21.6 综合与实践 获取最大利润---课时练　2025—2026学年沪科版数学九年级上册

21.6 综合与实践 获取最大利润 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 2.服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　） A．150元 B．160元 C．170元 D．180元 3.为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y（单位：℃）与时间t（单位：h）的函数关系满足y＝﹣t2+12t+2，当4≤t≤8时，该地区的最高温度是（　　） A．38℃ B．37℃ C．36℃ D．34℃ 4.某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现商家采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨0.5元，其销量就会减少10件，那么要使利润为640元，需将售价定为（　　） A．16元 B．12元 C．16元或12元 D．14元 5.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（　　） A．758元 B．1508元 C．1556元 D．1558元 6.图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽为4m．如果水面宽度为6m，则水面下降（　　） A．3.5m B．3m C．2.5m D．2m 7.鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为y＝ax2+bx+c（a≠0），画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 ﹣3 … 关于此函数下列说法不正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．当x＝2时，该函数有最大值 C．当x＝0时，y＝﹣3 D．若在函数图象上有两点A（x1，﹣4），，则x1＞x2 8.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x，则下列结论：（1）柱子OA的高度为m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；（4）水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t（0≤t≤4）．有下列结论： ①小球飞行中的高度可以是21m；②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度；③当1.5≤t≤3时，小球的飞行高度不低于15m．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10.某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元；③宾馆每天的最大利润为12250元．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用60m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场的长为x m，当x＝　　 m时，养鸡场的面积最大． 12.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足y1＝﹣x2+10x、y2＝2x．若该公司在甲、乙两地共销售10辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为 　　 万元． 13.小伟同学用几何画板软件在电脑上绘制的y＝﹣x2﹣2x+3（﹣2＜x≤2）图象，关于该图象下列四个说法：①图象与坐标轴有两个交点；②图象存在最高点，其横坐标为﹣1；③图象最高点和最低点的距离等于；④直线y＝3与该图象有两个交点．正确的是　 　 ． 14.已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+（m+1）2（m为常数）的顶点坐标为（h，k） （1）k关于h的函数解析式为 　 　 ． （2）若抛物线不经过第三象限，且在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为，则m＝　　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，用一段长为100m的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，墙长为15m．矩形AEGD与矩形BCGE的面积相等，矩形AEFH与矩形DGFH的面积相等．设AE长为x m，BC长为y m，矩形ABCD的面积为z m2． （1）直接写出y与x，z与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，z有最大值？最大值是多少？ 16.某公司生产的某种商品每件成本为20元．经市场调查发现，获得以下信息：这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与t（天）之间存在一次函数关系m＝﹣2t+96，其中在前20天的销售中，每天的销售价格p（元/件）与时间t（天）满足函数关系式为p＝0.25t+25（0＜t≤20，且t为整数），在后20天每天的销售中，每天的销售价格q（元/件）与时间t（天）满足函数关系式为q＝﹣0.5t+40（20≤t≤40，且t为整数）．