精品解析：云南省曲靖市富源县2024-2025学年高二下学期教学质量监测数学试题

富源县2024—2025学年春季学期教学质量监测 高二数学试题卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：63、68、76、77、82、88、92、93，则这8名学生成绩的分位数是（ ） A. 88分 B. 89分 C. 90分 D. 92分 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. 3 D. 6 5. 某专营店统计了新产品A上市后第天到该专营店购物的人数y（单位：人）． x 1 2 3 4 5 y 15 20 35 80 150 根据表中数据，可知y与x的经验回归方程为，则（ ） A. B. 22 C. D. 39 6. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　) A. 3 B. 1 C. －1 D. －3 7. 在中，,BC=1,AC=5，则AB= A. B. C. D. 8. 设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列叙述中正确的是（ ） A. 二项式系数之和为32 B. 各项系数之和为0 C. 常数项为15 D. 的系数为15 10. 已知半径为2的扇形中，的长为，扇形的面积为，圆心角的大小为弧度，函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于对称 D. 函数图象关于直线对称 11. 已知圆的圆心为，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线和圆分别交于A，B，E，F（点A，E，F，B在直线上依次排列），则（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则__________． 13. 某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为.若每轮射击中命中目标得1分，未命中目标得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为______. 14. 已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意的，有，求的取值范围. 19. 从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. （1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 富源县2024—2025学年春季学期教学质量监测 高二数学试题卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，再利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩（单位：分）分别是：63、68、76、77、82、88、92、93，则这8名学生成绩的分位数是（ ） A. 88分 B. 89分 C. 90分 D. 92分 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的求解规则来计算即可. 【详解】由于，所以这组成绩的分位数为. 故选：C 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合，得到，结合，即可求解. 【详解】由题意，可得， 因为，可得， 所以阴影部分所表示的集合为. 故选：A. 4. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为. 故选：A 5. 某专营店统计了新产品A上市后第天到该专营店购物的人数y（单位：人）． x 1 2 3 4 5 y 15 20 35 80 150 根据表中数据，可知y与x的经验回归方程为，则（ ） A. B. 22 C. D. 39 【答案】C 【解析】 【分析】根据经验回归方程过定点，带入求参数. 【详解】根据题意可知，， 把带入，得，解得. 故选：C. 6. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　) A. 3 B. 1 C. －1 D. －3 【答案】D 【解析】 【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数， 当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数）， ∴f（0）=1+b=0， 解得b=-1 ∴f（1）=2+2-1=3． ∴f（-1）=-f（1）=-3． 故选D． 7. 在中，,BC=1,AC=5，则AB= A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB. 详解：因为 所以，选A. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 8. 设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得． 详解：由题可知 在中， 在中, 故选B. 点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列叙述中正确的是（ ） A. 二项式系数之和为32 B. 各项系数之和为0 C. 常数项为15 D. 的系数为15 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的二项式系数的性质，可判定选项A错误；令，求得展开式的各项系数和，可判定B正确；求得二项式展开式的通项，结合通项，可判定C、D正确. 【详解】解：因为二项式系数和为，故选项A错误； 令，得二项式各项系数之和为0，故选项B正确； ，令，得常数项，故选项C正确； 令，得，故选项D正确． 故选：BCD. 10. 已知半径为2的扇形中，的长为，扇形的面积为，圆心角的大小为弧度，函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于对称 D. 函数图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】利用扇形的面积求出，利用弧长求出，结合诱导公式得，利用余弦的偶函数性质判断A，求出单调区间判断B，求出对称中心和对称轴判断CD. 【详解】由题意，所以， 所以，其定义域为R关于原点对称， 因为，所以函数是偶函数，故A正确； 令，得， 所以函数的减区间为， 当时，函数的减区间为，， 所以函数在区间上单调递减，故B错误； 令，得， 所以函数的对称中心为，令得， 所以函数图象不关于对称，故C错误； 令，得，所以函数的对称轴为， 当时，，所以函数图象关于直线对称，故选项D正确. 故选：AD 11. 已知圆的圆心为，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线和圆分别交于A，B，E，F（点A，E，F，B在直线上依次排列），则（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标可得的值，设，联立直线与抛物线即可得交点坐标关系，结合抛物线的定义得与的坐标表示从而可得取值情况，根据几何性质结合基本不等式求解的最值即可得结论. 【详解】 圆的圆心为，故，A正确； 设， 联立恒成立， 则， 由抛物线定义得， 当时，即当与轴垂直时，取得最小值，最小值为4，B正确； 又，C错误； ， 当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则__________． 【答案】0.8## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性及已知概率得出概率. 【详解】随机变量X服从正态分布，且， 则. 故答案为：. 13. 某射击比赛中，甲选手进行多轮射击，每轮射击中命中目标的概率为.若每轮射击中命中目标得1分，未命中目标得0分，且各轮射击结果相互独立，则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式求解. 【详解】解：进行五轮射击后，甲的总得分不小于3分的概率为： . 故答案为： 14. 已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用圆的弦长求法，结合面积可得方程求解即可. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 设圆心到直线的距离为， 由垂径定理可知， 由面积为知：，解得或， 则由点到直线的距离公式得：， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 故答案为：（取这三个中的任何一个都算对，答案不唯一）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）由题知，进而根据裂项求和法求解即可. 【小问1详解】 解：当时，． 当时，， 所以， 因为也满足， 所以通项公式为． 【小问2详解】 解：由（1）得， 所以， 所以． 16. 已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求出，从而求出，即可求解方程； （2）联立直线与椭圆方程，韦达定理求出弦长，利用点到直线的距离求出高，根据面积建立方程求解即可. 【小问1详解】 由焦点为得，又离心率，得到， 所以，所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设，， 联立，消y得， ，得到， 由韦达定理得，，， 又因为， 又原点到直线的距离为， 所以， 所以，所以，即，满足， 所以直线l的方程为. 17. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，再利用线面平行的判定定理即可； （2）取的中点为，以为原点建系，求出平面的法向量，再根据向量夹角与线面角的关系即可求出. 【小问1详解】 取的中点，连接，， ∵为的中点，∴且， 又，，则且， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 取的中点为，连接，因，则， 因平面平面，平面平面，平面， 则平面，又面，则， 又，，，则，故，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由是边长为4的等边三角形，得， ∴，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即平面的一个法向量为； ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意的，有，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. （3） 【解析】 【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可； （2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间； （3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由，知. 所以当时，有，. 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即. 【小问2详解】 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减. 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. 【小问3详解】 我们有. 当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增. 故对任意的，都有，满足条件； 当时，由于，故. 所以原结论对不成立，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果. 19. 从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. （1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 【答案】（1） 2 3 （2）①，，；②，； 【解析】 【分析】（1）列出随机变量的所有可能取值并求得对应的概率，写出其分布列即得； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求得，，再通过构造等比数列求得数列的通项即得. 【小问1详解】 的可能取值为2和3， 则， 所以随机变量的分布列为： 2 3 【小问2详解】 ①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，， 则有，，. ②记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 所以 即，， 所以，且. 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 即次传球后球在甲手中的概率是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查全概率公式应用和数列递推公式的处理方法,属于难题. 解题的关键有二，其一，在用表示事件“经过次传球后，球在甲手中”后 ，要想到运用全概率公式得到，再运用独立事件的概率乘法公式展开得到；其二，在此数列递推式两边凑项，构造等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $