专题一 数轴动点题（定值问题与最值问题） 暑假预习 讲义 2024-2025学年人教版数学七年级上册

专题一 数轴动点题（定值问题与最值问题） 一、定值问题 ( 典型例题 ) 【典型例题1】（2024秋•大冶市期末）【问题背景】数轴上A、B两点表示的数分别为a,b,则A、B两点之间的距离AB=|a-b|，线段AB的中点M表示的数为． 【情境应用】已知数轴上有A、B两点，点A、B表示的数分别为-3和1． （1）填空：线段AB两点之间的距离为 ，线段AB的中点M表示的数是 ； （2）若数轴上点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示 的点重合； 【情境拓展】在数轴上A点表示数-3，B点表示数1，C点表示数9，若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． （1）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （2）当点C在B点右侧时，是否存在常数m,使mBC-2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【典型例题2】（2024秋•广州期中）已知在数轴上，点A、B、C表示的数分别为a、b、c,其中a是最大的负整数，b2=1，|c|=5，且ab＜0，bc＞0． （1）填空：a= ，b= ，c= ； （2）若点P在数轴上对应的数为x,且点P在点A与点B之间，化简：|x+1|-3|x-1|-2|x-5|； （3）如果点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，用AB表示点A与点B之间的距离，用BC表示点B与点C之间的距离，试问：BC-AB的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． ( 巩固练习 ) 1.（2023秋•海珠区校级期中）若点A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b、c,其中b是最小的正整数，a、c满足|a+5|+（2-c）2=0，请回答问题： （1）请直接写出a、b、c的值； （2）在数轴上是否存在点P，使得PA+PB=PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由； （3）若点A、B、C同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过t（t＞1）秒后，是否存在常数m,使得AB-m•BC为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 2.（2024秋•儋州校级期中）如图，在数轴上A点表示数a,B点表示数b,C点表示数c,b的相反数是-1，且a、c满足|a+2|+（c-8）2=0． （1）a= ；b= ；c= ； （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，是否存在常数k,使kBC-2AB为定值，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 3.（2024秋•泸县期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|4|=|4-0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7-3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a,点B表示的数记为b,则A、B两点间的距离就可记作|a-b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示-3的点之间的距离的式子是 ；式子|a+5|的几何意义是 ． （2）根据绝对值的几何意义，当|x-2|=3时，x= ； （3）当表示x的点在-2与5之间移动时，|x-5|+|x+2|的值为一个固定的值是 ； （4）探究：|x+1|+|x-7|的最小值是 ； （5）|x+1|+|x-7|=12时x的值为 ． 4.（2024秋•官渡区校级期中）已知在数轴上A、B、C三点对应的数分别为-1、3、5，点P是数轴上任意一点，其对应的数为x. （1）若AP=BP，求x的值； （2）若点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，三点同时出发，设运动时间为t秒，试判断：在运动过程中，4BP-AP的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 5.已知点A，B，C在数轴上，点C表示的数为5，点A，B均在点C的左边，且AC=10，BC=3． （1）求点A，B在数轴上表示的数． （2）点P在数轴上表示的数为m. ①若AP=2BP，求m的值； ②若点P是线段BC上一点，是否存在有理数k,使得kPB-PC的值为定值，如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 二、最值问题 ( 典型例题 ) 【典型例题3】（2024秋•湛江校级期末）大家知道|5|=|5-0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6-3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两点的距离可表示为：|AB|=|a-b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和-1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|=2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x-4|的最小值及相应的x的取值范围． 