第一章 空间向量与立体几何（能力提升卷）2025-2026学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，若，则实数的值为（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据坐标运算求出的坐标，然后利用向量垂直的坐标运算公式直接求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为， 所以， 解得. 故选：D 2．（24-25高二上·福建南平·期末）三棱锥中，点在棱上，且，则为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加减运算及数乘运算求解即可． 【详解】由题得： = = = 故选D 【点睛】本题主要考查了空间向量的加减运算，数乘运算，属于基础题． 3．（2025高三·全国·专题练习）空间中到正方体棱，，所在的直线距离相等的点有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，连接，并在上任取一点，设，其中，作平面，垂足为，再作，垂足为，即可得到点到直线的距离，同理得到点到直线的距离，即可判断. 【详解】在正方体上建立如图所示空间直角坐标系， 并设该正方体的棱长为1，连接，并在上任取一点， 因为，所以设，其中. 作平面，垂足为，再作，垂足为， 则是点到直线的距离，所以; 同理点到直线的距离也是. 所以上任一点与正方体的三条棱、所在直线的距离都相等， 所以与正方体的三条棱所在直线的距离相等的点有无数个. 故选：D. 4．（24-25高二下·安徽·期末）直角梯形中，是边的中点，将三角形沿折叠到位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系求解即可 【详解】建如图所示空间直角坐标系，得，，所以，所以. 故选：D 5．（24-25高二上·河南信阳·期中）如图，在直三棱柱中，，，，M为AB的中点.则A1到平面的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，用空间向量法求点到平面的距离． 【详解】如图，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，M(1,1,0). 则有，， 设平面的法向量为， 则 即 令，得平面的一个法向量为，又， 所以A1到平面的距离. 故选：D. 6．（24-25高一·全国·课后作业）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB，BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1上运动，异面直线BP与B1C所成的角为θ，则θ的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，根据二次函数求范围可得． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， 则， 设，则， 所以， 令，则 所以，即 因为 所以 故选：C． 7．（24-25高二上·贵州·阶段练习）定义:与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是:分别连接两异面直线上两点，正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，根据向量共线得出坐标，再根据向量垂直得到具体数值，最后求出模长即可. 【详解】 解:以A为原点，，所在直线分别为x轴，y轴，轴，如图所示: ， ， ， ， ， 设，， 所以 ∵是异面直线与的公垂线段， ∴，解得， ∴，． 故选:C． 8．（24-25高二上·四川眉山·期末）正方体的棱长为3，点E，F分别在棱上，且，，下列几个命题： ①异面直线与垂直； ②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形； ③三棱锥的体积为 ④过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为． 其中真命题的序号为（    ） A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】对于①：取的三等分点为，使，利用已知条件找到异面直线， 所成的角，即可得出结果； 对于②：取 的三等分点为，使，利用已知条件得到四边形 即为所求截面，即可得出结论； 对于③：利用等体积法求解即可； 对于④：取 的三等分点为，使，取 的三等分点为，使， 猜想出面 即为所求的截面，建立空间坐标证明推测，代入数值即可求出结论． 【详解】解：对于①：取的三等分点为，使，又， 且， 四边形为平行四边形， 且， 四边形 为平行四边形， ， 则 为异面直线， 所成的角， 连接，由题意得：， 所以， 故①正确； 对于②：取 的三等分点为，使，又， 且， 四边形 为平行四边形， 则 且， 又由①得： 且， 于是且， 四边形 为平行四边形， ， 取的中点为，连接， 又， ， 则四边形 即为所求截面， 由题意知：， 则②不正确； 对于③：， 又面，， 所以， 故③正确； 对于④：取 的三等分点为，使，取 的三等分点为，使， ， 则面 即为所求的截面， 建立如图所示的空间坐标系，    则，0，，，3，，，3，，，0，，，1，， ，，， 所以面， 由已知条件得： ， 等腰梯形 的高为： ， 所以截面面积为：， 故④正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查异面直线所成角以及线线平行问题，还考查了等体积法求四棱锥的体积以及利用空间向量解决线面垂直问题； 问题的关键是截面不容易找． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知空间中三点，，，则（    ） A． B．方向上的单位向量坐标是 C．是平面ABC的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 【答案】BC 【分析】对于A：求出的坐标，进而可求模；对于B：根据求单位向量；对于C：通过计算来判断；对于D：通过计算来判断. 【详解】对于A：，则，A错误； 对于B：方向上的单位向量坐标是，B正确； 对于C：，， 又与不平行，故是平面ABC的一个法向量，C正确； 对于D：在上的投影向量的模为，D错误. 故选：BC. 10．（24-25高二·全国·课后作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与AC所成角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可． 【详解】解：对于A， ， 所以，选项A错误； 对于B： ， 所以，即，选项B正确； 对于C：向量 与 的夹角是，所以向量 与的夹角也是，选项C错误； 对于D：， 得， ， 同理，可得 ， 所以，所以选项D错误． 故选：ACD． 11．（24-25高二下·山西运城·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，， ，，为的中点，则下列各选项正确的是（    ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】AD 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出各点坐标，可以证明，可以判断A正确； 利用线线角公式可以判断B错误；利用线面角公式可以判断C错误；利用点到平面距离公式可以判断D正确；. 【详解】 如图，过作，则， 所以四边形为矩形， 则， 由题意可知两两垂直， 则以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 则，即，故A正确； ， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故B错误； 设直线与平面所成角为，平面的法向量为， ， 则，即， 令可得， ， 所以， 即直线与平面所成角的余弦值为，故C错误； 点到平面的距离为 ，故D正确； 故选：AD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据空间向量线性运算，得，，再计算. 【详解】 正四面体的棱长为1， ， 又点是的中点，， 又， . 故答案为：. 13．（24-25高二上·天津和平·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长为 . 【答案】 【分析】由，结合数量积向量运算即可求 【详解】由题，，则 ，故. 故答案为： 14．（24-25高二上·山西太原·期末）如图，在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，，点在上，且，则与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面的正弦值. 【详解】平面，为等腰直角三角形，，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则、、、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， ，. 因此，与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·湖北·期中）已知空间三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)若向量与共线，求实数的值. 【答案】(1)或2 (2)或1 【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的方程，解之即可； （2）求出向量与的坐标，设，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】（1）由已知可得，， 所以，，， 由题意可知， 即，解得或2. （2），， 由题意，设，所以，解得或. 