1.1集合的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 §1.1集合的概念 The concept of collections 课时目标 1. 通过具体实例，抽象出集合的概念，能说出集合与元素的含义及理解元素与集合的“属于”关系； 2. 通过具体情境概括分析集合的三个特征并能解决简单问题，能说出常用数集的专用符号； 3. 通过对具体数学的探讨，能说出列举法和描述法的含义，对不同的问题可以分辨选择适当的方法表示集合。 问题引入 通过大家讨论我们达成共识：方程 在有理数范围内无解，但在实数范围内有解．在二维平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在三维空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面．因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础. 结合以往学习的知识，你认为集合是什么？ 集合的概念 看下面几个例子，观察并讨论他们的研究对象和研究范围，有什么共同特征？ 结合上述例子，你能否从具体的实例中抽象出集合的概念？ 提示　以上例子中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等. 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为 .元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； 2.集合：把一些元素组成的总体叫做 (简称为 ).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 集合 元素 集 知识梳理 元素特征 情境1：高一二班较高的学生能构成一个集合吗？ 确定性 元素和集合之间的关系 知识点　 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A的元素 _____ a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 _____ a不属于集合A a∈A a∉A 元素特征 情境2：高一二班会存在两个相同的同学吗？ 情境3：高一二班的同学们在期中考试后重新换了位置，构成的集合和原来高一六班同学们构成的集合相同吗？ 无序性 互异性 集合间的相等关系：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 做一做 (1)下列说法中正确的是 A.与定点A，B等距离的点不能构成集合 B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C.一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c 是△ABC 的三边长，则 △ABC不可能是等腰三角形 D.高中学生中的游泳能手可以构成集合 做一做 (2)设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝___. 由题意知 a＋b＝0，所以 ＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋2b＝1. 1 反思感悟 (1)判断一组对象能构成集合的条件 ①能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素； ②任何两个对象都是不同的； ③对元素出现的顺序没有要求. (2)判断两个集合相等的注意点 若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等. 你知道数学中一些常用的数集吗？ 常用数集 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ___ ________ ___ ___ ___ N N*或N＋ Z Q R 做一做 用符号“∈”或 “∉”填空 0 ______ N -3______ N 0.5______ Z ______ Z ______Q ______R ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ 从上面的例子看到，我们可以用文字语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？ 集合表示 例：用 A 表示“小于10的所有自然数”组成的集合，还可以用什么方式表示集合呢？ 一 一 列举 列举法 列举法 注意：(1)元素间用“，”隔开． (2)集合中的元素是确定的，元素不重复，且无顺序． (3)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可． (4)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5…}． (5)这里集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． 列举法 用列举法表示集合： （1）大于1且小于6的整数； （2）方程 所有实数根组成的集合. 反思感悟 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 集合表示 问题2　你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？ 提示　不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x－7<3的解集无法用列举法表示． 追问：当集合中元素个数有无数个或者难以一一列举时，我们如何表示呢？ 我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}． 描述法 追问：当集合中元素个数有无数个或者难以一一列举时，我们如何表示呢？ 一般地，设A 是一个集合，我们把集合A 中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法． {x∈A|P(x)} 描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法． {x∈A|P(x)} 注意：(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N＋”不符合要求，应将“m∈N＋”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N＋}． 描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法． {x∈A|P(x)} 注意：(4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． (5)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1或x>1}． (6)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的，因为“{　}”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思，此处是初学者容易犯的错误，要注意领会． 做一做 描述法 整数集Z可以分为奇数集和偶数集．我们如何用描述法表示奇数集？ 你能用这样的方法表示偶数集吗？ 反思感悟 (1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型，一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素． (2)若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 做一做 　　 试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A； (2)由小于8的所有自然数组成的集合B. 做一做 　　 试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A； (2)由小于8的所有自然数组成的集合B. 解：⑴代表元素各不相同，它们是互不相同的集合。 知识梳理 二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开、如{(2,3)，(5，-1)}. 思考 用自然语言、列举法和描述法表示集合各自的特点。 自然语言：最基本的语言形式，适用性广，但有时难以表达。 列举法：直观明了，适用于在元素较少或者元素较多但有显著规律的情况下。 描述法：能清晰表达集合元素的共同特征。 课堂小结 ⑴你能说出集合中元素的基本性质吗？ ⑵你能举例说明用自然语言、列举法和描述法表示集合时的各自的特点吗？ ⑶你能说出列举法和描述法表示集合时它们各自的适用条件？ 学后反思 THANK YOU 谢谢大家 $$