【典型例题4】（2024秋•惠安县期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a,b,则A、B两点之间的距离可以表示为|a-b|． 请根据你的理解，回答下列问题： （1）用数学符号语言表示：a，b的大小关系； （2）若a，b异号，a＜b，且a+b＜0． ①试判断：a 0；（填“＜”、“＞”、“=”） ②把下面五个数：a，-a，b，-b，0按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来． （3）已知式子|a+2|+|a-1|表示数轴上有理数a所对应的点分别到数-2和1所对应的点的距离之和．若x为有理数，问式子|x+3|+|x-1|+|x-4|有最小值吗？若有，请写出它的最小值及此时x的值；若没有，请说明理由． ( 巩固练习 ) 6．我们知道：的几何意义可以理解为数轴上表示数a的点与原点之间的距离．请大家运用相关知识继续探索数轴上多个点之间的距离问题：    (1)数轴上的点A、点B分别是数、3对应的点，则点A与点B之间的距离为 ． (2)再选几个点试试，猜想：若点A、点B分别是数a、b对应的点，则点A与点B之间的距离为 ． (3)若数轴上的点A对应的数为a，且，则点A对应的数为 ． (4)继续利用绝对值的几何意义，探索的最小值是 ． (5)已知数x，y满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 7.（2024秋•崇川区校级期末）我们知道，|a|可以理解为|a-0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a,b表示，那么A，B两点之间的距离为|AB|=|a-b|，反过来，式子|a-b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么x为 ． （2）探索规律：①当|x-1|+|x-2|有最小值是 ． ②当|x-1|+|x-2|+|x-3|有最小值是 ． ③当|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值是 ． （3）规律应用工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ （4）知识迁移|x+4|-|x-5|最大值是 ，最小值是 ． 8.（2024秋•荔湾区校级期中）同学们都知道：数轴上表示x与a的两点之间的距离可以表示为|x-a|．例如|7-（-4）|表示7与-4之差的绝对值，实际上也可理解为7与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）若|x-3|=2，则x= ． （2）|x+1|+|x-3|表示数轴上有理数x所对应的点到-1和3所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+1|+|x-3|=4，这样的整数是 ． （3）请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+10|+|x+2|+|x-8|=18，这样的整数是 ． （4）继续探索：2|x-10|+3|x-2|+|x+8|是否有最小值？如果有，最小值是多少？此时x的取值是多少？如果没有，说明理由． （5）若动点A，B，C分别从数轴上表示-8，2，10的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位每秒，4个单位长度每秒，8个单位长度每秒．若点A，点O（O为数轴原点）中间的点为P，点O和点B中间的点为M，点O和点C中间的点为N，若k•PM-MN为常数，则k的值是多少？ 9.（2024秋•旌阳区校级月考）阅读以下材料，唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界的尺度，已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p,q,两点P，Q之间的距离表示为PQ=|p-q|，回答以下问题： （1）若点P表示的数为-1，点Q表示的数为3，则P、Q两点之间的距离PQ= ； （2）若数轴上表示x和-3的两点之间的距离是4，则：x= ； （3）当x的取值范围是 时，代数式|x+2|+|x-3|有最小值，最小值是 ； （4）结合数轴求出|x+2|+|x-1|+|x-3|的最小值为 ，此时x为 ； （5）请根据上面的规律求|x-1|+|x-2|+|x-3|+⋯+|x-2001|的最小值为 ． （2024秋•泗水县期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a,b,则A，B两点之间的距离AB=|a-b|，若a＞b,则可化简为AB=a-b.