第17章 因式分解 数学活动 　　导学案　 2025—2026学年人教版数学八年级上册

本文围绕个位数是5的数的平方运算规律及因式分解生成密码展开，承接整式乘法知识，为提升数学应用能力奠基，呼应数学活动单元主题。通过探究规律、证明结论、生成密码等环节，培养学生抽象、推理、模型构建等核心素养。 该设计创新点在于结合生活实例，采用问题驱动教法。能提升学生批判性思维与应用能力，为教师提供高效备课资源，有效突破教学难点，增强课堂互动性。

第17章 数学活动 学习目标 1.探究个位数是 5 的数的平方的简便运算规律，并能用式子表示这个运算规律，进而用整式的乘法知识进行证明，了解数学建模的方法，学会数学思考. 2.通过因式分解和密码生成的活动，巩固因式分解的知识，并培养数学应用能力和创新思维. 自主探索 1. 一个两位数，十位上的数是 a,个位上的数是 b,这个两位数用代数式可以表示为______________ 2. 一个三位数，百位上的数是 a,十位上的数是 b，个位上的数是 c,这个三位数用代数式可以表示为______________. 活动1　个位数字是5的两位数平方的规律 问题1　我们共同来进行一个简单的数学计算： 15×15=1×2×100+25 ， 25×25=2×3×100+25， 35×35=3×4×100+25， …… 观察上述每一个算式，这些算式左右两侧具有什么样的规律？ 问题2 你能再举几个具有这样特征的例子，并用上述方法验证其正确性吗？ 问题3 用字母怎么表示得到的一般性的规律呢？ 问题4 你能用本章所学的知识证明你的结论吗？ 活动2　利用因式分解生成密码 人类历史使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码;先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.例如多项式x2y-4y，将其分解因式为y(x+2)(x-2).若取x=15,y=12,则有y=12,x+2=17,x-2=13.其中12,17,13分别为因式码,将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码. 问题1 已知多项式16p4-q4，当取p=10,q=5时，用上述方法生成的密码是什么? 问题2 已知多项式16p4-q4，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗? 问题3 自己写一个多项式，并用上述方法生成密码. 当堂达标 1. 老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题： 请观察以下算式：32-12=8×1；52-32=8×2；72-52=8×3；… (1)试写出符合上述规律的第五个算式； (2)验证：设两个连续奇数为2n+1，2n-1（其中n为正整数），用因式分解的方法说明它们的平方差是8的倍数. 2.阅读与思考：在现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式；x2-9因式分解的结果为（x-3）（x+3）或（x+3）（x-3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，此时可以得到数字密码1016或1610． （1）根据上述方法，若多项式为x2-16，当x=15时，求出锁屏密码； （2）若王老师选取的多项式为x3-x,已知王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． 课堂小结 1.通过本节课的学习,你有那些收获? 2.有什么体会和感悟? 3.你还有哪些疑问? 参考答案 当堂达标 1.解：(1)第五个算式为112-92=8×5. (2)验证：设两个连续奇数为2n+1，2n-1， 则（2n+1）2-（2n-1）2 =（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1） =2×4n =8n． 故两个连续奇数的平方差是8的倍数． 2.解：（1）∵x2-16因式分解的结果为（x-4）（x+4）或（x+4）（x-4）， ∴当x=15时，x-4=11，x+4=19， ∴锁屏密码为1119或1911． （2）王老师的年龄是34岁．理由如下： x3-x=x（x2-1）=x（x+1）（x-1）=x（x-1）（x+1）=（x+1）（x-1）x=（x+1）x（x-1）=（x-1）x（x+1）=（x-1）（x+1）x, ∵王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，35＞34＞33， ∴x+1=35，x=34，x-1=33， ∴x=34， ∴王老师的年龄是34岁． 学科网（北京）股份有限公司 $$