-25高一上·广东广州·期中）当时，函数和的图象只可能是（    ） A．B．C． D． 3（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）函数（且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型四】 指数函数的应用 角度1 比较幂的大小 【典题1】（24-25高一上·广西河池·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（2026高三·全国·专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2（2025·河北唐山·一模）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·山东济宁·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 角度2 最值问题 【典题1】（2007高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 变式练习 1（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 2（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3（22-23高一上·天津南开·期末）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 角度3 指数型函数综合问题 相关知识点讲解 函数图像的变换 平移变换 口诀：左加右减，上加下减 例：的图像可以看成由先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到。 对称变换 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 翻折变换 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 【典题1】（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，，且，则下列结论中，必成立的是（    ） A．，， B．，， C． D． 【典题2】（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 变式练习 1（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数在区间的值域为，则的取值范围是 A． B． C． D． 2（2016·安徽·二模）已知函数满足，在区间[a，2b]上的最大值为，则b为 A．ln3 B． C． D．l 3（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4（22-23高一下·陕西宝鸡·阶段练习）已知函数,若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 6（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数 (1)若关于x的不等式的解集为，求a，的值； (2)已知，当时，恒成立，求实数a的取值范围； 【A组---基础题】 1（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2（2025高三下·全国·专题练习）已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·云南昭通·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·海南三亚·期中）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5（22-23高一上·江苏连云港·期末）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（多选）（2025高三·全国·专题练习）[多选]下列选项正确的是（   ） A．函数是指数函数，则 B．函数的值域为R C．函数的图象可以由向右平移一个单位得到 D．函数恒过定点 7（多选）（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数，，则下列结论正确的有（   ） A．有且仅有两个零点 B．的图象关于点对称 C．与的图象关于点对称 D．若，则有最大值2 8（24-25高三下·山东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则 . 9（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 10（23-24高三上·上海静安·期中）设 函数 (1)求a的值，使得为奇函数； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围． 【B组---提高题】 1（2024·四川成都·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 2（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知，函数在上的最大值不超过4，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·安徽合肥·期末）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③若，则一定存在正实数，使得具有性质； ④已知，若函数具有性质，则． 其中错误结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 指数函数及其性质 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 指数函数的概念 【题型二】 指数函数过定点问题 【题型三】 指数函数的图象辨析 【题型四】 指数函数的应用 角度1 比较幂的大小 角度2 最值问题 角度3 指数型函数综合问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的定义域、值域的求法； 2.理解指数函数的单调性，能利用指数函数的单调性比较幂的大小； 3.掌握指数函数图象的特殊的点，会作指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 【题型一】 指数函数的概念 相关知识点讲解 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 【典题1】（2024高二上·新疆·学业考试）若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设 且，根据函数过点求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设 且，则，解得或（舍去）， 所以，令，又，所以. 故选：B 变式练习 1 （2023高二上·甘肃兰州·学业考试）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的特征，结合经过的点即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点可得 ，解得， 所以， 故选：A 2（23-24高三上·广东茂名·阶段练习）若函数的图象经过，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，由求得函数解析式求解. 【详解】解：因为函数的图象经过， 所以，解得 ， 所以， 则， 故选：B 3（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算得解. 【详解】函数，则， 所以. 故选：D 【题型二】 指数函数过定点问题 相关知识点讲解 指数函数且过定点，因为不管为何值，时对应的函数值． 【典题1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ 　　 ） A． B．9 C． D．3 【答案】C 【分析】先由指数函数过定点求出点，再求出幂函数解析式，然后代入即可； 【详解】因为函数且）的图象恒过定点， 时，所以， 又点在幂函数的图象上，设幂函数为， 代入点，可得， 所以幂函数为，所以. 故选：C. 变式练习 1（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质判断. 【详解】令，则，所以函数图象恒过定点. 故选：D. 2（24-25高一上·重庆·期末）函数的图象恒过定点，若点的坐标满足关于的方程，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据函数的图象恒过定点求出点坐标，代入，再利用基本不等式可得答案. 【详解】若函数的图象恒过定点，则， 所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 整理得， 解得，或舍去， 由解得， 即当时，取得最小值为6. 故选：C. 【题型三】 指数函数的图象辨析 相关知识点讲解 指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 【典题1】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 变式练习 1（23-24高一上·江西吉安·阶段练习）函数图像的大致形状为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】中含有，故是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可． 【详解】是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，， 时，图象与在第一象限的图象一样是增函数， 时，图象与的图象关于轴对称. 故选：B． 2（24-25高一上·广东广州·期中）当时，函数和的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各选项中的图象，由一次函数的图象确定的取值情况，再由指数型函数图象判断特征判断即可. 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 3（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）函数（且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性和平移即可作出判断. 【详解】当时，，函数单调递增， 且图象由的图象向下平移个单位长度，故AB错误； 当时，，函数单调递减， 且图象由的图象向下平移个单位长度，故D正确C错误． 故选：D． 【题型四】 指数函数的应用 角度1 比较幂的大小 【典题1】（24-25高一上·广西河池·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在上单调递减，所以在上单调递增，即可得结论. 【详解】 ，在上单调递减，，故，所以， 又，在上单调递增，，故， 即，所以. 故选：A. 变式练习 1（2026高三·全国·专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小即可得结论. 【详解】因为为减函数，所以， 又因为为增函数，所以， 所以． 故选：A． 2（2025·河北唐山·一模）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，再利用函数性质比较、、的大小. 【详解】已知，其定义域为，关于原点对称. 且，所以函数是偶函数. 那么. 当时，. 因为，所以在上单调递增. 因为，且在上单调递增，所以. 又因为，所以. 故选：A. 3（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用二次函数性质比较函数值再结合复合函数单调性计算求解. 【详解】函数， 设,开口向上，对称轴为， 又因为， 所以， 又因为为单调减函数，所以 则. 故选：A. 4（24-25高一上·山东济宁·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可依次判断的大小即得． 【详解】因为是增函数，所以，是减函数，所以， 故 又函数在第一象限内为增函数，故， 又为减函数，故， 综上可得． 故选：B． 角度2 最值问题 【典题1】（2007高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得恒成立，由复合型指数函数的最值得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式可化为 . 因为，所以，所以的最大值为. 所以，所以. 故选：C. 变式练习 1（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据得，利用奇函数定义求出时，，再由单调性求解最大值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则当时，， 若时，则，， 所以， 由和在R上单调递减，知在上单调递减， 故当时，所以. 故选：B 2（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可. 【详解】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 3（22-23高一上·天津南开·期末）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知，再解关于的不等式可求得结果. 【详解】当时，单调递减，则， 当时，单调递减，则， 所以当时，，所以， 因为在上单调递增， 所以， 因为对任意的，总存在使得成立， 所以， 所以，解得， 故选：C 4（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出参数并检验即可得解； （2）分离参数并通过换元法可得，故只需求出不等式右边的最小值即可得解. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，解得，此时符合题意． （2）原问题即为，即恒成立， 则， 设， 则， ，∴当时，y取得最小值26， 要使不等式在上恒成立，则， 角度3 指数型函数综合问题 相关知识点讲解 函数图像的变换 平移变换 口诀：左加右减，上加下减 例：的图像可以看成由先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到。 对称变换 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 翻折变换 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 【典题1】（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，，且，则下列结论中，必成立的是（    ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性即可结合函数图象求解ABD，利用作差法可得,进而得，即可求解C. 【详解】由于函数在区间上是减函数，在为增函数， 由于，而，因此，，无法确定正负，如 故，AB错误，D正确， 由于，则，故 ， 当且仅当时等号成立，又因为不等于0，则等号无法取到， 因此，又，所以， 由于，，在为增函数，因此 故,故C错误， 故选：D． 【典题2】（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为170，最小值为 (2) 【分析】（1）换元后得到，，求出最值； （2）转化为，只需，根据对勾函数的单调性得到函数最值，得到，求出答案. 【详解】（1）令， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 又，， 故的最大值为170，最小值为； （2），即， 令，故在上有解， ，只需， 其中在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 故，解得， 故实数的取值范围为. 变式练习 1（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数在区间的值域为，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质可得值域为，那么或，定义域内一定含有0，分情况讨论可得的值，即可求解的取值范围. 【详解】 因为函数在区间的值域为， 所以或，定义域内一定含有0， 当时，，则， 由于，所以， 当时，，则， 由，所以， 综上，， 故选：C 2（2016·安徽·二模）已知函数满足，在区间[a，2b]上的最大值为，则b为 A．ln3 B． C． D．l 【答案】C 【分析】函数图象结合单调性可解. 【详解】,函数在上单调递增， 所以, 所以在区间上的最大值为，解得 故选：C. 3（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和二次函数性质，根据分段函数单调性求出各段所满足的条件即可. 【详解】根据题意若函数为单调递增，可得； 若函数为单调递增，可得，即； 若保证在R上单调递增,还需满足，解得； 综上可得，a的取值范围为. 故选：D 4（22-23高一下·陕西宝鸡·阶段练习）已知函数,若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，得到，问题转化为，换元后进行求解，得到答案. 【详解】作出的图象，如图所示：      由，可得， 则， 令， 则， 故． 故选：D． 5（2025·广东广州·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 6（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，分三种情况当时，当时，当时，求得函数的值域，问题转化为，对任意，，，恒成立求解． 【详解】解：因为，，为某一个三角形的三条边长， 所以，对任意，，，恒成立， 函数， 当时，，满足，符合题意； 当时，在上递减， 所以函数的值域为， 所以且， 所以，又，所以， 当时，在上递增， 函数的值域为， 所以且， 所以，解得，所以， 综上的取值范围是． 故选：D． 7（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数 (1)若关于x的不等式的解集为，求a，的值； (2)已知，当时，恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的两根为，结合韦达定理求出答案； （2）令，转化为，根据单调性求出的最小值为，得到答案. 【详解】（1）∵不等式的解集为，则方程的根为， 且， ∴，解得 故； （2）， 故， 令，故， 则， ∵的开口向上，对称轴为， 则在单调递减，在单调递增， 故在处取得最小值，最小值为， ∴， 又，解得， 故实数a的取值范围为. 【A组---基础题】 1（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 2（2025高三下·全国·专题练习）已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】由， ，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方 因此C项正确． 故选：C. 3（24-25高一上·云南昭通·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数单调性及中间量1进行比较即可； 【详解】因为函数是增函数， 所以，即， 又函数是减函数， 所以，所以， 故选：C. 4（24-25高一上·海南三亚·期中）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造指数函数和幂函数，通过指数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意， 对于，构造函数，函数在单调递增， 即 对于，构造函数，函数在单调递减， 即， 对于，构造函数，函数在单调递减， 即， 所以. 故选：B. 5（22-23高一上·江苏连云港·期末）设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】参变分离，换元后得到（），要想方程有实数解只需与有交点，根据单调性求出，从而得到，求出a的取值范围. 【详解】因为，所以， 令（），则（）， 要想方程有实数解只需与有交点即可； 设，当时，单调递增，所以， 即时，解得：， 故a的取值范围是为：. 故选：C. 6（多选）（2025高三·全国·专题练习）[多选]下列选项正确的是（   ） A．函数是指数函数，则 B．函数的值域为R C．函数的图象可以由向右平移一个单位得到 D．函数恒过定点 【答案】AD 【分析】选项A：利用指数函数的定义结合指数函数的单调性求解即可，选项B：根据指数函数的值域求解即可，选项C：根据函数图像的平移变化求解即可，选项D:根据指数函数过定点结合函数的图像变化求解即可. 【详解】对于A，且，，A正确； 对于B，不论，还是，值城都为，B错误； 对于C，向左平移一个单位得到，C错误： 对于D，令，则，所以函数恒过定点， 故D正确． 故选：AD. 7（多选）（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数，，则下列结论正确的有（   ） A．有且仅有两个零点 B．的图象关于点对称 C．与的图象关于点对称 D．若，则有最大值2 【答案】BC 【分析】先化简，再根据函数的平移及奇偶性判断零点个数即可判断A，B，根据函数奇偶性得出对称中心判断C，最后根据函数的单调性即可计算判断D. 【详解】，则的图象向左平移1个单位长度后所得图象对应的函数为， 而，所以单调递增，为奇函数且对称中心为，则其有且仅有一个零点， 故可知有且仅有一个零点，且的图象关于点对称，故A错误，B正确； 因为，，的图象分别关于原点和对称， 故与的图象关于原点和的中点对称，故C正确； 若，又，单调递增，则，故D错误. 故选：BC. 8（24-25高三下·山东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则 . 【答案】 【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求解. 【详解】由指数函数的性质可知， 若，则，为常数，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则， 因为函数的值域为，则， 又，则，解得， 所以. 故答案为：. 9（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数的性质可得出，求出的值，然后验证函数为偶函数即可； （2）利用基本不等式可求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且为偶函数． 则，即，解得，此时，， 则，即函数为偶函数，故. （2）因为， 当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最大值为， 因为恒成立，则，即， 解得或，即实数的取值范围是. 10（23-24高三上·上海静安·期中）设 函数 (1)求a的值，使得为奇函数； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的定义域为R，且为奇函数，可得代入求参数,再检验即可； （2）对参数分类讨论，再分参处理恒成立即可. 【详解】（1）由的定义域为R，且为奇函数，可得即有解得 经检验当时，为奇函数， 则满足题意； （2）因为对任意恒成立， 所以对任意恒成立 即， 当时，恒成立； 当时，，由可得解得； 当时，，显然不可恒成立； 综上可得，a的取值范围是. 【B组---提高题】 1（2024·四川成都·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】分别由题意证出且，得出结论即可. 【详解】由于，所以，因此， 又因为，即，故 故选：A. 2（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知，函数在上的最大值不超过4，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的范围可求得；分别在、和的情况下求得，利用构造不等式求得结果. 【详解】当时， ①当，即时， ，满足题意 ②当，即时，令, 当时，单调递减；当时，单调递增 又， 若最大值不超过，则，即 ③当，即时， ，解得：（舍） 综上所述：. 故选：C. 【点睛】关键点点睛；关键是能够得到绝对值内的函数的值域，进而通过分类讨论的方式去除绝对值符号，根据单调性求得最值. 3（24-25高一上·安徽合肥·期末）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． ①所有偶函数都具有性质； ②具有性质； ③若，则一定存在正实数，使得具有性质； ④已知，若函数具有性质，则． 其中错误结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】利用性质可判断①；利用基本不等式结合性质可判断②；根据函数的值域可判断③；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断④. 【详解】对于①，设函数是定义在上的偶函数， 对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，①对； 对于②，对任意的，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故对任意的，， 所以，具有性质，故②对； 对于③，因为， 又函数的值域为，所以，不存在实数，使得，故③错； 对于④，， 因为，易知，因为，则，则， 所以，，即，所以，， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，故④对， 故选：C. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$