若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a,请你利用数轴解决以下问题： （1）若点P与表示有理数-2的点的距离是3个单位长度，则a的值为 ； （2）若数轴上点P位于表示-5的点与表示2的点之间，则|a-2|+|a+5|= ； （3）若数轴上比a小2的数用b表示，比a大5的数用c表示，则|b-2|+|c+5|的最小值为 ． 参考答案 一、定值问题 ( 典型例题 ) 【典型例题1】（2024秋•大冶市期末）【问题背景】数轴上A、B两点表示的数分别为a,b,则A、B两点之间的距离AB=|a-b|，线段AB的中点M表示的数为． 【情境应用】已知数轴上有A、B两点，点A、B表示的数分别为-3和1． （1）填空：线段AB两点之间的距离为 ，线段AB的中点M表示的数是 ； （2）若数轴上点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示 的点重合； 【情境拓展】在数轴上A点表示数-3，B点表示数1，C点表示数9，若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． （1）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （2）当点C在B点右侧时，是否存在常数m,使mBC-2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． [情境应用]（1）AB=|a-b|=|（-3）-1|=4， 线段AB的中点M表示的数=， 故答案为：4，-1； （2）∵点C表示的数是9，将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴折痕为AC中点，表示的数为：， ∴B点与折痕距离=|1-3|=2， ∴与点B的点表示的数=3+2=5， 故答案为：5； [情境拓展]（1）t秒时，A点所在的数为：-3-2t，B点所在的数为：1-t，C点所在的数为：9-4t, 当B点为AC的中点时，即， ∴t=1， 当C点为AB的中点时，即， ∴t=4， 当A点为BC的中点时，即， ∴t=16， ∴t=1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点； （2）假设存在，则BC=9-4t-（1-t）=8-3t, 由条件可知4+t＞0， ∴AB=|4+t|=4+t, ∴mBC-2AB=8m-8-（3m+2）t, 当3m+2=0，即时，， ∴存在常数m,使mBC-2AB的值为定值，． 【典型例题2】（2024秋•广州期中）已知在数轴上，点A、B、C表示的数分别为a、b、c,其中a是最大的负整数，b2=1，|c|=5，且ab＜0，bc＞0． （1）填空：a= ，b= ，c= ； （2）若点P在数轴上对应的数为x,且点P在点A与点B之间，化简：|x+1|-3|x-1|-2|x-5|； （3）如果点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，用AB表示点A与点B之间的距离，用BC表示点B与点C之间的距离，试问：BC-AB的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）∵a是最大的负整数， ∴a=-1， ∵ab＜0， ∴b＞0 ∵bc＞0， ∴c＞0， ∵b2=1，|c|=5， ∴b=1，c=5； 故答案为：-1，1，5； （2）∵点P在点A与点B之间， ∴-1≤x≤1， 当-1≤x≤1时，x+1≥0，x-1≤0，x-5＜0， ∴|x+1|-3|x-1|-2|x-5|=x+1-3（1-x）-2（5-x）=x+1-3+3x-10+2x=6x-12； （3）不变， 理由如下：由题意可得，t秒时，点A对应的数为-1-t,点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5， ∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4， AB=（2t+1）-（-1-t）=3t+2， ∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2， 即BC-AB值的为定值2． ( 巩固练习 ) 1．若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： (1)请直接写出的值； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． （1）解：， ，， ，, 是最小的正整数, ． （2）解：设点表示的数为， ， ①在之间， ， ， ； ②在左边， ， ， ； ③在之间， ， ， （舍去）； ④在的右边， ， ， （舍去）； 综上所述，或 点对应的数为：或； （3）解：存在， 运动时间为 ， 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当，即时， ， ， ， 为定值， ， ， ； ②当时， ， ， ， 为定值， ， ， ； 综上所述，存在常数，使得为定值；当时，为定值；当时，为定值． 2.（2024秋•儋州校级期中）如图，在数轴上A点表示数a,B点表示数b,C点表示数c,b的相反数是-1，且a、c满足|a+2|+（c-8）2=0． （1）a= ；b= ；c= ； （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，是否存在常数k,使kBC-2AB为定值，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵|a+2|≥0，（c-8）2≥0，|a-2|+（c-8）2=0， ∴a=-2，c=8， ∵b的相反数为-1， ∴b=1， 故答案为：-2，1，8； （2）存在，k=3 ∵点A表示的数是-2，向左的速度为每秒1个单位长度，点B表示的数是1，向右的速度为每秒2个单位长度，点C表示的数是8，向右的速度为每秒4个单位长度， 设运动时间为t秒， ∴点A表示的数为-2-t, 点B表示的数为1+2t, 点C表示的数为8+4t, ∴AB=1+2t-（-2-t）=3t+3， BC=8+4t-（1+2t）=2t+7， ∴kBC-2AB=k（2t+7）-2（3t+3）=（2k-6）t+7k-6 ∵kBC-2AB为定值， ∴kBC-2AB的值与t无关， ∴2k-6=0， ∴k=3． 3.（2024秋•泸县期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|4|=|4-0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7-3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a,点B表示的数记为b,则A、B两点间的距离就可记作|a-b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示-3的点之间的距离的式子是 ；式子|a+5|的几何意义是 ． （2）根据绝对值的几何意义，当|x-2|=3时，x= ； （3）当表示x的点在-2与5之间移动时，|x-5|+|x+2|的值为一个固定的值是 ； （4）探究：|x+1|+|x-7|的最小值是 ； （5）|x+1|+|x-7|=12时x的值为 ． 解：（1）数轴上表示2的点与表示-3的点之间的距离是|2-（-3）|， 式子|a+5|的几何意义是数轴上表示a的点与表示-5的点之间的距离， 故答案为：|2-（-3）|，数轴上表示a的点与表示-5的点之间的距离； （2）|x-2|=3表示数轴上表示x的点与2的点之间的距离是3， ∴x=5或x=-1， 故答案为：5或-1； （3）∵表示x的点在-2和5之间，且-2和5之间的距离是|5-（-2）|=|5+2|=7， ∴所以表示x的点到-2和5的距离之和是7， 故答案为：7； （4）|x+1|+|x-7|表示数轴上表示x的点到-1和7之间的距离和， 当表示x的点在-1和7之间的距离和最小时，|7-（-1）|=|7+1|=8， 所以|x+1|+|x-7|的最小值为8， 故答案为：8； （5）∵|x+1|+|x-7|=12， 当x＜-1时，-x-1-x+7=12， ∴x=-3； 当-1≤x≤7，|x+1|+|x-7|=12， 无解； 当x＞7时，x+1+x-7=12， ∴x=9， 故答案为：-3或9． 4.（2024秋•官渡区校级期中）已知在数轴上A、B、C三点对应的数分别为-1、3、5，点P是数轴上任意一点，其对应的数为x. （1）若AP=BP，求x的值； （2）若点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，三点同时出发，设运动时间为t秒，试判断：在运动过程中，4BP-AP的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 解：（1）由AP=BP可知，点P在A、B之间，则AP=x+1，BP=3-x, ∴x+1=3-x, 解得：x=1， ∴x的值为1； （2）4BP-AP的值不会随着t的变化而变化， 理由如下：∵点P表示的数为5+3t, 点B表示的数为3+2t, 点A表示的数为-1-t, ∴BP=2+t,AP=6+4t, ∴4BP-AP=4（2+t）-（6+4t）=2， ∴4BP-AP的值不会随t的变化而变化，定值为2． 5.已知点A，B，C在数轴上，点C表示的数为5，点A，B均在点C的左边，且AC=10，BC=3． （1）求点A，B在数轴上表示的数． （2）点P在数轴上表示的数为m. ①若AP=2BP，求m的值； ②若点P是线段BC上一点，是否存在有理数k,使得kPB-PC的值为定值，如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 解：（1）设点A，B在数轴上表示的数分别为a,b, ∵点C表示的数为5，AC=10，BC=3，点A，B均在点C的左边， ∴5-a=10，5-b=3， 解得a=-5，b=2， ∴点A在数轴上表示的数为-5，点B在数轴上表示的数为2； （2）①由（1）可知，点A在数轴上表示的数为-5，点B在数轴上表示的数为2， ∵AP=2BP， ∴点P在点A的右边， ∴AP=m-（-5）=m+5， 当点P在点B的左边时， ∵点P在数轴上表示的数为m, ∴BP=2-m, ∵AP=2BP， ∴m+5=2（2-m）， 解得m=； 当点P在点B的右边时， ∵点P在数轴上表示的数为m, ∴BP=m-2， ∵AP=2BP， ∴m+5=2（m-2）， 解得m=9； 综上所述，m的值为9或； ②答：存在k,使得kPB-PC的值为定值． 