精品解析：北京市西城区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

北京市西城区2024-2025学年度第二学期期末试卷 高二数学 2025.7 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知在等差数列中，，，则公差的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 3. 小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的盏数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列满足，且是和的等比中项，则（ ） A. 6 B. 8 C. 6或8 D. 10 7. 某工厂生产的产品分为优良品、合格品、次品三个等级，其中优良品率为，合格品率为，次品率为，现从该厂生产的所有产品中任取三件，则三个等级的产品恰好各取到1件的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的两个极值点分别为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 9. 若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知函数，则的定义域是_____，_____. 12. 已知等差数列的前项和为，，则_____. 13. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 则_____；若，，成公比为3的等比数列，则_____. 14. 已知曲线，点A在曲线上，则在点A处切线斜率的最小值为_____；若点为轴的一个动点，且曲线上至少有两条不同的切线经过点，则动点的轨迹的长度为_____. 15. 已知是首项为，公差为2的无穷等差数列，是首项为1，公比为2的无穷等比数列，记，给出下列四个结论： ①当时，有； ②存在，使得的前2025项为单调递增数列； ③对于任意从第三项起均为单调递减数列； ④当且仅当时，存在，使得. 其中所有正确结论的序号是_____. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，，且. （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意，都有恒成立，求的取值范围. 17. 已知在等差数列和等比数列中，，，等差数列的前项和为.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列和存在，并解答下列问题. 条件①：； 条件②：成等差数列； 条件③：成等比数列. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列的通项公式为，求数列的前项和的最小值；设数列的前项和取最小值时，，求数列的前项和的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153 （1）若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率； （2）若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望； （3）若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大?（结论不要求证明） 19. 甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响. （1）甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小； （2）丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值. 20. 已知函数，. （1）当时， （ⅰ）求曲线在处的切线方程； （ⅱ）求函数的最大值； （2）若函数的最大值为，求的值. 21. 已知数列满足：①均为正整数且不全相等；②对任意正整数n，，，，． （1）若，，，，求； （2）是否存在正整数，使得，，，全为0？证明你的结论； （3）求证：存在正整数，使得，，，中有一个数的绝对值大于2025． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区2024-2025学年度第二学期期末试卷 高二数学 2025.7 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数求解即可. 【详解】因为，所以 . 故选：A. 2. 已知在等差数列中，，，则公差的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】∵，，∴. 故选：B. 3. 小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出从袋子中随机摸出两个球的情况数和两球的颜色相同的情况数，相除得到答案. 【详解】袋子中共有7个球，随机摸出两个球，共有种情况， 其中两球的颜色相同的情况为2红，2白或2黑，共有种情况， 故该抽奖活动的中奖率为. 故选：B 4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的盏数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列，根据即可求出. 【详解】解：设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列， 所以，由题可得，解得， 所以，塔的顶层的灯数是3. 故选：C. 5. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数的定义分别判断函数的奇偶性，利用导数分别判断函数的单调性，再根据函数是否为是奇函数，且是否在上单调递增判断即可. 【详解】选项A：函数定义域为 ，，函数是奇函数， ，当时，，在上单调递减，不合题意； 选项B：函数定义域为 ，，函数不是奇函数，不合题意； 选项C：函数定义域为, 是奇函数 ，因为，所以，函数在上单调递增，符合题意； 选项D：定义域为 ，不是奇函数，不合题意. 故选：C. 6. 已知等差数列满足，且是和的等比中项，则（ ） A. 6 B. 8 C. 6或8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】设出公差，借助等比中项的性质与等差数列的性质计算即可得. 【详解】设数列公差为，则，故， ，即，解得， 则. 