因此，或1. 16．（24-25高二上·山西临汾·期末）如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，是棱上一点，且. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)2 (2). 【分析】 （1）利用面面垂直得出线面垂直，建立坐标系，利用空间向量求解点到直线的距离； （2）分别求解平面与平面的法向量，利用法向量求解两平面的夹角. 【详解】（1）取的中点，连接，并过点作的平行线，交于， 则. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以. 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 则， 直线的一个单位方向向量为， 点到直线的距离. （2）， 设平面的法向量为， 则令， 设平面的法向量为， 则令， 设平面与平面的夹角为，则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）在长方体中，是上靠近点的三等分点.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的一个法向量； (2)在平面上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）写出三点坐标，再利用法向量定义即可求得结果； （2）假设存在点满足题意，利用垂直关系的向量表示可得答案. 【详解】（1）由题得， 则， 设平面的法向量为，则; 令，则，则平面的一个法向量为. （2）由题意得， 则， 设，则. 因为平面，所以为平面的一个法向量， 则，解得 所以存在点，使得平面. 18．（24-25高二上·山东泰安·期中）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为. (1)若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD； (2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点E，E为AS上靠近A点的三等分点 【分析】（1）以点P为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用两个平面法向量相同证得平行； （2）设，向量法表示已知条件中两平面夹角的余弦值，求解即可. 【详解】（1）在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是， 又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD， 平面ABCD，是四棱锥的高， 设，则，矩形的面积， ，， 如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，. 同理可得平面SCD的一个法向量为. ，平面平面SCD. （2）存在. 设， 则，， 设平面PEB的一个法向量为， 则， 令，则，， ， 易知平面SAD的一个法向量为， . ，， 存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点. 19．（24-25高二上·北京顺义·期中）对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值． (1)已知，． ①直接写出和（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时的值； (2)设，，求证：； (3)在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）． 【答案】(1)① ，；②，此时 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）①直接由定义即可得解；②在同一直角坐标系中，画出的图象，从而即可得到的表达式以及最小值. （2）直接由定义即可得证. （3）由四点共面的充要条件，结合定义以及三角不等式即可求解，注意取等条件. 【详解】（1）①因为，所以 ，； ②由题意，如图所示： 从而，，此时. （2）， 因为 ，， 所以，， 所以， 所以 ． （3）由题意四点共面，所以由四点共面的充要条件可知， 由（2）可知，， 从而， ， 所以，等号成立当且仅当. 【点睛】关键点点睛：第一问①，第二问直接由定义即可求解，至于第一问②，最好是通过画图，以此来避免繁琐的分类讨论，第三问的关键是注意对四点共面的充要条件以及三角不等式的运用. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，若，则实数的值为（    ） A．-2 B． C． D．2 2．（24-25高二上·福建南平·期末）三棱锥中，点在棱上，且，则为 A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）空间中到正方体棱，，所在的直线距离相等的点有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．无数个 4．（24-25高二下·安徽·期末）直角梯形中，是边的中点，将三角形沿折叠到位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南信阳·期中）如图，在直三棱柱中，，，，M为AB的中点.则A1到平面的距离为(    ) A． B． C． D． 6．（24-25高一·全国·课后作业）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB，BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1上运动，异面直线BP与B1C所成的角为θ，则θ的取值范围是 A． B． C． D． 7．（24-25高二上·贵州·阶段练习）定义:与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是:分别连接两异面直线上两点，正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·四川眉山·期末）正方体的棱长为3，点E，F分别在棱上，且，，下列几个命题： ①异面直线与垂直； ②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形； ③三棱锥的体积为 ④过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为． 其中真命题的序号为（    ） A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知空间中三点，，，则（    ） A． B．方向上的单位向量坐标是 C．是平面ABC的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 10．（24-25高二·全国·课后作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与AC所成角的余弦值为 11．（24-25高二下·山西运城·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，， ，，为的中点，则下列各选项正确的是（    ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 13．（24-25高二上·天津和平·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长为 . 14．（24-25高二上·山西太原·期末）如图，在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，，点在上，且，则与平面所成角的正弦值为 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·湖北·期中）已知空间三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)若向量与共线，求实数的值. 16．（24-25高二上·山西临汾·期末）如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，是棱上一点，且. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）在长方体中，是上靠近点的三等分点.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的一个法向量； (2)在平面上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 18．（24-25高二上·山东泰安·期中）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为. (1)若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD； (2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 19．（24-25高二上·北京顺义·期中）对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值． (1)已知，． ①直接写出和（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时的值； (2)设，，求证：； (3)在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$