5.1 方程 暑假讲义2025-2026学年七年级上册数学（人教版2024）

5.1 方程 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 方程的概念 【题型二】 一元一次方程的定义 【题型三】 一元一次方程的解 【题型四】 等式的性质 【题型五】 等式性质的应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握一元一次方程的概念； 2 理解一元一次方程的解的概念； 3 掌握等式的性质； 1 一元一次方程的概念 只含有一个未知数且未知数的指数是的方程叫做一元一次方程. 一般形式：. 2 一元一次方程的解 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3 等式的性质 （1）等式两边都加上或减去同一数或整式，所得结果仍是等式； （2）等式两边都乘或除以同一数不等于的数，所得结果仍是等式. 4 移项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项. 移项的依据是等式的性质. 【题型一】 方程的概念 相关知识点讲解 我们小学提过方程，那它的概念是什么呢？ 一个含有未知数的等式叫做方程。比如，，。 而是式子，是不等式。 【典题1】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·四川宜宾·阶段练习）下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】 一元一次方程的定义 相关知识点讲解 只含有一个未知数且未知数的指数是的方程叫做一元一次方程. 一般形式：. 注意：未知数在分母中是，它的次数不能看成是，如不是一元一次方程. 【例】是一元一次方程，，，不是一元一次方程. 【典题1】（24-25七年级上·四川南充·期中）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1 （24-25七年级下·河南南阳·期中）下列四个式子中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）下列方程是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 3（24-25七年级下·四川宜宾·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 4（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）写出一个一元一次方程，满足下列要求：①方程的解为；②未知数的系数不能为1，这个方程可以是 ． 【题型三】 一元一次方程的解 相关知识点讲解 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 【例】是方程的解，不是方程的解. 【典题1】（24-25七年级上·广东汕头·期末）是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 变式练习 1（17-18七年级上·全国·单元测试）下列方程中，解是的方程的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若是一元一次方程 的解，则的值为 A． B． C． D． 3（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【题型四】 等式的性质 相关知识点讲解 1 引入 想象下，有一个天平，左右两边分别放克与克重量的物体，此时天平平衡，说明； 先假设如下情况 （1）在左右两边再放克的物体，此时天平 (平衡或不平衡)，说明 (填). （2）在左右两边拿掉克的物体，此时天平 (平衡或不平衡)，说明 (填). （3）使得左右两边加重到3倍，此时天平 (平衡或不平衡)，说明 (填). （4）使得左右两边重量减少到原来的，此时天平 (平衡或不平衡)，说明 (填). 2 （1）等式两边都加上或减去同一数或整式，所得结果仍是等式； （2）等式两边都乘同一个数，或除以同一数不等于的数，所得结果仍是等式. 【例】 ；. 【典题1】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）下列运用等式的性质，变形正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式练习 1（24-25七年级上·陕西延安·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2（24-25七年级下·山西临汾·期中）下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）已知，则下列变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列各式运用等式性质运算正确的是（    ） A．如果，那么； B．如果，那么； C．如果，那么； D．如果，那么； 【题型五】 等式性质的应用 【典题1】 （24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【典题2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 变式练习 1（24-25七年级下·山东淄博·期中）把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 2（2024七年级上·全国·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据的是等式的哪条基本性质及是怎样变形的． (1)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (2)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (3)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ． 3（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）已知，若规定表示不超过的最大整数，例，请在此规定下求的值． 4（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步） 所以（第二步） ． (1)等式变形产生错误的步骤是第 步． (2)产生错误的原因是什么？ (3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可． 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·陕西渭南·期中）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·四川乐山·期中）下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 3（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列变形不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4（24-25七年级上·江苏南通·期末）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5（24-25七年级上·云南临沧·期末）若，则下列等式变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 6（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 7（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 8（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解方程，并检验： (1)；(2)；(3)． 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2（2024七年级上·浙江·专题练习）下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是 ； (2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； (3)给出正确的解题过程． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$5.1 方程 本讲义亮度: 1 构建知识体系 明确学习目标,深入浅出,力求打扎实基础; 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型,提高分析能力; 【题型一】 方程的概念 【题型二】 一元一次方程的定义 【题型三】 一元一次方程的解 【题型四】 等式的性质 【题型五】 等式性质的应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握一元一次方程的概念; 2 理解一元一次方程的解的概念; 3 掌握等式的性质; 1 一元一次方程的概念 只含有一个未知数且未知数的指数是的方程叫做一元一次方程. 一般形式:. 2 一元一次方程的解 方程的解:能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3 等式的性质 (1)等式两边都加上或减去同一数或整式,所得结果仍是等式; (2)等式两边都乘或除以同一数不等于的数,所得结果仍是等式. 4 移项 方程中的某些项改变符号后,可以从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项. 移项的依据是等式的性质. 【题型一】 方程的概念 相关知识点讲解 我们小学提过方程,那它的概念是什么呢? 一个含有未知数的等式叫做方程。比如,,。 而是式子,是不等式。 【典题1】(24-25七年级上 陕西榆林 阶段练习)下列各式中,是方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据方程的定义:含有未知数的等式叫方程,直接逐个判断即可得到答案;本题考查方程的定义:含有未知数的等式叫方程. 【详解】解:由题意可得, A选项是方程,符合题意; B选项不是等式,是代数式,故不符合题意; C选项无未知数,故不是方程,不符合题意; D选项是不等式,故不符合题意; 故选A. 变式练习 1(24-25七年级下 福建泉州 期中)下列方程中,是方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义.根据方程的定义:含有未知数的等式,进行判断即可. 【详解】解:A、,不是方程,不符合题意; B、,不含未知数,不符合题意; C、,不是方程,不符合题意; D、,是方程,符合题意; 故选D. 2(24-25七年级下 四川宜宾 阶段练习)下列各式中,是方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义:含有未知数的等式叫做方程.根据方程有两个特征:方程是等式;方程中必须含有字母(未知数),逐项分析即可求解. 【详解】解:A选项:是不等式,不是等式,故不是方程,A选项不符合题意; B选项:是代数式,不是等式,故不是方程,B选项不符合题意; C选项:即是等式,又含有字母,故是方程,C选项符合题意; D选项:是代数式,不是等式,故不是方程,D选项不符合题意; 故选:C. 【题型二】 一元一次方程的定义 相关知识点讲解 只含有一个未知数且未知数的指数是的方程叫做一元一次方程. 一般形式:. 注意:未知数在分母中是,它的次数不能看成是,如不是一元一次方程. 【例】是一元一次方程,,,不是一元一次方程. 【典题1】(24-25七年级上 四川南充 期中)下列方程中是一元一次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据定义即含有一个未知数且未知数的指数为1的整式方程,判断即可. 本题考查了一元一次方程的定义,熟练掌握定义是解题的关键. 【详解】解:A. ,最高次数为2,不是1,不符合题意; B. ,不是整式方程,不符合题意; C. ,是一元一次方程,符合题意; D. ,未知数的个数为2个,不是一个,不是一元一次方程,不符合题意; 故选:C. 变式练习 1 (24-25七年级下 河南南阳 期中)下列四个式子中,是一元一次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义,根据一元一次方程的定义:只含有一个未知数,未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程,逐个判断即可. 【详解】解:A、不是整式方程,不是一元一次方程,不符合题意; B、未知数的最高次数为2,不是一元一次方程,不符合题意; C、是一元一次方程,符合题意; D、含有两个未知数,不是一元一次方程,不符合题意; 故选:C. 2(24-25七年级下 福建漳州 阶段练习)下列方程是一元一次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义,根据只含有一个未知数,且未知数的最高次数为的整式方程是一元一次方程分析即可. 【详解】解:A、中未知数的最高次数为,不是一元一次方程; B、中含有两个未知数,不是一元一次方程; C、是一元一次方程; D、的分母中含有未知数,不是整式方程,不是一元一次方程. 故选:C. 3(24-25七年级下 四川宜宾 期末)下列方程中,是一元一次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义,熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键.根据一元一次方程的定义,逐项分析即可判断. 【详解】解:A、,未知数有2个,不是一元一次方程,不符合题意; B、是一元一次方程,符合题意; C、不是方程,不符合题意; D、不是整式方程,不是一元一次方程,不符合题意; 故选:B. 4(24-25七年级上 甘肃武威 阶段练习)写出一个一元一次方程,满足下列要求:①方程的解为;②未知数的系数不能为1,这个方程可以是 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式,只含有一个未知数,且未知数的指数是1,一次项系数不是0,根据一元一次方程的定义,构造出符合条件的方程即可. 【详解】解:答案不唯一,如等. 故答案为:(答案不唯一). 【题型三】 一元一次方程的解 相关知识点讲解 方程的解:能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 【例】是方程的解,不是方程的解. 【典题1】(24-25七年级上 广东汕头 期末)是下列哪个方程的解( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解的定义,熟练掌握方程的解的定义是解题的关键. 把分别代入方程,逐项判断即可. 【详解】解:A.当 时,,故该选项符合题意; B. 当 时,,故该选项不符合题意; C. 当 时,,故该选项不符合题意; D. 当 时,,故该选项不符合题意; 故选:A . 变式练习 1(17-18七年级上 全国 单元测试)下列方程中,解是的方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值,把代入各个方程进行进行检验,看能否使方程的左右两边相等.本题的关键是正确理解方程的解的定义,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值. 【详解】解:把分别代入A,B,C,D四个选项. A中,左边,右边,左边右边,错误; B中,左边,右边,左边=右边,正确; C中,左边,右边,左边右边,错误; D中,左边,右边,左边右边,错误. 答案:B. 2(24-25七年级上 安徽蚌埠 期末)若是一元一次方程 的解,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解,代数式求值,熟练掌握运算法则是解题的关键. 