根据这些信息，解决以下有关问题： （1）直接写出前20天的日销售利润w1和后20天的日销售利润w2； （2）求前20天和后20天中各自在哪一天可以获得最大日销售利润，最大日销售利润分别是多少元？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.某工厂加工某种型号芯片，成本价为20元/个．根据市场调查发现，销售量y（个）是关于销售单价提高x（元）的一次函数（x≥0，且x为整数），其关系如下表： 提高x元 单价（元/个） 销售量（个） 0 25 500 1 26 480 2 27 460 … … … x 25+x （1）求销售量y与x之间的函数关系式； （2）由于工厂生产规模受限，每日加工该种芯片不能少于340个且不能超过620个，每日加工的芯片全部售出，该芯片销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 18.一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 … 销售量y（千克） … 100 90 80 … （1）求y与x的函数关系式； （2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？ （3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.一种工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．设该工艺品每件降价x元，请回答下列问题： （1）用含x的代数式表示： ①降价后每售一件该工艺品获得利润 　 　 元； ②降价后平均每天售出 　 　 件该工艺品． （2）每天获得利润为W元，求每天获得的利润W与降价x元之间的函数关系式？要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？最大利润为多少元？ 20.请阅读下列材料： 在求代数式x2+2x+3的最小值时，三位同学分别提出了下面的解决方法： 甲同学：x2+2x+3＝x2+2x•1+12﹣12+3＝（x+1）2+2． ∵（x+1）2≥0 ∴当x＝﹣1时，x2+2x+3有最小值，最小值为2． 乙同学：设y＝x2+2x+3 ∴y是关于x的二次函数，对称轴是直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）+3＝2． ∵a＝1＞0， ∴x2+2x+3的最小值是2． 丙同学：设y＝x2+2x+3 ∴x2+2x+3﹣y＝0 ∵关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣y＝0有实数根， ∴△＝22﹣4×1×（3﹣y）＝4y﹣8≥0，解得y≥2， ∴x2+2x+3的最小值是2． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）x2﹣4x+1＝（x﹣h）2+k（其中h，k是常数），则h＝ 　　 ，k＝ 　 　 ； （2）已知关于x的多项式﹣x2+mx+9的最大值为10，求m的值； （3）某商店经销一种双肩包，通过市场调查发现，这种双肩包每天的销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x2+90x﹣1800（30≤x≤60），当这种双肩包的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 六、（本题满分12分） 21.为了方便游客，某湿地公园开设了A，B两个观光车租赁点，每个租赁点均有观光车50辆，两个租赁点一天租出的观光车数量都为x辆．A租赁点每辆观光车的日租金p（元）与x的函数关系式为p＝﹣5x+b，且当p＝300元时，观光车可全部租出，B租赁点每辆观光车的日租金固定为350元，A，B两个租赁点一天的租金收入分别为y1（元），y2（元）． （1）求b的值，并分别写出y1，y2与x之间的函数解析式； （2）设A租赁点一天的租金收入比B租赁点多w元，求w的最大值； （3）为了让利租客，A租赁点决定，每租出一辆观光车返还给租客a（a＜200）元现金红包，这样A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元，求a的值． 七、（本题满分12分） 22.某服装店购进A、B两种款式的服装，已知购进3件A款服装和5件B款服装，需195元；购进4件A款服装和2件B款服装，需176元． （1）A、B两种款式的服装进货单价分别是多少？ （2）设A款服装的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当45≤x≤55时，A款服装的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 45 50 55 日销售量y（件） 30 20 10 请求出当45≤x≤55时，y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设A款服装的日销售利润为w元，当A款服装的销售单价x（单位：元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 八、（本题满分14分） 23.某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元）与年销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式． （2）设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值； （3）在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记作下一年的成本，决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（x＞8）．当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，直接写出x的取值范围 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.6 综合与实践 获取最大利润 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x）， 故选：C． 2.服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　） A．150元 B．160元 C．170元 D．180元 【解答】解：设获得的利润为y元，由题意得： y＝（x﹣100）（200﹣x） ＝﹣x2+300x﹣20000 ＝﹣（x﹣150）2+2500 ∵a＝﹣1＜0 ∴当x＝150时，y取得最大值2500元． 故选：A． 3.为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y（单位：℃）与时间t（单位：h）的函数关系满足y＝﹣t2+12t+2，当4≤t≤8时，该地区的最高温度是（　　） A．38℃ B．37℃ C．36℃ D．34℃ 【解答】解：∵y＝﹣t2+12t+2 ＝﹣（t2﹣12t+36）+38 ＝﹣（t﹣6）2+38， ∴当t＝6时，温度y有最大值，最大值为38℃． ∴当4≤t≤8时，该地区的最高温度是38℃． 故选：A． 4.某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现商家采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨0.5元，其销量就会减少10件，那么要使利润为640元，需将售价定为（　　） A．16元 B．12元 C．16元或12元 D．14元 【解答】解：设售价为x元，根据题意列方程得 （x﹣8）（20010）＝640， 整理得：x2﹣28x+192＝0， 解得x1＝12，x2＝16． 故将每件售价定为12或16元时，才能使每天利润为640元． 又题意要求采取提高商品售价减少进货量的办法增加利润， 故应将商品的售价定为16元． 故选：A． 5.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（　　） A．758元 B．1508元 C．1556元 D．1558元 【解答】解：将二次函数的一般是化为顶点式可得： y＝﹣2x2+80x+758＝﹣2（x﹣20）2+1558， ∴对称轴为直线x＝20，开口向下， ∴当x＜20时，y随x的增大而增大， ∵15≤x≤19， ∴x＝19时，y取最大值，此时y＝﹣2×（19﹣20）2+1558＝1556， 故选：C． 6.图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽为4m．如果水面宽度为6m，则水面下降（　　） A．3.5m B．3m C．2.5m D．2m 【解答】解：由题意可得，设抛物线解析式为：y＝ax2，且抛物线过（2，﹣2）点， 故﹣2＝a×22， 解得：a＝﹣0.5， ∴抛物线解析式为：y＝﹣0.5x2， 当水面宽度为6m时，即x＝3时， y＝﹣0.5×9＝﹣4.5， ∴水面下降﹣2﹣（﹣4.5）＝2.5（m）， 故选：C． 7.鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为y＝ax2+bx+c（a≠0），画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 ﹣3 … 关于此函数下列说法不正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．当x＝2时，该函数有最大值 C．当x＝0时，y＝﹣3 D．若在函数图象上有两点A（x1，﹣4），，则x1＞x2 【解答】解：由表中数据可知，y随x先增大后减小， ∴函数图象开口向下， 故A正确，不符合题意， ∵x＝1，y＝0；x＝3，y＝0， ∴对称轴为直线x2， ∵开口向下， ∴当x＝2时，该函数有最大值， 故B正确，不符合题意， ∵对称轴为x＝2，x＝4时，y＝﹣3， ∴x＝0时，y＝﹣3， 故C正确，不符合题意， 在函数图象上有两点A（x1，﹣4），， 当A，B都在对称轴左侧时，x1＜x2， 当A，B都在对称轴右侧时，x1＞x2， 当A在左侧，B在右侧时，x1＜x2， 当A在右侧，B在左侧时，x1＞x2， 故D不正确，符合题意， 故选：D． 8.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x，则下列结论： （1）柱子OA的高度为m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；（4）水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：当x＝0时，y，故柱子OA的高度为m；（1）正确； ∵y＝﹣x2+2x（x﹣1）2+2.25， ∴顶点是（1，2.25）， 故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故（2）正确，（3）错误； 解方程﹣x2+2x0， 得x1，x2， 故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确． 故选：C． 9.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t（0≤t≤4）．有下列结论： ①小球飞行中的高度可以是21m；②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度；③当1.5≤t≤3时，小球的飞行高度不低于15m．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20． ∴当t＝2时，h取得最大值为20，故①错误． 把t＝1代入h＝﹣5t2+20t得h＝﹣5×1+20＝15， 把t＝2.5代入h＝﹣5t2+20t得h＝﹣5×6.25+20×2.5＝18.75， ∵15＜18.75， ∴小球运动1s时的高度小于运动2.5s时的高度，故②正确； 又令h＝﹣5（t﹣2）2+20＝15， ∴t＝1或3． ∴小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到15m，故③正确． 综上，②③正确共1个． 故选：C． 10.某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元；③宾馆每天的最大利润为12250元．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：结论①：定价增加30元，即定价为220+30＝250元， 每增加10元，空闲房间数增加1个， 故增加30元对应空闲3个，居住房间数为50﹣3＝47个，故①结论正确； 结论②：设定价增加10x元，则定价为（220+10x）元，房间数为（50﹣x）个． ∴（220+10x﹣20）（50﹣x）＝12000， 经计算可得：x＝10或x＝20． 当x＝20时，对应定价为220+10x＝220+10×20＝420元（超过360元上限）， ∴x＝10，故②结论错误； 结论③：设利润为w，w＝（220+10x﹣20）（50﹣x）＝﹣10x2+300x+10000， ∵﹣10＜0， 由题意可得：对称轴为直线， ∵220+10x≤360， ∴x≤14， ∴当x＝14，w＝﹣10x2+300x+10000＝12240， 故③结论错误． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用60m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场的长为x m，当x＝　　 m时，养鸡场的面积最大． 【解答】解： 设养鸡场的长为x m，则宽为m，设养鸡场的面积为S， 根据题意可得S＝x（）x2+20x（x﹣30）2+300， ∵0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＝30时，S有最大值， 即当x＝30m时，养鸡场的面积最大， 故答案为：30． 12.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足y1＝﹣x2+10x、y2＝2x．若该公司在甲、乙两地共销售10辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为 　　 万元． 【解答】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（10﹣x）辆，总利润为w万元，根据题意得出： w＝y1+y2 ＝﹣x2+10x+2（10﹣x） ＝﹣x2+8x+20 ＝﹣（x﹣4）2+36， ∴当x＝4时，w取最大值，且最大值为36， ∴该公司在能获得的最大利润为36万元． 故答案为：36． 13.小伟同学用几何画板软件在电脑上绘制的y＝﹣x2﹣2x+3（﹣2＜x≤2）图象，关于该图象下列四个说法：①图象与坐标轴有两个交点；②图象存在最高点，其横坐标为﹣1；③图象最高点和最低点的距离等于；④直线y＝3与该图象有两个交点．正确的是　 　 ． 【解答】解：①令y＝0，由﹣x2﹣2x+3＝0得x1＝1，x2＝﹣3， ∵﹣2＜x≤2， ∴图象与x轴有一个交点，与y轴的交点为（0，3）， ∴故①正确，符合题意； ②由于y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，该图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵﹣2＜x≤2， ∴当x＝﹣1时，图象取得最大值，故②正确，符合题意； ③由②知，最高点坐标为（﹣1，4）； 当x＝2时，该图象取得最小值，此时最低点坐标为（2，﹣5）， ∴两点的距离等于，故③正确，符合题意； ④当y＝3时，由﹣x2﹣2x+3＝3解得x1＝0，x2＝﹣2，但x＝﹣2不在﹣2＜x≤2范围内， ∴直线y＝3与该图象有一个交点，故④错误，不符合题意， 故答案为：①②③． 14.已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+（m+1）2（m为常数）的顶点坐标为（h，k） （1）k关于h的函数解析式为 　 　 ． （2）若抛物线不经过第三象限，且在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为，则m＝　　 ． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+（m+1）2＝（x﹣m）2+2m+1， ∴h＝m，k＝2m+1， ∴k关于h的函数解析式为k＝2h+1， 故答案为：k＝2h+1； （2）令x＝0，则y＝（m+1）2， ∴抛物线与y轴的交点为（0，（m+1）2）． ∵（m+1）2≥0． ∵抛物线不经过第三象限，抛物线的开口方向向上， ∴Δ＝4m2﹣4（m+1）2≤0， ∴m． ①当m≤0时， ∵抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为x＝m， ∴在﹣2≤x≤2时，当x＝m时，函数取最小值为y＝m2﹣2m2+（m+1）2＝2m+1， 当x＝2时，函数取最大值为y＝4﹣4m+（m+1）2＝m2﹣2m+5， ∵二次函数最小值和最大值和为， ∴2m+1+m2﹣2m+5， 即：m2＝4 解得：m＝2或﹣2（不合题意，舍去）， ∴此种情况不存在； ②当0＜m＜2时， 在﹣2≤x≤2时，当x＝﹣2时，函数取最大值为y＝4+4m+（m+1）2＝m2+6m+5， 当x＝m时，函数取最小值为y＝2m+1， ∵二次函数最小值和最大值和为， ∴m2+6m+5+2m+1， 解得：m或m（不合题意，舍去）， ∴m． ③当m≥2时， 当x＝﹣2时，函数取最大值为y＝4+4m+（m+1）2＝m2+6m+5， 当x＝2时，函数取最大值为y＝4﹣4m+（m+1）2＝m2﹣2m+5， ∵二次函数最小值和最大值和为， ∴m2+6m+5+m2﹣2m+5， 解得：m（不合题意，舍去）， 综上，在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为，则m． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，用一段长为100m的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，墙长为15m．矩形AEGD与矩形BCGE的面积相等，矩形AEFH与矩形DGFH的面积相等．设AE长为x m，BC长为y m，矩形ABCD的面积为z m2． （1）直接写出y与x，z与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，z有最大值？最大值是多少？ 【解答】解：（1）∵矩形AEGD与矩形BCGE的面积相等， ∴AE＝BE＝DG＝GC＝HF， ∵矩形AEFH与矩形DGFH的面积相等， ∴AH＝HD＝EF＝FG， ∴y50x； z＝AB•BC＝2xy＝2x（50x）＝﹣5x2+100x； （2）z＝﹣5x2+100x＝﹣5（x﹣10）2+500， ∵0＜y≤15， ∴14≤x＜20， ∵﹣5＜0， ∴当x＝14时，z最大，最大值为420平方米； 16.某公司生产的某种商品每件成本为20元．经市场调查发现，获得以下信息：这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与t（天）之间存在一次函数关系m＝﹣2t+96，其中在前20天的销售中，每天的销售价格p（元/件）与时间t（天）满足函数关系式为p＝0.25t+25（0＜t≤20，且t为整数），在后20天每天的销售中，每天的销售价格q（元/件）与时间t（天）满足函数关系式为q＝﹣0.5t+40（20≤t≤40，且t为整数）．根据这些信息，解决以下有关问题： （1）直接写出前20天的日销售利润w1和后20天的日销售利润w2； （2）求前20天和后20天中各自在哪一天可以获得最大日销售利润，最大日销售利润分别是多少元？ 【解答】解：（1）根据题意得：w1＝（p﹣20）m＝（0.25t+25﹣20）（﹣2t+96）＝﹣0.5t2+14t+480（0＜t≤20）； w2＝（q﹣20）m＝（﹣0.5t+20）（﹣2t+96）＝t2﹣88t+1920（20≤t≤40）； （2）由（1）知，w1＝﹣0.5t2+14t+480＝﹣0.5（t﹣14）2+578， ∵﹣0.5＜0，0＜t≤20， ∴当t＝14时，w1最大，最大值为578； ∴在前20天中，第14天可以获得最大日销售利润，最大日销售利润为578元； ∵w2＝t2﹣88t+1920， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝44， ∵20≤t≤40， ∴当t＝20时，w2最大，最大值为560， ∴在后20天中，第20天可以获得最大日销售利润，最大日销售利润为560元； 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.某工厂加工某种型号芯片，成本价为20元/个．根据市场调查发现，销售量y（个）是关于销售单价提高x（元）的一次函数（x≥0，且x为整数），其关系如下表： 提高x元 单价（元/个） 销售量（个） 0 25 500 1 26 480 2 27 460 … … … x 25+x （1）求销售量y与x之间的函数关系式； （2）由于工厂生产规模受限，每日加工该种芯片不能少于340个且不能超过620个，每日加工的芯片全部售出，该芯片销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 【解答】解：（1）∵销售量y（件）是关于销价单价提高x（元）的一次函数， ∴可设 y＝kx+b． ∴． ∴． ∴y＝500﹣20x． （2）由题意，∵每日加工量限制为340≤y≤620，且y＝﹣20x+500， ∴0≤x≤8且x为整数． 又∵销售单价为（25+x）元， ∴单个利润为（25+x﹣20）＝（x+5）元． ∴总利润P＝（x+5）（﹣20x+500）＝﹣20x2+400x+2500＝﹣20（x﹣10）2+4500． ∵0≤x≤8且x为整数， ∴当x＝8时：销售单价为25+8＝33元，此时销售量为y＝﹣20×8+500＝340，总利润为P＝（8+5）×340＝4420元． 答：销售单价定为33元时，利润最大，最大利润为4420元． 18.一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 … 销售量y（千克） … 100 90 80 … （1）求y与x的函数关系式； （2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？ （3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？ 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 根据题意得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣x+150； （2）根据题意得 （﹣x+150）（x﹣20）＝4000， 解得x1＝70，x2＝100＞90（不合题意，舍去）． ∴该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元； （3）w与x的函数关系式为： w＝（﹣x+150）（x﹣20） ＝﹣x2+170x﹣3000 ＝﹣（x﹣85）2+4225， ∵﹣1＜0， ∴当x＝85时，w值最大，w最大值是4225． ∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.一种工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．设该工艺品每件降价x元，请回答下列问题： （1）用含x的代数式表示： ①降价后每售一件该工艺品获得利润 　 　 元； ②降价后平均每天售出 　 　 件该工艺品． （2）每天获得利润为W元，求每天获得的利润W与降价x元之间的函数关系式？要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？最大利润为多少元？ 【解答】解：（1）①∵该工艺品每件降价x元， ∴降价后每售一件该工艺品获得利润为135﹣100﹣x＝（35﹣x）元； ②降价后平均每天售出（100+4x）件工艺品， 故答案为：①（35﹣x）；②（100+4x）； （2）由题意得： W＝（35﹣x）（100+4x） ＝﹣4x2+40x+3500 ＝﹣4（x﹣5）2+3600， ∵﹣4＜0， ∴当x＝5时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元． ∴每天获得的利润W与降价x元之间的函数关系式为：W＝﹣4x2+40x+3500，要使每天获得的利润最大，每件需降价5元，最大利润为3600元． 20.请阅读下列材料： 在求代数式x2+2x+3的最小值时，三位同学分别提出了下面的解决方法： 甲同学：x2+2x+3＝x2+2x•1+12﹣12+3＝（x+1）2+2． ∵（x+1）2≥0 ∴当x＝﹣1时，x2+2x+3有最小值，最小值为2． 乙同学：设y＝x2+2x+3 ∴y是关于x的二次函数，对称轴是直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）+3＝2． ∵a＝1＞0， ∴x2+2x+3的最小值是2． 丙同学：设y＝x2+2x+3 ∴x2+2x+3﹣y＝0 ∵关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣y＝0有实数根， ∴△＝22﹣4×1×（3﹣y）＝4y﹣8≥0，解得y≥2， ∴x2+2x+3的最小值是2． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）x2﹣4x+1＝（x﹣h）2+k（其中h，k是常数），则h＝ 　　 ，k＝ 　 　 ； （2）已知关于x的多项式﹣x2+mx+9的最大值为10，求m的值； （3）某商店经销一种双肩包，通过市场调查发现，这种双肩包每天的销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x2+90x﹣1800（30≤x≤60），当这种双肩包的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）∵x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3＝（x﹣h）2+k， ∴h＝2，k＝﹣3． 故答案为：2，﹣3； （2）∵﹣x2+mx+9的最大值为10， ∴﹣x2+mx+9＝﹣（x﹣h）2+10， ∴h＝±1， ∴m＝±2； （3）∵y＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225（30≤x≤60）， 又∵a＝﹣1＜0， ∴当x＝45时，y有最大值，最大利润是225元． 六、（本题满分12分） 21.为了方便游客，某湿地公园开设了A，B两个观光车租赁点，每个租赁点均有观光车50辆，两个租赁点一天租出的观光车数量都为x辆．A租赁点每辆观光车的日租金p（元）与x的函数关系式为p＝﹣5x+b，且当p＝300元时，观光车可全部租出，B租赁点每辆观光车的日租金固定为350元，A，B两个租赁点一天的租金收入分别为y1（元），y2（元）． （1）求b的值，并分别写出y1，y2与x之间的函数解析式； （2）设A租赁点一天的租金收入比B租赁点多w元，求w的最大值； （3）为了让利租客，A租赁点决定，每租出一辆观光车返还给租客a（a＜200）元现金红包，这样A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元，求a的值． 【解答】解：（1）∵每个租赁点均有观光车50辆，p＝﹣5x+b，且当p＝300元时，观光车可全部租出， ∴300＝﹣5×50+b， 解得b＝550， ∴A租赁点每辆观光车的日租金p＝﹣5x+550， ∴y1＝px＝（﹣5x+550）x，即y1＝﹣5x2+550x，（0≤x≤50）， ∵B租赁点每辆观光车的日租金固定为350元， ∴y2＝350x，（0≤x≤50）； （2）由题意，得w＝y1﹣y2＝﹣5x2+550x﹣350x＝﹣5x2+200x＝﹣5（x﹣20）2+2000， ∵﹣5＜0， ∴当x＝20时，w最大，最大值为2000， 故当租出的观光车数量都为20辆时，w的最大值为2000元； （3）由题意，得每租出一辆观光车返还给租客a（a＜200）元现金红包后， A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多w'＝（﹣5x+550﹣a）x﹣350x＝﹣5（x﹣20+0.1a）2+5（20﹣0.1a）2， ∵﹣5＜0， ∴当x＝20﹣0.1a时，w'最大，最大值为5（20﹣0.1a）2， 又w'的最大值为980元， ∴5（20﹣0.1a）2＝980， 解得a＝60，或a＝340＞200（舍去）， 故a的值为60． 七、（本题满分12分） 22.某服装店购进A、B两种款式的服装，已知购进3件A款服装和5件B款服装，需195元；购进4件A款服装和2件B款服装，需176元． （1）A、B两种款式的服装进货单价分别是多少？ （2）设A款服装的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当45≤x≤55时，A款服装的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 45 50 55 日销售量y（件） 30 20 10 请求出当45≤x≤55时，y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设A款服装的日销售利润为w元，当A款服装的销售单价x（单位：元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设A、B两种款式的服装进货单价分别是a，b元， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两种款式的服装进货单价分别是35，18元； （2）设y＝kx+m， 把（45，30），（50，20）代入y＝kx+m中得： ， 解得：， ∴y＝﹣2x+120； （3）由题意得：w＝y（x﹣35） ＝（﹣2x+120）（x﹣35） ＝﹣2x2+190x﹣4200， ∵a＝﹣2，b＝190， ∴47.5， ∴当x＝47.5时，w最大＝（﹣2×47.5+120）×（47.5﹣35）＝312.5（元）， ∴当A款服装的销售单价x定为47.5时，日销售利润最大，最大利润是312.5元． 八、（本题满分14分） 23.某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元）与年销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式． （2）设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值； （3）在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记作下一年的成本，决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（x＞8）．当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，直接写出x的取值范围 　 　 ． 【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y， 将A（4，40）代入得，k＝4×40＝160， ∴y与x之间的函数关系式为y； 当8＜x≤28时，设y＝k'x+b， 将B（8，20），C（28，0）代入得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+28， 综上所述，y； （2）由（1）及题意得： w， 当4≤x≤8时，w， ∵﹣640＜0， ∴w随x的增大而增大， ∴故当x＝8时，w取得最大值为﹣80； 当8＜x≤28时，w＝﹣x2+32x﹣272＝﹣（x﹣16）2﹣16， ∵﹣1＜0，故函数有最大值， ∴当x＝16时，Smax＝﹣16； ∵﹣16＞﹣80， ∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元，此时亏损16万元； （3）由（2）及题意得：w＝（﹣x+28）（x﹣4）﹣16＝﹣x2+32x﹣128＝﹣（x﹣16）2+128， 当x＝8时，y＝64； 当x＝16时，y＝128； 当x＝28时，y＝16， 如图所示： 当w＝103时，则﹣x2+32x﹣128＝103， 解得x1＝11，x2＝21， 由函数图象和性质可知，当11≤x≤21时，w≥103， ∴x的取值范围为11≤x≤21， 答案为：11≤x≤21． 学科网（北京）股份有限公司 $$