第21章 二次函数与反比例函数单元检测基础卷---2025—2026学年沪科版数学九年级上册

第21章 二次函数与反比例函数单元检测基础卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列函数中，是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C． D．y＝﹣x（x+3） 【解答】解：A、y＝x﹣1是一次函数，不是二次函数，不符合题意； B、当a＝0时，y＝bx+c不是二次函数，不符合题意； C、y不是二次函数，不符合题意； D、y＝﹣x（x+3）＝﹣x2﹣3x是二次函数，符合题意． 故选：D． 2.抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（　　） A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（3，1） 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+3， ∴该抛物线的顶点坐标是（1，3）， 故选：B． 3.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+bc与反比例函数在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上， ∴a＞0， ∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧， ∴a、b异号，即b＜0． ∵与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴一次函数y＝ax+bc的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故选：C． 4.已知二次函数y＝﹣2（x﹣b）2，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣32 D．32 【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣b）2， ∴其对称轴方程为x＝b， 又当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小， ∴其对称轴为直线x＝3， ∴b＝3， ∴二次函数为y＝﹣2（x﹣3）2， 把x＝1代入得，y＝﹣2（1﹣3）2＝﹣8； 故选：A． 5.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值列表如表： x … ﹣1 0 1 3 5 … y … ﹣5 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 则当0＜x＜5时，y的取值范围是（　　） A．﹣8≤y＜7 B．﹣8＜y＜7 C．﹣9＜y＜7 D．﹣9≤y＜7 【解答】解：根据表格知二次函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣9）， ∴当0＜x＜5时，y的取值范围是﹣9≤y＜7． 故选：D． 6.如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴是直线x＝﹣1，且经过点P（﹣3，0），则a+b+c的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1， ∴根据二次函数的对称性得：点（﹣3，0）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点为（1，0）， ∵当x＝1时，y＝a+b+c＝0， ∴a+b+c的值等于0． 故选：C． 7.已知A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）是反比例函数的图象上三点，则下列结论正确的是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x2＜x1 【解答】解：∵在反比例函数中k＝5＞0， ∴此反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）是反比例函数的图象上三点， ∴x1＜0＜x3＜x2，即x1＜x3＜x2， 故选：B． 8.在平面直角坐标系中，平移二次函数y＝（x﹣2015）（x﹣2017）+3的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（　　） A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位 【解答】解：∵平移二次函数y＝（x﹣2015）（x﹣2017）+3的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度， ∴将二次函数y＝（x﹣2015）（x﹣2017）+3的图象向下平移3个单位得y＝（x﹣2015）（x﹣2017）， ∵y＝（x﹣2015）（x﹣2017）与x轴的交点坐标为（2015，0），（2017，0） ∴与x轴两交点间的距离为2个单位长度． 故选：B． 9.小明从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息： ①c＜0，②abc＞0，③a﹣b+c＞0，④2a﹣3b＝0，⑤4a+2b+c＞0， 你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：①由二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上可知a＞0，图象与y轴交点在负半轴，c＜0，正确； ②由图象可知x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，正确； ③对称轴x0，a＞0，b＜0，abc＞0，正确； ④对称轴x，﹣3b＝2a，2a﹣3b＝﹣6b，错误； ⑤由图象可知x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，正确． 所以①②③⑤四项正确． 故选：C． 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P3（x3，y3）、……、Pn（xn，yn）均在反比例函数y（x＞0）的图象上，点Q1、Q2、Q3……、Qn均在x轴的正半轴上，且△OP1Q1、△Q1P2Q2、△Q2P3Q3、……、△Qn﹣1PnQn均为等腰直角三角形，OQ1、Q1Q2、Q2Q3、……、Qn﹣1Qn分别为以上等腰直角三角形的底边，则y1+y2+y3+⋯+y2024的值为（　　） A．3 B．2 C． D．2024 【解答】解：过点P1作x轴的垂线，垂足为M， ∵△OP1Q1是等腰直角三角形，且P1M⊥x轴， ∴P1M＝OM＝QM． 令点P1的坐标为（a，a）， 将点P1的坐标代入反比例函数解析式得， a2＝9， 解得a＝3（舍负）， ∴P1M＝3， 即y1＝3． 过点P2作x轴的垂线，垂足为N， 同理可得，P2N＝Q1N＝Q2N， 令P2N＝Q1N＝b， ∴点P2的坐标为（b+6，b）． 将点P2的坐标代入反比例函数解析式得， b（b+6）＝9， 解得b（舍负）， ∴P2N， 即， …， 依次类推，，，…，（n为正整数）， ∴， 当n＝2024时， y1+y2+y3+…+y2024． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.如果抛物线y＝（2﹣a）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是 　 　 ． 【解答】解：∵抛物线y＝（2﹣a）x2+x﹣1开口向下， ∴2﹣a＜0， 解得a＞2， 故答案为：a＞2． 12.如图是二次函数和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1 时，x的取值范围　 　 ． 【解答】解：从图中可看出y2≥y1时，x的取值范围﹣2≤x≤1． 故答案为：﹣2≤x≤1． 13.如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝﹣3x2，②y，③y＝﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是　 　 （填序号） 【解答】解：①y＝﹣3x2， ②yx2， ③y＝﹣x2中，二次项系数a分别为﹣3、、﹣1， ∵|﹣3|＞|﹣1|＞||， ∴抛物线②yx2的开口最宽，抛物线①y＝﹣3x2的开口最窄． 故答案为：①③②． 14.如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　 　 ． 【解答】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴点D的坐标为（﹣3，2）， 把（﹣3，2）代入双曲线， 可得k＝﹣6， 即双曲线解析式为y， ∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y， y＝1， 即点C坐标为（﹣6，1）， ∴AC＝3， 又∵OB＝6， ∴S△AOCAC×OB＝9． 故答案为：9． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知二次函数的图象的顶点坐标（﹣1，4）且图象过点（2，﹣5），求该函数的解析式． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4， 把（2，﹣5）代入得a（2+1）2+4＝﹣5，解得a＝﹣1， 所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3， 故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3． 16.抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6． （1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2）x取何值时，y随x的增大而减小？ （3）x取何值时，y＝0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0． 【解答】解：（1）∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2， ∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x＝2； （2）∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小； （3）令y＝0，即﹣2x2+8x﹣6＝0，解得x＝1或3，抛物线开口向下， ∴当x＝1或x＝3时，y＝0； 当1＜x＜3时，y＞0； 当x＜1或x＞3时，y＜0． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知函数y＝y1﹣y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例，且当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝5．求y关于x的函数解析式． 【解答】解：∵y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例， ∴设y1＝ax，y2， ∴y＝ax， ∵当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝5， ∴， 解得， ∴y＝2x． 18.已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值． 【解答】（1）证明：令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0， ∵△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1 ＝（4m2﹣4 m+1）﹣（4m2﹣4m） ＝1＞0， ∴方程有两个不等的实数根， ∴原抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）解：令x＝0，根据题意有：m2﹣m＝﹣3m+3， 解得m＝﹣3或1． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）该隧道内设双行道，中间隔离带1m，一辆货车高4m，宽2.5m，能否安全通过，为什么？ 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， ∵顶点（4，6）， ∴y＝a（x﹣4）2+6， ∵它过点（0，2）， ∴a（0﹣4）2+6＝2， 解得a， ∴设抛物线的解析式为； （2）当x＝1时，y4， ∴该货车不能通过隧道． 20.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与双曲线y（k≠0）相交于A，B两点，且点A的横坐标是3． （1）求k的值； （2）过点P（0，n）作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y＝x﹣2交于点M，与双曲线y（k≠0）交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围． 【解答】解：（1）令x＝3，代入y＝x﹣2，则y＝1， ∴A（3，1）， ∵点A（3，1）在双曲线y（k≠0）上， ∴k＝3； （2）联立得：， 解得：或，即B（﹣1，﹣3）， 如图所示： 当点M在N右边时，n的取值范围是n＞1或﹣3＜n＜0． 六、（本题满分12分） 21.如图，某苗圃师傅用木制栅栏设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为x（单位：m），另一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）． （1）直接写出S与x之间的函数关系式（写出x的取值范围）． （2）该矩形育苗试验田的面积S能达到220m2吗？如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【解答】解：（1）由题意可得S＝xy＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x， 令0＜40﹣2x≤21，解得． （2）不能，理由如下： 令S＝220，则﹣2x2+40x＝220，即x2﹣20x+110＝0， ∵Δ＝400﹣440＜0，方程无实数解， 故不可能达到220m2． （3）∵S＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，开口向下， 且，对称轴为直线x＝10， 故当x＝10时，Smax＝200（m2）． 七、（本题满分12分） 22.一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 … 销售量y（千克） … 100 90 80 … （1）求y与x的函数关系式； （2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？ （3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？ 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 根据题意得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣x+150； （2）根据题意得 （﹣x+150）（x﹣20）＝4000， 解得x1＝70，x2＝100＞90（不合题意，舍去）． ∴该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元； （3）w与x的函数关系式为： w＝（﹣x+150）（x﹣20） ＝﹣x2+170x﹣3000 ＝﹣（x﹣85）2+4225， ∵﹣1＜0， ∴当x＝85时，w值最大，w最大值是4225． ∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大． 八、（本题满分14分） 23.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为4米，宽度OM为8米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽1.8米、高1.5米的车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【解答】解：（1）∵OM为8米，最高点P距离地面高度为4米， ∴点M（8，0），顶点即（4，4）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，把点M的坐标代入得： 0＝42a+4， 解得：， ∴这条抛物线的函数解析式为； （2）该双车道能同时并行两辆宽1.8米、高1.5米的车辆；理由如下： 当x＝4﹣1﹣1.8＝1.2时， ， ∴能同时并行两辆宽1.8米、高1.5米的车辆； （3）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC， 设OB＝m米，则BC＝（8﹣2m）米，AB＝CD＝（4）米， 设w＝AB+AD+DC， 则 ， ∵， ∴当时， w有最大值，最大值为：（米）， 答：三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是10米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与反比例函数单元检测基础卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列函数中，是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C． D．y＝﹣x（x+3） 2.抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（　　） A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（3，1） 3.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+bc与反比例函数在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C．D． 4.已知二次函数y＝﹣2（x﹣b）2，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣32 D．32 5.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值列表如表： x … ﹣1 0 1 3 5 … y … ﹣5 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 则当0＜x＜5时，y的取值范围是（　　） A．﹣8≤y＜7 B．﹣8＜y＜7 C．﹣9＜y＜7 D．﹣9≤y＜7 6.如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴是直线x＝﹣1，且经过点P（﹣3，0），则a+b+c的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1 7.已知A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）是反比例函数的图象上三点，则下列结论正确的是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x2＜x1 8.在平面直角坐标系中，平移二次函数y＝（x﹣2015）（x﹣2017）+3的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（　　） A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位 9.小明从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息： ①c＜0，②abc＞0，③a﹣b+c＞0，④2a﹣3b＝0，⑤4a+2b+c＞0， 你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P3（x3，y3）、……、Pn（xn，yn）均在反比例函数y（x＞0）的图象上，点Q1、Q2、Q3……、Qn均在x轴的正半轴上，且△OP1Q1、△Q1P2Q2、△Q2P3Q3、……、△Qn﹣1PnQn均为等腰直角三角形，OQ1、Q1Q2、Q2Q3、……、Qn﹣1Qn分别为以上等腰直角三角形的底边，则y1+y2+y3+⋯+y2024的值为（　　） A．3 B．2 C． D．2024 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.如果抛物线y＝（2﹣a）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是 　 　 ． 12.如图是二次函数和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1 时，x的取值范围　 　 ． 13.如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝﹣3x2，②y，③y＝﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是　 　 （填序号） 14.如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知二次函数的图象的顶点坐标（﹣1，4）且图象过点（2，﹣5），求该函数的解析式． 16.抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6． （1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2）x取何值时，y随x的增大而减小？ （3）x取何值时，y＝0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知函数y＝y1﹣y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例，且当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝5．求y关于x的函数解析式． 18.已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）该隧道内设双行道，中间隔离带1m，一辆货车高4m，宽2.5m，能否安全通过，为什么？ 20.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与双曲线y（k≠0）相交于A，B两点，且点A的横坐标是3． （1）求k的值； （2）过点P（0，n）作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y＝x﹣2交于点M，与双曲线y（k≠0）交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围． 六、（本题满分12分） 21.如图，某苗圃师傅用木制栅栏设计了一个矩形育苗试验田，一面紧靠围墙，围墙的长度为21米，提供的木制栅栏的总长度为40米，在安装过程中栅栏不重叠使用，且无损耗和浪费．设该矩形育苗试验田的一边长为x（单位：m），另一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）． （1）直接写出S与x之间的函数关系式（写出x的取值范围）． （2）该矩形育苗试验田的面积S能达到220m2吗？如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，该矩形育苗试验田的面积S最大？最大面积是多少？ 七、（本题满分12分） 22.一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 … 销售量y（千克） … 100 90 80 … （1）求y与x的函数关系式； （2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？ （3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？ 八、（本题满分14分） 23.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为4米，宽度OM为8米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽1.8米、高1.5米的车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 学科网（北京）股份有限公司 $$