理由：∵点P是线段BC上一点， ∴PB=m-2，PC=5-m, ∴kPB-PC=k（m-2）-（5-m）=km-2k+m-5=（k+1）m-2k-5， ∴当 k+1=0即k=-1时，kPB-PC=-2×（-1）-5=-3为定值， ∴当k=-1时，kPB-PC的值为定值，值为-3． 二、最值问题 ( 典型例题 ) 【典型例题3】（2024秋•湛江校级期末）大家知道|5|=|5-0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6-3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两点的距离可表示为：|AB|=|a-b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和-1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|=2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x-4|的最小值及相应的x的取值范围． 解：根据分析，可得（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5-2|=3； 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是：|（-2）-（-5）|=|-2+5|=|3|=3． （2）①|AB|=|x-（-1）|=|x+1|． ②如果|AB|=2， 则|x+1|=2， x+1=2或x+1=-2， 解得x=1或x=-3． （3）∵代数式|x+1|+|x-4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和-1所对应的两点距离之和， ∴当-1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x-4|的最小值是：|4-（-1）|=5， 即代数式|x+1|+|x-4|的最小值是5，x的取值范围是-1≤x≤4． 故答案为：5，-1≤x≤4． 【典型例题4】（2024秋•惠安县期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a,b,则A、B两点之间的距离可以表示为|a-b|． 请根据你的理解，回答下列问题： （1）用数学符号语言表示：a，b的大小关系； （2）若a，b异号，a＜b，且a+b＜0． ①试判断：a 0；（填“＜”、“＞”、“=”） ②把下面五个数：a，-a，b，-b，0按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来． （3）已知式子|a+2|+|a-1|表示数轴上有理数a所对应的点分别到数-2和1所对应的点的距离之和．若x为有理数，问式子|x+3|+|x-1|+|x-4|有最小值吗？若有，请写出它的最小值及此时x的值；若没有，请说明理由． 解：（1）若a＞0，b＞0且|a|＞|b|，则a＞b, 若a＞0，b＞0且|a|＜|b|，则a＜b, 若a＜0，b＜0且|a|＞|b|，则a＜b, 若a＜0，b＜0且|a|＜|b|，则a＞b, 若a＜0，b＞0，则a＜b, 若a＞0，b＜0，则a＞b. （2）①若a,b异号，a＜b,且a+b＜0，则a＜0． 故答案为：＜． ②数轴见下图： a＜-b＜0＜b＜-a. （3）∵-3＜1＜4， ∴当x=1时，有最小值为4-（-3）=7． ( 巩固练习 ) 6．我们知道：的几何意义可以理解为数轴上表示数a的点与原点之间的距离．请大家运用相关知识继续探索数轴上多个点之间的距离问题：    (1)数轴上的点A、点B分别是数、3对应的点，则点A与点B之间的距离为 ． (2)再选几个点试试，猜想：若点A、点B分别是数a、b对应的点，则点A与点B之间的距离为 ． (3)若数轴上的点A对应的数为a，且，则点A对应的数为 ． (4)继续利用绝对值的几何意义，探索的最小值是 ． (5)已知数x，y满足，则的最小值是 ，最大值是 ． （1）解：点A、点B间的距离； 故答案为：4； （2）解：若点A、点B分别是有理数a、b对应的点， 则点A、点B间的距离为； 故答案为：； （3）解：理解为表示点A到2对应点和对应的点的距离之和为12，而与2对应的点表示的距离为3， 则点A对应的实数为或； 故答案为：或； （4）解：表示的几何意义：数轴上点x与12的距离与点x与距离的和， 则最小值是； 故答案为：17； （5）解：原式变形为：， 所以要使等式满足，可得：， 所以的最小值是，最大值是． 故答案为：，11． 7.（2024秋•崇川区校级期末）我们知道，|a|可以理解为|a-0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a,b表示，那么A，B两点之间的距离为|AB|=|a-b|，反过来，式子|a-b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么x为 ． （2）探索规律：①当|x-1|+|x-2|有最小值是 ． ②当|x-1|+|x-2|+|x-3|有最小值是 ． ③当|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值是 ． （3）规律应用工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ （4）知识迁移|x+4|-|x-5|最大值是 ，最小值是 ． 解：（1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|2-5|=3； 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是：|1-（-3）|=4， 故答案为：3；4． ②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是：|x-（-1）|=|x+1|， 当|AB|=2，则|x+1|=2， ∴x+1=2或x+1=-2， 由x+1=2解得：x=1， 由x+1=-2解得：x=-3， ∴x的值为：1或-3， 故答案为：|x+1|；1或-3． （2）①∵|x-1|的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离； |x-2|的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴|x-1|+|x-2|的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数x、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数x的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，|x-1|+|x-2|为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为|2-1|=1，即|x-1|+|x-2|有最小值是1． 故答案为：1． ②∵|x-1|+|x-2|+|x-3|的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离、数轴上表示数x、2两点间的距离、数轴上表示数x、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知：当数轴上表示数x的点与表示2的点重合时，|x-1|+|x-2|+|x-3|为最小， 最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为|3-1|=2， 即|x-1|+|x-2|+|x-3|有最小值是2， 故答案为：2； ③∵|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的几何意义是： 在数轴上表示数x、1两点间的距离、数轴上表示数x、2两点间的距离、数轴上表示数x、3两点间的距离、数轴上表示数x、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知：当表示数x的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的值为最小值， 最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和， 即为|4-1|+|2-1|=4， 即|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值是4． 故答案为：4． （3）由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：2×8+2×6+2×4+2×2=40（米）． （4）∵|x+4|-|x-5|表示的几何意义是： 在数轴上表示数x、-4两点间的距离与数轴上表示数x、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数x的点在表示数-4点的左侧时， 即x＜-4，则x+4＜0，x-5＜0， ∴|x+4|=-x-4，|x-5|=5-x, ∴|x+4|-|x-5|=-x-4-（5-x）=-9； ②当在数轴上表示数x的点在表示数-4，5两点之间时， 即-4≤x≤5，则x+4＞0，x-5＜0， ∴|x+4|=x+4，|x-5|=5-x, ∴|x+4|-|x-5|=x+4-（5-x）=2x-1， ③当在数轴上表示数x的点在表示数-4点的右侧时， 即x＞5，则x+4＞0，x-5＞0， ∴|x+4|=x+4，|x-5|=x-5， ∴|x+4|-|x-5|=x+4-（x-5）=9， ∴-9≤|x+4|-|x-5|≤9， ∴|x+4|-|x-5|的最大值是9（x≥5），|x+4|-|x-5|的最小值是-9（x≤-4）． 故答案为：9；-9． 8.（2024秋•荔湾区校级期中）同学们都知道：数轴上表示x与a的两点之间的距离可以表示为|x-a|．例如|7-（-4）|表示7与-4之差的绝对值，实际上也可理解为7与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）若|x-3|=2，则x= ． （2）|x+1|+|x-3|表示数轴上有理数x所对应的点到-1和3所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+1|+|x-3|=4，这样的整数是 ． （3）请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+10|+|x+2|+|x-8|=18，这样的整数是 ． （4）继续探索：2|x-10|+3|x-2|+|x+8|是否有最小值？如果有，最小值是多少？此时x的取值是多少？如果没有，说明理由． （5）若动点A，B，C分别从数轴上表示-8，2，10的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位每秒，4个单位长度每秒，8个单位长度每秒．若点A，点O（O为数轴原点）中间的点为P，点O和点B中间的点为M，点O和点C中间的点为N，若k•PM-MN为常数，则k的值是多少？ 解：（1）由|x-3|=2可分： 当x-3=2时，则有x=5； 当x-3=-2时，则有x=1； 故答案为：1或5； （2）如图， 当x对应的数在-1与3之间（包含-1与3）， 即-1≤x≤3时，|x+1|+|x-3|=AB+BC=x+1+3-x=4， ∴这样的整数有-1、0、1、2、3， 当x对应的数在-1的左边或3右边时，显然|x-3|＞4或|x+1|＞4， 此时|x+1|+|x-3|＞4不合题意． 故答案为：-1、0、1、2、3； （3）∵|x+10|+|x-8|表示数轴上有理数x所对应的点到-10和8所对应的点的距离之和，如图， 当x对应的数在-10与8之间（包含-10与8）， 即-10≤x≤8时，|x+10|+|x-8|=AB+BC=x+10+8-x=18， 当x对应的数在-10的左边或8右边时，显然|x-8|＞18或|x+10|＞18， ∴此时|x+10|+|x-8|＞18， 综上所述：|x+10|+|x-8|的最小值是18， 当且仅当-10≤x≤8时，取最小值18， 又∵|x+2|≥0，当且仅当x=-2时，取最小值0， ∴当且仅当x=-2时，|x+10|+|x+2|+|x-8|取最小值18； 故答案为：-2； （4）同理可得：|x-10|+|x-2|的最小值是8， 当且仅当2≤x≤10时取最小值8， |x-10|+|x+8|的最小值是18， 当且仅当-8≤x≤10时取最小值18， |x-2|≥0，当且仅当x=2时，取最小值0， ∴当且仅当x=2时， （2|x-10|+3|x-2|+|x+8|）min=（|x-10|+|x-2|）+（|x-10|+|x+8|）+2|x-2|=8+18+2×0=26； （5）设时间为t,则点A可表示-8+2t,点B可表示2+4t,点C可表示10+8t, ∴OA的中点P为， OB的中点M为， OC的中点N为， 由条件可知P在M的左边，M在N的左边， ∴PM=5+t，MN=4+2t， ∴k•PM-MN=k（5+t）-（4+2t）=5k+kt-4-2t=5k+（k-2）t-4， ∴k-2=0， ∴k=2． 9.（2024秋•旌阳区校级月考）阅读以下材料，唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界的尺度，已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p,q,两点P，Q之间的距离表示为PQ=|p-q|，回答以下问题： （1）若点P表示的数为-1，点Q表示的数为3，则P、Q两点之间的距离PQ= ； （2）若数轴上表示x和-3的两点之间的距离是4，则：x= ； （3）当x的取值范围是 时，代数式|x+2|+|x-3|有最小值，最小值是 ； （4）结合数轴求出|x+2|+|x-1|+|x-3|的最小值为 ，此时x为 ； （5）请根据上面的规律求|x-1|+|x-2|+|x-3|+⋯+|x-2001|的最小值为 ． 解：（1）PQ=|3-（-1）|=4； 故答案为：4； （2）由题意，x=-3-4=-7或x=-3+4=1； 故答案为：-7或1； （3）∵|x+2|+|x-3|表示数轴上数x到数-2，3之间的距离之和， ∴当-2≤x≤3时，|x+2|+|x-3|最小值为：3-（-2）=5； 故答案为：-2≤x≤3；5； （4）当x=1时，|x+2|+|x-1|+|x-3|的最小值为3-（-2）=5； 故答案为：5，1； （5）当时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+⋯+|x-2001|的值最小，为：2（1+2+3+…+1000）=2××（1+1000）×1000=1001000． （2024秋•泗水县期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a,b,则A，B两点之间的距离AB=|a-b|，若a＞b,则可化简为AB=a-b.若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a,请你利用数轴解决以下问题： （1）若点P与表示有理数-2的点的距离是3个单位长度，则a的值为 ； （2）若数轴上点P位于表示-5的点与表示2的点之间，则|a-2|+|a+5|= ； （3）若数轴上比a小2的数用b表示，比a大5的数用c表示，则|b-2|+|c+5|的最小值为 ． 解：（1）由题意可得：|a-（-2）|=3， ∴a+2=3或a+2=-3， a=1或a=-5， 故答案为：1或-5； （2）∵|a-2|+|a+5|表示点P到2和-5的距离和， ∴|-5-2|=7， ∴|a-2|+|a+5|=7， 故答案为：7； （3）∵数轴上比a小2的数用b表示， ∴b=a-2， ∵比a大5的数用c表示， ∴c=a+5， ∴|b-2|+|c+5|=|a-4|+|a+10|， ∵|a-4|+|a+10|表示数轴上表示数a的点到表示数-10与4的点的距离之和， 当-10≤a≤4时，|a-4|+|a+10|有最小值14， 故答案为：14． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$