预习课第08讲 中心对称 暑假讲义2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第08讲 中心对称 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 中心对称图形的判定 【题型二】 中心对称的性质 角度1 中心对称的性质；角度2 中心对称性质的运用； 角度3 中心对称图形规律问题 【题型三】 平面直角坐标系中的中心对称变换 【题型四】 中心对称综合问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握中心对称的概念和性质； 2.掌握中心对称图形的概念； 3.会在直角坐标系中作旋转图形. 1 中心对称 把一个图形绕着某一点旋转度，如果它能够与另一个图形重合，这两个图形关于这个点对称或中心对称. 这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 2 性质 ① 对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心所平分； ② 中心对称的图形是全等图形. 3 中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转度，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心. 线段、平行四边形、圆等图形都是中心对称图形，线段的中点、平行四边形对角线的交点、圆心分别是它们的对称中心. 4 关于原点对称的点的坐标 点关于原点的对称点为. 【题型一】 中心对称图形的判定 相关知识点讲解 把一个图形绕着某一点旋转度，如果它能够与另一个图形重合，这两个图形关于这个点对称或中心对称. 这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 如上图，绕着点旋转度后得到，则和关于点中心对称，点称为对称中心. 【典题1】（2025·云南昆明·模拟预测）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1 （2025·山东菏泽·三模）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A．正三角形 B．矩形 C．圆 D．菱形 2（2025·山东济南·二模）“爱护环境，从我做起！”下列环保标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】 中心对称的性质 相关知识点讲解 中心对称的性质 ① 对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心所平分； ② 中心对称的图形是全等图形. 如上图，和关于点中心对称， 则，，，. 角度1 中心对称的性质 【典题1】（2025·山东济南·二模）如图所示，在 中，，，，与 关于点 O 中心对称，则的长度为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 变式练习 1（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③ ；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 角度2 中心对称性质的运用 【典题1】（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．1 D． 变式练习 1（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 2（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 3（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 4（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点在轴上，过点作轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图象(图中的实线部分)，若这十个点都在此新函数的图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（   ）． A． B．0 C． D． 5（20-21八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（　　） A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+2 角度3 中心对称图形规律问题 【典题1】（2025·河南周口·一模）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 2（2021·山东济宁·一模）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 【题型三】 平面直角坐标系中的中心对称变换 相关知识点讲解 点关于原点的对称点为. 【典题1】（2025·四川泸州·二模）已知点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·湖北武汉·三模）若点与点关于原点成中心对称，则的值是（   ） A． B． C．5 D．9 2（2025·陕西·模拟预测）已知一次函数的图象与轴交于点，将该图象向左平移个单位长度后与轴交于点．若点和点关于原点对称，则的值是（    ） A． B． C．0 D．2 3（2025·陕西咸阳·三模）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的长为（   ） A．20 B．24 C．26 D．28 【题型四】 中心对称综合问题 【典题1】（2025·安徽蚌埠·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)以轴为对称轴，将作对称变换得，再以轴为对称轴，将作对称变换得，画出； (2)直接写出和的对称中心坐标_____； (3)在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，直接写出点的坐标_____． 【典题2】（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，．动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动．当点与点不重合时，连接，作点关于的对称点，连接，；再作点关于的对称点，连接，．设点运动时间为秒． (1)的长为 ； (2)当四边形为中心对称图形时，求的值； (3)当时，求的取值范围； (4)当点在的一边所在的直线上时，直接写出的值． 变式练习 1（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为，，． (1)平移，使点A的对应点的坐标是 ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移__________个单位长度，再__________；如果看成一次平移，则平移的距离是__________个单位长度． (2)请在图中画出关于原点中心对称的，此时和关于某一点中心对称，这一点的坐标为__________． 2在平面直角坐标系中，正方形GHMN的顶点分别是，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：将线段绕点P旋转可以得到线段（分别为A，B的对应点），如果点在正方形的边上（包括顶点），则称线段为正方形以点P为中心的“关联线段”．    (1)如图1，已知点，在线段，，中，正方形以点P为中心的“关联线段”是_______； (2)已知点，线段是正方形以点P为中心的“关联线段”． ①求点P的坐标； ②直接写出点F的横坐标m的取值范围． 【A组---基础题】 1（2025年黑龙江省佳木斯市中考二模数学试题）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2（23-24九年级上·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（   ） A．点A与点D是对称点 B． C． D． 4（2025·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕点原点旋转得点，则此时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线交轴于点（点在点右侧），交轴于点．将抛物线绕点旋转，得到抛物线，它与轴的另一个交点为点，顶点为点．若四边形为矩形，则应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 7（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在如图所示的小正方形网格中，，，，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示： (1)图中，作关于点中心对称的三角形； (2)图中，是网格线上的一点，连接，根据网格特点在图中标出的中点，将线段平移得到线段，点的对应点为点； (3)图中，，，，，线段绕着点旋转可以得到线段，直接写出旋转中心的坐标 ． 【B组---提高题】 1（21-22九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2（2024·河南焦作·一模）在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答． (1)观察发现 如图1，在平面直角坐标系中，过点作轴的对称点，再分别作点关于直线和轴的对称点，则点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________；点可以看作是点关于点___________的对称点． (2)探究迁移 如图2，正方形中，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图2的情况解决以下问题： ①请判断的度数，并说明理由； ②若，求两点间的距离． (3)拓展应用 在（2）的条件下，若，请直接写出的长． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 中心对称 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 中心对称图形的判定 【题型二】 中心对称的性质 角度1 中心对称的性质；角度2 中心对称性质的运用； 角度3 中心对称图形规律问题 【题型三】 平面直角坐标系中的中心对称变换 【题型四】 中心对称综合问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握中心对称的概念和性质； 2.掌握中心对称图形的概念； 3.会在直角坐标系中作旋转图形. 1 中心对称 把一个图形绕着某一点旋转度，如果它能够与另一个图形重合，这两个图形关于这个点对称或中心对称. 这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 2 性质 ① 对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心所平分； ② 中心对称的图形是全等图形. 3 中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转度，如果旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心. 线段、平行四边形、圆等图形都是中心对称图形，线段的中点、平行四边形对角线的交点、圆心分别是它们的对称中心. 4 关于原点对称的点的坐标 点关于原点的对称点为. 【题型一】 中心对称图形的判定 相关知识点讲解 把一个图形绕着某一点旋转度，如果它能够与另一个图形重合，这两个图形关于这个点对称或中心对称. 这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 如上图，绕着点旋转度后得到，则和关于点中心对称，点称为对称中心. 【典题1】（2025·云南昆明·模拟预测）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．理解中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 变式练习 1 （2025·山东菏泽·三模）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A．正三角形 B．矩形 C．圆 D．菱形 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，该选项不合题意； 故选：． 2（2025·山东济南·二模）“爱护环境，从我做起！”下列环保标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形沿对称轴折叠后可重合，分析选项中哪些图形是轴对称图形； 根据中心对称图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，找出各选项中的中心对称图形，即可得到答案． 【详解】解：A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； B，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； C，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 【题型二】 中心对称的性质 相关知识点讲解 中心对称的性质 ① 对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心所平分； ② 中心对称的图形是全等图形. 如上图，和关于点中心对称， 则，，，. 角度1 中心对称的性质 【典题1】（2025·山东济南·二模）如图所示，在 中，，，，与 关于点 O 中心对称，则的长度为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】C 【分析】该题考查了勾股定理和中心对称，根据勾股定理求出，再根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：∵在 中，，，， ∴， ∵与 关于点 O 中心对称， ∴， 故选：C． 变式练习 1（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③ ；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得，点与点关于点对称，，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， ①②③正确，④错误， 故选：A 角度2 中心对称性质的运用 【典题1】（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称，连接，，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， 正方形的边长分别为3和2， 面积分别为9和4， 正方形和正方形的对称中心都是点， ． 故选：D． 变式练习 1（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握中心对称的两个三角形是全等三角形成为解题的关键． 由中心对称的性质可得得到，即，然后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：∵与关于点A成中心对称， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 故选C． 2（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的面积公式．根据中心对称图形的性质得出是解题关键． 【详解】解：∵阴影部分图形关于点O成中心对称， ∴, ∴． ∵的高， ∴． 故选D． 3（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据中心对称的性质得出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边的中线，， ∴，， ∵与关于点C中心对称，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：D． 4（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点在轴上，过点作轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图象(图中的实线部分)，若这十个点都在此新函数的图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（   ）． A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与、与、与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与、与、与都关于点A对称， ∴， ∴， 又，， ∴ ， 故选：C． 5（20-21八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（　　） A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+2 【答案】C 【分析】过点A作AM垂直CD交CD于M点，可得AM=EG=FH，AB=2，∠A= 120°在菱形ABCD中，可得，推出四边形EFGH是矩形即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AM垂直CD交CD于M点， ∵FG、FH垂直菱形ABCD的边AB, BC ∴AM=EG=FH ∵AB=2，∠A= 120°在菱形ABCD中 ∴, ∵FG、FH过菱形ABCD的对称中心O, ∴四边形EFGH是矩形，由∠A= 120°， ∴∠EOH=60°∠GEF =30° ∴, ∴四边形EFGH的周长为 故选：C 【点睛】本题考查中心对称，菱形的性质，矩形判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型． 角度3 中心对称图形规律问题 【典题1】（2025·河南周口·一模）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，则，因为是直角三角形，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即可求出正方形的边长，从而可得点的坐标，根据旋转的性质可知正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称，根据中心对称的性质即可得到第次旋转结束后，点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，则， 点的坐标为， ，， 是直角三角形， ， ， 解得：， 正方形的边长为， 点的坐标是， 正方形绕点顺时针旋转，每次旋转， 又 ， 正方形绕点顺时针旋转次回到出发点， ， 正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称， 将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后点的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、中心对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出点的坐标，再根据旋转的性质和中心对称的性质求出旋转次后点到达的位置的坐标． 变式练习 1（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 2（2021·山东济宁·一模）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 【答案】A 【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2， 点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案． 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-， ∴点A2的坐标是， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3＝5，纵坐标是， ∴点A3的坐标是， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-， ∴点A4的坐标是， …， ∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的坐标是 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键． 【题型三】 平面直角坐标系中的中心对称变换 相关知识点讲解 点关于原点的对称点为. 【典题1】（2025·四川泸州·二模）已知点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，二次函数的图象性质，根据原点对称点的特征求出，，再利用顶点坐标的公式计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴抛物线解析式为， ∴， ∴顶点坐标是， 故选：． 变式练习 1（2025·湖北武汉·三模）若点与点关于原点成中心对称，则的值是（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 2（2025·陕西·模拟预测）已知一次函数的图象与轴交于点，将该图象向左平移个单位长度后与轴交于点．若点和点关于原点对称，则的值是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象的平移，关于原点对称的点的特点，掌握一次函数图象的性质是关键． 根据一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移得到的坐标，再根据点关于原点对称点的特点列式求解即可． 【详解】解：一次函数， 当时，，则， 将该图象向左平移个单位长度后的解析为， 当时，，则， ∵点和点关于原点对称， ∴， 解得，， 故选：A ． 3（2025·陕西咸阳·三模）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的长为（   ） A．20 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标特征和菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．本题利用菱形的性质，结合勾股定理（两点距离公式）进行求解即可． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直且相等，且对角线的交点将对角线平分， ， 由题意，点的坐标为，点的坐标为， ，，解得：，， 的长度为． 故选：C． 【题型四】 中心对称综合问题 【典题1】（2025·安徽蚌埠·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，． (1)以轴为对称轴，将作对称变换得，再以轴为对称轴，将作对称变换得，画出； (2)直接写出和的对称中心坐标_____； (3)在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，直接写出点的坐标_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了轴对称图形作法，中心对称图形的缺点及等腰三角形的判定和性质，结合网格解题是解题的关键． （1）根据轴对称图形的作法作图即可； （2）结合图象即可确定对称中心． （3）根据图象得出，再由平行线的性质及角平分线的判定即可得出相应直线，然后确定直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：、如下图所示： （2）根据图象得和的对称中心坐标为， 故答案为：； （3）如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线平分， 经过点， 设直线的解析式为， 代入得：，解得， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或或或． 【典题2】（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，．动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动．当点与点不重合时，连接，作点关于的对称点，连接，；再作点关于的对称点，连接，．设点运动时间为秒． (1)的长为 ； (2)当四边形为中心对称图形时，求的值； (3)当时，求的取值范围； (4)当点在的一边所在的直线上时，直接写出的值． 【答案】(1)2 (2)； (3)的取值范围是； (4)的值是或或1或2． 【分析】（1）根据所对的直角边等于斜边的一半得出结论即可； （2）若四边形为中心对称图形，可证明四边形为菱形，得，为等边三角形，求出此时的值即可； （3）求出时，对应的值，然后确定值的取值范围即可； （4）分在边，边，直线上三种情况，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故答案为：2； （2）解：如图1，四边形为中心对称图形， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， 由对称得：， ， ， 是等边三角形， ， 即； （3）解：如图1中，，， ， 此时， 如图2，由对称得：，，， 在上，在上， 是等边三角形， ， ， 当时，的取值范围是； （4）解：①如图2中，在上，此时； ②如图3，在上， 点关于的对称点， ， ， ，， ， ，， ， ， 中，， ， ， ，即； ③如图1中，，则在直线上， 此时； ④如图4，与重合，此时； 综上，的值是或或1或2． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了中心对称图形，翻折变换，勾股定理，菱形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 变式练习 1（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为，，． (1)平移，使点A的对应点的坐标是 ①请在图中画出平移后的； ②将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移__________个单位长度，再__________；如果看成一次平移，则平移的距离是__________个单位长度． (2)请在图中画出关于原点中心对称的，此时和关于某一点中心对称，这一点的坐标为__________． 【答案】(1)①见解析；②4，向下平移2个单位长度， (2)图见解析； 【分析】本题主要考查中心变换和平移变换及勾股定理，熟练掌握中心变换和平移变换的定义是解题的关键． （1）①根据平移的性质得出坐标，进而画出图形即可；②根据平移的性质及勾股定理即可求解； （2）根据中心对称的性质先画出关于原点中心对称的，连接、、的交点就是对称中心． 【详解】（1）解：①如图所示， ②由图形得，将平移到的过程中，如果看成两次平移可描述为：先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，如果看成一次平移，则平移的距离是个单位长度； （2）解：如图所示；连接、、的交点为． 故答案为：． 2在平面直角坐标系中，正方形GHMN的顶点分别是，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：将线段绕点P旋转可以得到线段（分别为A，B的对应点），如果点在正方形的边上（包括顶点），则称线段为正方形以点P为中心的“关联线段”．    (1)如图1，已知点，在线段，，中，正方形以点P为中心的“关联线段”是_______； (2)已知点，线段是正方形以点P为中心的“关联线段”． ①求点P的坐标； ②直接写出点F的横坐标m的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查了新定义，中心对称图形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是： （1）由题知“关联线段”是关于P点成中心对称的，根据中心对称的性质判断即可； （2）①由E与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上，点在正方形上，可得点的坐标，然后利用中点坐标公式即可求解； ②由点在正方形上可得，根据与F点关于P对称，可得F点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵线段与线段关于点成中心对称，且G、M在正方形的边上， ∴线段是正方形以为中心的“关联线段”； ∵线段与线段关于点成中心对称，且N、M在正方形的边上， ∴线段是正方形以为中心的“关联线段”； 若线段是正方形以P为中心的“关联线段”，则， ∵，P在x轴上， ∴、的纵坐标为， 而正方形终只有点M的纵坐标为， ∴线段不是正方形以P为中心的“关联线段”， 故答案为：，； （2）解：①∵点，线段是正方形以点P为中心的“关联线段” ∴与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上， ∴点的纵坐标为． 又∵点在正方形上， ∴点的坐标为， ∴P点坐标为，即． ②∵点在正方形上 ∴， ∵与F点关于对称， ∴． 【A组---基础题】 1（2025年黑龙江省佳木斯市中考二模数学试题）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 2（23-24九年级上·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”、点所在的象限，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数求出点的坐标，由此即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， ∵， ∴点在第四象限， 即在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在第四象限， 故选：D． 3（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（   ） A．点A与点D是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称．根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与点D是对称点，，，， 而不一定成立． 故选：D． 4（2025·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕点原点旋转得点，则此时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中中心对称点的坐标特征，根据题意，理解将点绕点原点旋转得点，就是说点与点关于原点对称，由关于原点对称的两个点的坐标特征求解即可得到答案．熟记关于原点对称的两个点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：将点绕点原点旋转得点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为， 故选：B． 5（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 6（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线交轴于点（点在点右侧），交轴于点．将抛物线绕点旋转，得到抛物线，它与轴的另一个交点为点，顶点为点．若四边形为矩形，则应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标及矩形的性质和中心对称的性质．由矩形性质得，即可求解． 【详解】解：令，得， ， 令，得， ， ，， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ． 故选：． 7（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在如图所示的小正方形网格中，，，，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示： (1)图中，作关于点中心对称的三角形； (2)图中，是网格线上的一点，连接，根据网格特点在图中标出的中点，将线段平移得到线段，点的对应点为点； (3)图中，，，，，线段绕着点旋转可以得到线段，直接写出旋转中心的坐标 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了画已知图形关于某点中心对称的图形，平移（作图），找旋转中心等知识点，熟练掌握各种基本的做图技巧是解题的关键． （1）根据中心对称的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）先作出的中点，然后根据平移的性质作出的对应点，最后连接即可； （3）旋转中心有两种可能，由图即可直接写出旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，点和线段即为所求作： （3）解：如图，旋转中心有两种可能，即图中的和： 由图可知：，， 故答案为：或． 【B组---提高题】 1（21-22九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵抛物线（a＞0）与x轴交于A，B， ∴ ∵a＞0 解得 ∴点A（-3，0），点B（1，0）， ∵点B为中心对称， ∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5， ∴点C（5，0）， ∴抛物线， ∴D（－1，－4a）， 点D与点D′关于点B对称， 点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a， ∴D′（3，4a）， DD′=，CD=， CD′=， ∵△CDD′是直角三角形， 当∠CD′D=90°， 根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即 ， 解得， ∵a＞0， ∴； 当∠DCD′=90°， 根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即 ， 解得， ∴， ∴综合得a的值为或． 故答案选：A． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键． 2（2024·河南焦作·一模）在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答． (1)观察发现 如图1，在平面直角坐标系中，过点作轴的对称点，再分别作点关于直线和轴的对称点，则点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为___________；点可以看作是点关于点___________的对称点． (2)探究迁移 如图2，正方形中，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图2的情况解决以下问题： ①请判断的度数，并说明理由； ②若，求两点间的距离． (3)拓展应用 在（2）的条件下，若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①90°，见解析；② (3)或 【分析】本题主要考查勾股定理以及逆定理，一次函数图象，轴对称的性质，中心对称的性质 （1）根据轴对称和中心对称的性质以及勾股定理以及逆定理求解即可； （2）①连接，可得，进而即可求解；②先推出，再根据勾股定理求解即可； （3）分当点P在正方形外部时，当点P在正方形内部时，结合勾股定理求解即可 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴点可以看作是点绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为， ∵，共线， ∴点可以看作是点关于点的对称点， 故答案为：； （2）①解：连接 由对称性可得：， ∴； ②由（1）可知：共线， ∴ ∵， ∴； （3）解：①当点P在正方形外部时，连接，过点作，则，， ∴， ∴， ∴； ②当点P在正方形内部时，连接，过点作，则 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或 10 学科网（北京）股份有限公司 $$