根据题意得出,代入代数式计算即可. 【详解】解: 是一元一次方程 的解 , , 故选:A . 3(2025 四川广安 二模)已知是关于的一元一次方程的解,则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解即使方程左右两边相等的未知数的值,正确运用解的定义是解题的关键.把代入求解即可. 【详解】解∶∵是关于的一元一次方程的解, ∴, ∴, 故答案为:. 【题型四】 等式的性质 相关知识点讲解 1 引入 想象下,有一个天平,左右两边分别放克与克重量的物体,此时天平平衡,说明; 先假设如下情况 (1)在左右两边再放克的物体,此时天平 (平衡或不平衡),说明 (填). (2)在左右两边拿掉克的物体,此时天平 (平衡或不平衡),说明 (填). (3)使得左右两边加重到3倍,此时天平 (平衡或不平衡),说明 (填). (4)使得左右两边重量减少到原来的,此时天平 (平衡或不平衡),说明 (填). 2 (1)等式两边都加上或减去同一数或整式,所得结果仍是等式; (2)等式两边都乘同一个数,或除以同一数不等于的数,所得结果仍是等式. 【例】 ;. 【典题1】(24-25七年级上 陕西榆林 阶段练习)下列运用等式的性质,变形正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的基本性质,等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),等式仍成立;等式的两边同时乘以同一个数(或式子),或除以同一个不为0的数(或式子),等式仍成立. 根据等式的性质逐选项判断即可. 【详解】解:A、若,则或,此选项错误; B、若,则时,,此选项错误; C、若,则,此选项正确; D、若,当时,则,此选项错误; 故选:C. 变式练习 1(24-25七年级上 陕西延安 期末)根据等式的性质,下列变形不正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】D 【分析】本题考了等式的性质,熟练掌握等式的基本性质是解题的关键.根据等式的性质逐项分析判断即可得出答案. 【详解】解:A、若,则,故此选项变形正确,不符合题意; B、若,则,故此选项变形正确,不符合题意; C、若,则,故此选项变形正确,不符合题意; D、若且,则,故此选项变形不正确,符合题意; 故选:D. 2(24-25七年级下 山西临汾 期中)下列变形正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质,熟知等式的性质是解题的关键:等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立;等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立,等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立. 【详解】解:A、若,则,原式变形错误,不符合题意; B、若,则,原式变形错误,不符合题意; C、,则,原式变形错误,不符合题意; D、若,则,原式变形正确,符合题意; 故选:D. 3(24-25七年级上 贵州铜仁 期末)已知,则下列变形不一定正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据等式的性质计算判断即可. 本题考查了等式的性质,熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】A. 如果,那么,变形正确,不符合题意; B. 如果,那么,正确,不符合题意; C. 如果,那么,正确,不符合题意; D. 如果,那么,不一定正确,m为0无意义,符合题意; 故选:D. 4(24-25七年级上 黑龙江哈尔滨 期末)下列各式运用等式性质运算正确的是( ) A.如果,那么; B.如果,那么; C.如果,那么; D.如果,那么; 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质,理解并掌握等式的性质是解题的关键. 等式的性质:等式两边同时加上或减去同一个数或式子,等式仍成立;等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数,等式仍成立;由此即可求解. 【详解】解:A、如果,那么,故原选项错误,不符合题意; B、如果,那么,当时,原选项错误,不符合题意; C、如果,那么,正确,符合题意; D、如果,那么,当时,原选项错误,不符合题意; 故选:C . 【题型五】 等式性质的应用 【典题1】 (24-25七年级下 全国 随堂练习)解下列方程: (1); (2); (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查利用等式的性质解方程,利用等式的性质正确求解是解答的关键. (1)方程两边同乘以2可解方程; (2)方程两边同除以5可解方程; (3)方程两边同除以可解方程. 【详解】(1)解:方程两边同乘以2, 得; (2)解:方程两边同除以5, 得; (3)解:方程两边同除以, 得. 【典题2】(2024七年级上 全国 专题练习)已知,利用等式的性质,求: (1)和的值; (2)的值. 【答案】(1),7 (2)16 【分析】题目主要考查等式的性质及求代数式的值,熟练掌握等式的性质是解题关键. (1)根据题意,得,再由等式的性质求解即可; (2)将原式整理,然后代入求解即可. 【详解】(1)解:根据题意,得, 在左右两边同时乘b,得, 在左右两边同时除以,得, 在等式,左右两边同时加3,得,即, 在左右两边同时加b,得; (2), 由(1)知,, 故原式. 变式练习 1(24-25七年级下 山东淄博 期中)把方程写成用含的代数式表示的形式,正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了利用等式的性质对等式进行变形,掌握等式的性质是解题的关键.要用含的代数式表示,就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边,再把的系数化为即可. 【详解】解:, 移项得:, 解得:, 故选:D. 2(2024七年级上 全国 专题练习)在下列各题的横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍是等式,并说明根据的是等式的哪条基本性质及是怎样变形的. (1)如果,那么 , 理由:根据 , 在等式两边 ; (2)如果,那么 , 理由:根据 , 在等式两边 ; (3)如果,那么 , 理由:根据 , 在等式两边 . 【答案】(1)8,等式的基本性质1,都加5 (2)-4,等式的基本性质2,都除以 (3)7,等式的基本性质1,都减 【分析】本题考查等式的基本性质,熟练掌握等式的基本性质是解题的关键. (1)根据等式的基本性质1即可解答; (2)根据等式的基本性质2即可解答; (3)根据等式的基本性质1即可解答. 【详解】(1)解:如果,那么, 理由:根据等式的基本性质1, 在等式两边都加5; 故答案为:8,等式的基本性质1,都加5; (2)解:如果,那么, 理由:根据等式的基本性质2, 在等式两边都除以; 故答案为:-4,等式的基本性质2,都除以; (3)解:如果,那么, 理由:根据等式的基本性质1, 在等式两边都减. 故答案为:7,等式的基本性质1,都减. 3(24-25七年级上 陕西安康 阶段练习)已知,若规定表示不超过的最大整数,例,请在此规定下求的值. 【答案】. 【分析】本题考查了新定义的运算,等式的性质.由已知利用等式的性质求得,再根据规定求得的值即可. 【详解】解:∵, ∴,即, ∴. 4(24-25七年级上 辽宁盘锦 阶段练习)在学习等式的基本性质后,有不少同学对策式进行变形后,得出“”的错误结论,但都找不到错误原因,你能帮助他们找到原因吗?错误的解答过程如下:解:将等式变形,得(第一步) 所以(第二步) . (1)等式变形产生错误的步骤是第 步. (2)产生错误的原因是什么? (3)对于等式基本性质的应用,你认为还需要注意什么?写出一点即可. 【答案】(1)二 (2)没考虑的情况 (3)等式两边必须是相同的操作(同加同减,同乘同除),且是同一个数或同一个式子,等式两边同时除以一个数时,要确保这个数不能为0(答案不唯一,合理即可) 【分析】本题主要考查等式的性质,理解并掌握等式的性质是解题的关键. (1)根据等式的性质判定即可; (2)根据等式的性质判定即可; (3)根据等式的性质判定即可. 【详解】(1)解:等式变形产生错误的步骤是第二步, 故答案为:二; (2)解:在第二步中,等式两边同时除以,没有考虑的情况,当时,根据等式的性质2,这不合理, ∴错误原因:没考虑的情况; (3)解:运用等式的性质时,等式两边必须是相同的操作(同加同减,同乘同除),且是同一个数或同一个式子,等式两边同时除以一个数时,要确保这个数不能为0(答案不唯一,合理即可). 【A组-基础题】 1(24-25七年级上 陕西渭南 期中)下列各式中,属于方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义,解题的关键是依据方程的定义,含有未知数的等式叫做方程.方程有两个特征:(1)方程是等式;(2)方程中必须含有字母(未知数). 【详解】解:根据方程的定义可知,四个选项中只有B选项中的式子是方程, 故选:B. 2(24-25七年级下 四川乐山 期中)下列方程是一元一次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程,由此判断即可. 【详解】解:A、含有2个未知数,不是一元一次方程,故此选项不符合题意; B、是一元一次方程,故此选项符合题意; C、不是方程,故此选项不符合题意; D、未知数的最高次数不是1,故此选项不符合题意. 故选:B. 3(24-25七年级上 湖北武汉 期末)下列变形不一定正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质:“如果,那么” ,“如果,那么” ,“如果,那么(),”,根据此性质进行逐一判断即可求解,掌握性质是解题的关键. 【详解】A.等式两边同时减,变形正确,故不符合题意; B.等式两边同时除以,变形正确,故不符合题意; C.等式两边同时乘以,变形正确,故不符合题意; D.当时,不成立,变形不一定正确,故符合题意; 故选:D. 4(24-25七年级上 江苏南通 期末)若,则下列等式不一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质,熟练掌握等式的基本性质是解题的关键. 根据等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或字母),等式仍成立; 等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0数(或字母),等式仍成立. 【详解】解:A、两边同时加,,一定成立; B、两边同时减,,一定成立; C、两边同时乘,,一定成立; D、两边同时除以,需,若,式子无意义,因此不一定成立; 故选:D. 5(24-25七年级上 云南临沧 期末)若,则下列等式变形不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质.解题的关键是掌握等式的性质:性质1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式;性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数,结果仍得等式.根据等式的性质进行判断. 【详解】解:A、因为,所以,原变形正确,故此选项不符合题意; B、如果,那么原变形不正确,故此选项符合题意; C、因为,所以,原变形正确,故此选项不符合题意; D、因为,且,原变形正确,故此选项不符合题意. 故选:B. 6(24-25七年级上 浙江宁波 期末)若是关于的一元一次方程的解,则的值是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解,解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义.先把方程的解代入方程得:,再把所求代数式的前两项提取公因式2,然后把整体代入求值即可. 【详解】解:把代入方程得:, 故答案为:. 7(24-25八年级下 河南郑州 阶段练习)已知:, 试比较和的大小,并说明理由. 将下面的解题过程补充完整. 解:_, 理由如下: , _(不等式的基本性质2). _(不等式的基本性质1). 【答案】<;; 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质,熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键. 利用不等式的基本性质进行分析解答即可. 【详解】解:,理由如下: , (不等式的基本性质2). (不等式的基本性质1). 39.(24-25七年级下 全国 课后作业)已知等式,你能比较和的大小吗? 【答案】 【分析】此题考查了等式的性质,熟练掌握等式的性质是解本题的关键.根据等式的性质进行变形,最后得到m与n的差,根据差的正负即可进行判断. 【详解】解:能,理由: 等式两边同时加4,得, 等式两边同时减去,得, 等式两边同时除以3,得, ∴. 8(2024七年级上 全国 专题练习)利用等式的性质解方程,并检验: (1); (2); (3). 【答案】(1),检验见解析 (2),检验见解析 (3),检验见解析 【分析】(1)根据等式的性质1,给等式的两边同时减8即可得到x的值,最后将x的值代入方程检验即可; (2)根据等式的性质2,方程两边同乘以即可得到x的值,最后将x的值代入方程检验即可; (3)先根据等式的性质1,给方程两边同时加4可得,至此,再给方程两边同时除以3即可求出x的值,最后将x的值代入方程检验即可. 【详解】(1)解:两边同减8,得, 化简,得, 将代入方程的左边,得, 方程左、右两边的值相等, 所以是方程的解; (2)解:两边同乘,得, 化简,得, 将代入方程的左边,得, 方程左、右两边的值相等, 所以是方程的解; (3)解:两边同加4,得, 化简,得, 两边同乘,得, 化简,得, 将代入方程的左边,得, 方程左、右两边的值相等, 所以是方程的解. 【B组-提高题】 1(24-25七年级上 福建福州 阶段练习)下列等式变形正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质,熟知等式的性质是解题的关键:等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立;等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立,等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立. 【详解】解:A、若,则,原式变形错误,不符合题意; B、若,则,原式变形错误,不符合题意; C、若,则,原式变形正确,符合题意; D、若,则,原式变形错误,不符合题意; 故选:C. 2(2024七年级上 浙江 专题练习)下面是小明利用等式的性质解方程的过程. 解方程:. 解:,① ,② .③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题: (1)①的依据是 ; (2)小明出错的步骤是 ,错误的原因是 ; (3)给出正确的解题过程. 【答案】(1)等式的基本性质:等式两边同时加或减同一个数,等式仍相等 (2)③,等式两边同时除以的x可能为0 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程,等式的性质. (1)①等式的基本性质:等式两边同时加或减同一个数,等式仍相等. (2)小明出错的步骤是第③步,错误的原因是:等式两边同时除以的x可能为0; (3)正确的解题过程为:第③步改为x﹣3x=0,故x=0. 【详解】(1)解:①等式的基本性质:等式两边同时加或减同一个数,等式仍相等. 故答案为:等式的基本性质:等式两边同时加或减同一个数,等式仍相等; (2)解:小明出错的步骤是第③步,错误的原因是:等式两边同时除以的x可能为0; 故答案为:③,等式两边同时除以的x可能为0; (3)解:正确的解题过程为: 解方程:. 解:, , , . ∴. 10 学科网(北京)股份有限公司 $$