故选：A. 7. 某工厂生产的产品分为优良品、合格品、次品三个等级，其中优良品率为，合格品率为，次品率为，现从该厂生产的所有产品中任取三件，则三个等级的产品恰好各取到1件的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式及排列数公式计算即可. 【详解】从该厂生产的所有产品中任取三件，则三个等级的产品恰好各取到1件的概率为. 故选：D 8. 若函数的两个极值点分别为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】对求导得.由是函数的两个极值点，分析可知：是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系及完全平方式即可求解. 【详解】∵，∴. ∵是函数的两个极值点，∴， ∴，即是方程的两个根， ∴，，∴，∴. 故选：C. 9. 若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，按公比的取值情况，结合单调性探讨等价条件，再利用充要条件的定义判断. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由数列存在负数项，得或， 数列有最小项，当时，， 若，则单调递增，随着的增大，无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 若，，数列是常数列，有最小项； 若，则单调递减，随着的增大，正数无限减小，有最小项， 因此； 当时，数列的项正负相间，若，则单调递增，随着的增大， 无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 当时，，数列有最小项； 当时，，单调递减，随着的增大，正数无限减小， 有最小项或，因此， 于是数列有最小项等价于； 数列有最大项：，数列是等比数列， 当时，无最大项，数列无最大项； 当时，，数列有最大项； 当时，单调递减，随着的增大，正数无限减小，数列有最大项， 因此数列有最大项等价于， 所以“数列有最小项”是“数列有最大项”的充分必要条件. 故选：C 10. 若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在时恒成立，在时恒成立，且在时的值小于在时的最小值，从而计算即可得. 【详解】当时，， 则在时恒成立， 则与共零点， 故，解得，即， 当时，， 则在时恒成立，则， 由在区间上单调递增， 则，解得， 综上可得. 故选：B. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知函数，则的定义域是_____，_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据对数的真数大于0，且分母不为0即可求出函数的定义域；利用导数的除法法则，对求导得到，再将代入即可求出. 【详解】要使函数有意义，则，即，∴的定义域是. ∵，∴. 故答案为：；. 12. 已知等差数列的前项和为，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】借助等差数列求和公式与等差中项的性质计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 则_____；若，，成公比为3的等比数列，则_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空一：借助概率之和为计算即可得；空二：借助等比数列的性质结合空一所得计算即可得. 【详解】； 若，，成公比为3的等比数列， 则有，则，， 则. 故答案为：；. 14. 已知曲线，点A在曲线上，则在点A处切线斜率的最小值为_____；若点为轴的一个动点，且曲线上至少有两条不同的切线经过点，则动点的轨迹的长度为_____. 【答案】 ①. -1 ②. 8 【解析】 【分析】设，求导，得到在点A处切线斜率为，得到最小值；将代入切线方程，整理得到至少有两个根，构造函数，求导得到其单调性和极值情况，得到，求出轨迹长度. 【详解】设，， 故在点A处切线斜率为， 当时，等号成立，故在点A处切线斜率的最小值为-1， 点为轴的一个动点，设为， 在处的切线方程为 ， 将代入切线方程得， 整理得， 曲线上至少有两条不同的切线经过点， 故至少有两个根， 令，则， 令得，令得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 极小值为，极大值为， 故时，至少两个根， 动点的轨迹的长度为. 故答案为：-1，8 15. 已知是首项为，公差为2的无穷等差数列，是首项为1，公比为2的无穷等比数列，记，给出下列四个结论： ①当时，有； ②存在，使得的前2025项为单调递增数列； ③对于任意从第三项起均为单调递减数列； ④当且仅当时，存在，使得. 其中所有正确结论的序号是_____. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据条件求出，求出作差比大小来判断①；假设命题成立，将问题转化为恒成立求参来判断②；求出，通过研究函数的单调性即可判断③；举反例来判断④. 【详解】由题意可知，，， 则， 则， 若，则，即，故①正确； 假设存在，使得的前2025项为单调递增数列， 则 对，恒成立， 即对，恒成立， 当时，上式显然成立，则对，恒成立， 因，结合的单调性可知， 当时有最大值， 则，则，故假设成立，则②正确； 由②可知，， 令，其开口朝下，对称轴为， 若，则对称轴，则当时，， 则时，， 故对于任意从第三项起均为单调递减数列，故③正确； 当时，，，故④错误. 故答案为：①②③ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，，且. （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，利用，解方程即可求得的值；（2）求出导数为0的点，对该点的左右区间利用导数为正，函数单增，导数为负，函数单减进行判断即可；（3）求出的最小值，将恒成立转化为其最小值大于等于1，解不等式即可. 【小问1详解】 ，， 因为，所以， 解得. 【小问2详解】 函数的定义域是， 由（1）得，， ， 令，解得或（舍去）， 当时，，故，单调递增， 当时，，故，单调递减， 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 由（2）得，， 对任意，都有恒成立，即，， 解得， 故的取值范围是. 17. 已知在等差数列和等比数列中，，，等差数列的前项和为.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列和存在，并解答下列问题. 条件①：； 条件②：成等差数列； 条件③：成等比数列. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列的通项公式为，求数列的前项和的最小值；设数列的前项和取最小值时，，求数列的前项和的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1），. （2）数列的前项和的最小值为，此时数列的前项和的值为 【解析】 【分析】（1）选择条件①：设的公差为，的公比为，根据等差数列的前项和公式及等差、等比数列的通项公式，列出方程组即可求解； 选择条件②：设的公差为，的公比为，由题可得：，根据等差数列、等比数列的通项公式，列出方程组即可求解； 选择条件③：设的公差为，的公比为， 由题可得：，根据等差数列、等比数列的通项公式，列出方程组求解可知选择条件③时，不存在满足条件的数列和. （2）由（1）知.设的前项和为，的前项和为，根据等比数列的前项和公式可得，根据等差数列的前项和公式，由二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 选择条件①： 设的公差为，的公比为，，∴， ∴，即，解得或（舍去）， 所以，. 选择条件②： 设的公差为，的公比为， 由题可得：，∴则， 即，即， 解得或（舍去）， 所以，. 选择条件③： 设的公差为，的公比为， 由题可得：，∴则，即， 解得（舍去）或（舍去）， 故选择条件③时，不存在满足条件的数列和. 【小问2详解】 由（1）知. 设的前项和为，的前项和为， 则，， 由二次函数的性质可知：当时，的最小值为， 数列的前8项和为. 18. 商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153 （1）若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率； （2）若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望； （3）若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大?（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）从表中找出所有月份中苹果价格指数大于150的事件个数即可得； （2）得到随机变量的所有可能取值后计算相应概率，即可得其分布列，再借助期望公式计算即可得其数学期望； （3）结合两点分布的方差公式与方差定义可得、、，即可得解. 【小问1详解】 设“2024年随机抽取1个月，且该月苹果价格指数大于150”为事件， 由表可知，2024年12个月中，有9个月的苹果价格指数大于150， 所以； 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为1，2，3，4， ， ， ， ； 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以的数学期望为； 【小问3详解】 2024年1~4月中有两个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布， 故； 2024年5~8月中有三个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布， 故； 2024年9~12月中四个月苹果的价格指数都大于150，则， 故， 即、、中最大. 19. 甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响. （1）甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小； （2）丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值. 【答案】（1）甲恰好投中1次的概率大. （2），最大值为. 【解析】 【分析】（1）分别求出甲乙各命中1次的概率，即可求解. （2）求出丙恰好投中1次的概率为，再令，然后利用导数求出最值，即可求解. 【小问1详解】 甲恰好投中1次的概率为， 乙恰好投中1次的概率为， 所以甲恰好投中1次的概率大. 【小问2详解】 丙恰好投中1次的概率为. 令. 求导得：. 由，解得，故在上单调递增： 由，解得，故在上单调递减， 所以. 所以当时，丙恰好投中1次的概率最大，最大值为. 20. 已知函数，. （1）当时， （ⅰ）求曲线在处的切线方程； （ⅱ）求函数的最大值； （2）若函数的最大值为，求的值. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）求导，即可根据点斜式求解切线方程，（ⅱ）根据导数的正负确定函数的单调性，即可求解最值， （2）根据的单调性可得有唯一解，即.即可结合最大值求解. 【小问1详解】 函数的定义域是. . 当时，. （ⅰ）因为， 所以在处的切线方程为. （ⅱ）令，. ， 所以在区间上单调递减. 随着的变化，的变化情况如下： 1 + 0 - + 0 - ↗ 极大值 ↘ 所以. 【小问2详解】 由（1）中 令，则. 设， 因为在上单调递减，且，时，， 所以存在唯一零点. 所以有唯一解，不妨设为，即. 随着的变化，的变化情况如下： + 0 - ↗ 极大值 ↘ 所以. 又，所以，所以. 设，则，所以单调递增. 又，所以. 21. 已知数列满足：①均为正整数且不全相等；②对任意正整数n，，，，． （1）若，，，，求； （2）是否存在正整数，使得，，，全为0？证明你的结论； （3）求证：存在正整数，使得，，，中有一个数的绝对值大于2025． 【答案】（1），，，，，，， （2）不存在，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设代入求解即可； （2）根据反证法即可证明； （3）由题可知当时，，再分类讨论，和两种情况，结合题设即可证明． 【小问1详解】 由已知得，，，， 同理可得，，，，． 【小问2详解】 若存在正整数，使得全为0，不妨设是最小的， 则，，，， 所以， 由题意，， 若，则这与条件①矛盾； 若， 则 ， 所以，这与的取法矛盾， 综上，不存在正整数，使得全为0． 【小问3详解】 由题可知当时，， 故时，， （ⅰ）若，则，时，， 所以， 故当时，， 也即中有一个数的绝对值大于2025； （ⅱ）若，则由得， 设，，，，因为x，y不同时为0，不妨设其中， 则，，，， ，，，， 归纳可知，，，，， 进而，， 所以， 综上，一定存在正整数，使得中有一个数的绝对值大于2025． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $