24.1.3弧、弦、圆心角同步练习 2025—2026学年人教版数学九年级上册

答案与解析 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D B D B C 一．选择题 1．下列命题是真命题的是（　　） A．相等的弦所对的弧相等 B．圆心角相等，其所对的弦相等 C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等 D．弦相等，它所对的圆心角相等 解：A、B、D结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以A、B、D错误； 故选：C． 2．如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOC＝130°，则∠BOD的大小为（　　） A．130° B．80° C．65° D．50° 解：∵∠AOC＝130°， ∴∠BOC＝180°﹣130°＝50°， ∵， ∴∠BOC＝∠BOD＝50°． 故选：D． 3．如图，OA、OB、OC均为⊙O的半径，连接AB，BC，若AB＝BC，∠BOC＝36°，则∠AOC的度数为（　　） A．36° B．72° C．54° D．68° 解：∵AB＝BC， ∴∠AOB＝∠BOC， ∵∠BOC＝36°， ∴∠AOB＝36°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝72°， 故选：B． 4．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 解：∵AB＝CD， ∴， ∴， 即， ∴AC＝BD， ∵和无法确定相等， ∴无法判断AD＝BD， 故选：D． 5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF．若⊙O的半径为5，且AF＝8，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E， ∴，CE＝DE． ∵C是的中点，AF＝8， ∴， ∴CD＝AF＝8， ∴CE＝DE＝4， ∵OC＝5， ∴， ∵OA＝5， ∴AE＝OA﹣OE＝2， 故选：B． 6．如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（　　） A．AB＝2AC B．AB＞2AC C．AB＜2AC D．以上结论都不对 解：如图，取的中点H，连接AH、BH， 则， ∵弧AB长等于弧AC长的2倍， ∴， ∴AH＝BH＝AC， 在△ABH中，AH+BH＞AB， ∴AB＜2AC， 故选：C． 二．填空题 7．如图，AB是直径，，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是 　60°　 ． 解：∵，∠BOC＝40°， ∴∠DOE＝∠COD＝∠BOC＝40°， ∴∠AOE＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠BOC＝60°， 故答案为：60°． 8．如图，AB是⊙O的直径，，则∠COD的度数是　120°　 ． 解：由题意可得：∠AOC＝150°， ∵， ∴∠AOD＝30°， ∴∠COD＝120°， 故答案为：120°． 9．一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是 　60°　 ． 解：∵一条弦把圆分成1：5两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为360°60°． 故答案为：60°． 10．如图，在⊙O中，，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④，正确的是 　①②③④　 （填序号）． 解：在⊙O中，， ∴AB＝CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∴故④正确； ∴AC＝BD，故②正确； ∴∠AOC＝∠BOD，故③正确． 故答案为：①②③④． 11．如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　5　 ． 解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB． ∵OF⊥AB，AB＝8， ∴，AE＝BEAB8＝4， ∵2， ∴AB， ∴∠BOC＝∠BOF， ∴OB是∠COF的平分线， ∵BD⊥OC， ∴BD＝BE＝4， 设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r， ∵CD＝2， ∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2， 在Rt△BOD中利用勾股定理，得BD2+OD2＝OB2， ∴42+（r﹣2）2＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 故答案为：5． 12．如图，在⊙O中，ACAB，直径BC＝2，，则AD＝　3　 ． 解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F． ∵BC是直径， ∴∠BAC＝90°， ∵BC＝2，AB＝2AC， ∴AC＝2，AB＝4， ∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°， ∴四边形DEAF是矩形， ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DF， ∴四边形DEAF是正方形， ∴ADAF， ∵∠DAB＝∠DAC， ∴， ∴BD＝CD， ∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）， ∴BE＝CF， ∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6， ∴AF＝3， ∴ADAF＝3， 故答案为：3． 三．解答题（共6小题） 13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求证：． 证明：∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴． 14．如图，点A，B，C，D在⊙O在中，若BC＝AD， 求证：AC＝BD． 证明：∵BC＝AD， ∴， ∴， 即， ∴AC＝BD． 15．如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE． 证明：连接OC． 在⊙O中，∵ ∴∠AOC＝∠BOC， ∵OA＝OB，D、E分别是半径OA和OB的中点， ∴OD＝OE， ∵OC＝OC（公共边）， ∴△COD≌△COE（SAS）， ∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等）． 16．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，． （1）求证：AC＝BD； （2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC． 证明：（1）∵， ∴， 即， ∴AC＝BD； （2）连接OB、OC、BC， ∵AB＝CD， ∴， ∴∠ACB＝∠DBC， ∴EB＝EC， ∵OB＝OC， ∴E、O都在BC的垂直平分线上， ∴EO⊥BC． 17．AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF，连接OA、OB． （1）求证：AE＝BF； （2）求证：． （1）证明：过O作OM⊥AB于M， ∵OA＝OB，OE＝OF， ∴AM＝BM，EM＝FM， ∴AM﹣EM＝BM﹣FM， ∴AE＝BF； （2）证明：∵OM⊥AB，OA＝OB，OE＝OF， ∴∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM， ∴∠AOM﹣∠EOM＝∠BOM﹣∠FOM， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴． 18．在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在⊙O中OC⊥AB垂足为C，OC1⊥A1B1垂足为C1，OC和OC1都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，O是∠BPD的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于A，B，C，D． （1）求证：AB＝CD； （2）若角的顶点P在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． （1）证明：如图1，过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∵PO平分∠EPF， ∴OM＝ON， ∴AB＝CD； （2）还成立， 证明：如图2，当P在⊙O上时， 过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∵PO平分∠EPF， ∴OM＝ON， ∴AB＝CD； 当P在⊙O内时，如图3， 过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∵PO平分∠EPF， ∴OM＝ON， ∴AB＝CD． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/5 8:21:48；用户：王妍；邮箱：18068992688；学号：38112000 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习 一．选择题 1．下列命题是真命题的是（　　） A．相等的弦所对的弧相等 B．圆心角相等，其所对的弦相等 C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等 D．弦相等，它所对的圆心角相等 2．如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOC＝130°，则∠BOD的大小为（　　） A．130° B．80° C．65° D．50° 第2题 第3题 第4题 第5题 3．如图，OA、OB、OC均为⊙O的半径，连接AB，BC，若AB＝BC，∠BOC＝36°，则∠AOC的度数为（　　） A．36° B．72° C．54° D．68° 4．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD 5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF．若⊙O的半径为5，且AF＝8，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（　　） A．AB＝2AC B．AB＞2AC C．AB＜2AC D．以上结论都不对 第6题 第7题 第8题 二．填空题 7．如图，AB是直径，，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是 　 　 ． 8．如图，AB是⊙O的直径，，则∠COD的度数是　 　 ． 9．一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是 　 　 ． 10．如图，在⊙O中，，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④，正确的是 　 　 （填序号）． 第10题 第11题 第12题 11．如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 12．如图，在⊙O中，ACAB，直径BC＝2，，则AD＝　 　 ． 三．解答题 13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求证：． 14．如图，点A，B，C，D在⊙O在中，若BC＝AD， 求证：AC＝BD． 15．如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE． 16．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，． （1）求证：AC＝BD； （2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC． 17．AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF，连接OA、OB． （1）求证：AE＝BF； （2）求证：． 18．在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在⊙O中OC⊥AB垂足为C，OC1⊥A1B1垂足为C1，OC和OC1都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，O是∠BPD的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于A，B，C，D． （1）求证：AB＝CD； （2）若角的顶点P在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 4页） 24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习 一．选择题 1．下列命题是真命题的是（ ） A．相等的弦所对的弧相等 B．圆心角相等，其所对的弦相等 C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等 D．弦相等，它所对的圆心角相等 2．如图，AB 是⊙O 的直径，�� = ��，若∠AOC＝130°，则∠BOD 的大小为（ ） A．130° B．80° C．65° D．50° 第 2题 第 3题 第 4题 第 5题 3．如图，OA、OB、OC 均为⊙O 的半径，连接 AB，BC，若 AB＝BC，∠BOC＝36°，则∠AOC 的度数 为（ ） A．36° B．72° C．54° D．68° 4．如图，在⊙O 中，AB＝CD，则下列结论错误的是（ ） A．�� = �� B．�� = �� C．AC＝BD D．AD＝BD 5．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB 于点 E，C 是��的中点，连接 AF．若⊙O 的半径 为 5，且 AF＝8，则 AE 的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，⊙O 中，点 A、B、C 在圆上，且弧 AB 长等于弧 AC 长的 2倍，则下列结论正确的是（ ） A．AB＝2AC B．AB＞2AC C．AB＜2AC D．以上结论都不对 第 6题 第 7题 第 8题 第 2页（共 4页） 二．填空题 7．如图，AB 是直径，�� = �� = ��，∠BOC＝40°，∠AOE 的度数是 ． 8．如图，AB 是⊙O 的直径，�� = ��，∠��� = 30°，则∠COD 的度数是 ． 9．一条弦把圆分成 1：5两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是 ． 10．如图，在⊙O 中，�� = ��，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④�� = ��， 正确的是 （填序号）． 第 10题 第 11题 第 12题 11．如图，在⊙O 中，�� =2��且 BD⊥OC，垂足为 D．若 AB＝8，CD＝2，则⊙O 的半径为 ． 12．如图，在⊙O 中，AC= 12AB，直径 BC＝2 5，�� = ��，则 AD＝ ． 三．解答题 13．如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，AB＝CD．求证：�� = ��． 14．如图，点 A，B，C，D 在⊙O 在中，若 BC＝AD， 求证：AC＝BD． 第 3页（共 4页） 15．如图：�� = ��，D、E 分别是半径 OA 和 OB 的中点，求证：CD＝CE． 16．如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦，AC 与 BD 相交于点 E，�� = ��． （1）求证：AC＝BD； （2）连接 BC，作直线 EO，求证：EO⊥BC． 17．AB 是⊙O 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，且 OE＝OF，连接 OA、OB． （1）求证：AE＝BF； （2）求证：�� = ��． 第 4页（共 4页） 18．在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心 角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在⊙O 中 OC⊥AB 垂足为 C，OC1⊥A1B1垂足为 C1，OC 和 OC1都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心 角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，O 是∠BPD 的平分线上一点，以点 O 为圆心的圆与角的两边分别交于 A，B，C，D． （1）求证：AB＝CD； （2）若角的顶点 P 在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．