第一章 空间向量与立体几何（基础巩固卷）2025-2026学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高一上·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为 A．（−3，4，5） B．（−3，−4，5） C．（3，−4，−5） D．（−3，4，−5） 2．（24-25高二·全国·课后作业）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是 A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 3．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知向量分别是直线的方向向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二·全国·课后作业）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知向量，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 6．（24-25高二下·福建莆田·期末）若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二·全国·课后作业）已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 8．（2025·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．3 D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·全国·单元测试）若，，，为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（    ） ①； ②； ③； ④. A．① B．② C．③ D．④ 10．（24-25高二·全国·课后作业）下列命题中是假命题的为（    ） A．若向量，则与，共面 B．若与，共面，则 C．若，则四点共面 D．若四点共面，则 11．（24-25高二·全国·单元测试）将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的是（    ） A． B．是等边三角形 C．与平面所成的角为90° D．与所成的角为30° 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一·全国·课后作业）设异面直线的方向向量分别为，，则异面直线所成角的大小为 13．（24-25高二·全国·课后作业）如图，底面是矩形，底面，是的中点．已知，，．则异面直线与所成的角的大小为 ． 14．（24-25高二·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，点在棱上．若二面角的大小为，则的坐标为 ，点到平面的距离 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·山西临汾·期中）如图，已知平行六面体，设是底面的中心，N是侧面的对角线上的点，且．若，求的值．    16．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，为的中点，点在棱上．若，证明：与平面不垂直 17．（24-25高二上·山西阳泉·期末），，. (1)若，求. (2)若，求的值 18．（24-25高二上·北京东城·期中）如图，在矩形ABCD中，，P，Q分别为线段AB，CD的中点，平面ABCD.    (1)求证：∥平面CEP； (2)求证：平面平面DEP. 19．（24-25高二上·陕西安康·期中）如图正方体中，M是的中点，E是上一点，平面． （1）证明：E是的中点； （2）求二面角的余弦值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高一上·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为 A．（−3，4，5） B．（−3，−4，5） C．（3，−4，−5） D．（−3，4，−5） 【答案】A 【分析】由关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，即可得解. 【详解】关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为（−3，4，5）．故选A． 【点睛】本题主要考查了空间点的对称点的坐标求法，属于基础题. 2．（24-25高二·全国·课后作业）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是 A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】由已知得=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），=﹣2，从而得到直线AB与CD平行． 【详解】∵空间直角坐标系中， A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3）， ∴=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1）， ∴=﹣2， ∴直线AB与CD平行． 故选A． 【点睛】本题考查空间两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题． 3．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知向量分别是直线的方向向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，得，由此可求出答案． 【详解】解：∵，且分别是直线的方向向量， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题． 4．（24-25高二·全国·课后作业）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可先画出正方体，根据向量加法的运算法则计算各式，再进行判断. 【详解】如图， ，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C错误； ，所以D错误； 故选：B． 5．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知向量，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据条件得到，再利用向量相等，即可求出结果. 【详解】因为，，三点共线，则，又向量，， 所以，解得， 故选：B. 6．（24-25高二下·福建莆田·期末）若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出，，，四点共面，再根据即可求出的值． 【详解】平面， ，，，四点共面， 又， ，解得． 故选：D． 或者根据平面，，，，四点共面，则存在实数，使得， 即， 又，所以解得 故选：D 7．（24-25高二·全国·课后作业）已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，用表示出，求得的表达式，结合 二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标. 【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， ＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝. 所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝， 即点Q的坐标为. 故选：C 8．（2025·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】如图建立空间直角坐标系，设，由可得的坐标，求出的坐标，利用向量的夹角公式列方程求得的值，进而可得的长. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示，因为点在线段上， 不妨设， 易得，，，， 则，． 由题意得， 整理可得：，解得：或（舍去）， 所以，， 故选：A.    2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二上·全国·单元测试）若，，，为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（    ） ①； ②； ③； ④. A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BD 【分析】根据向量加法，减法运算法则，即可求解判断. 【详解】①中，原式，不符合题意； ②中，原式，符合题意； ③中，原式，不符合题意； ④中，原式，符合题意. 故选：BD 10．（24-25高二·全国·课后作业）下列命题中是假命题的为（    ） A．若向量，则与，共面 B．若与，共面，则 C．若，则四点共面 D．若四点共面，则 【答案】BD 【分析】由平面向量基本定理对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于A：由平面向量基本定理得与，共面，A是真命题； 对于B：若，共线，不共线时，不能用，表示出来，B是假命题； 对于C：若，则三个向量共面， 又点为三个向量的公共起点，所以四点共面，C是真命题； 对于D：若共线，点不在此直线上， 则不成立，D是假命题. 故选：BD. 11．（24-25高二·全国·单元测试）将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的是（    ） A． B．是等边三角形 C．与平面所成的角为90° D．与所成的角为30° 【答案】AB 【分析】首先画出几何体，由线面垂直的性质定理判断A是否正确；根据直二面角的条件计算的长度，判断是否是等边三角形，即可判断B的正误；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角通过向量方法转化为先求与夹角余弦值，然后根据余弦值即可得夹角大小，即可判断D的正误. 【详解】 对于A选项，如图，取的中点，连接，，，则，，又，平面，又平面，∴，A中结论正确； 对于B选项，由直二面角，得，∴是等边三角形，B中结论正确； 对于C选项，∵平面，∴是与平面所成的角，其大小为45°，C中结论错误； 对于D选项，，不妨设， 则，∴，∴，∴，即与所成的角为60°，D中结论错误. 故选：AB. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高一·全国·课后作业）设异面直线的方向向量分别为，，则异面直线所成角的大小为 【答案】/ 【分析】利用异面直线所成角的向量求法直接求解即可. 【详解】，异面直线所成角大小为. 故答案为：. 13．（24-25高二·全国·课后作业）如图，底面是矩形，底面，是的中点．已知，，．则异面直线与所成的角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】由题可建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设与的夹角为θ， 则， 又,所以θ＝， 所以异面直线BC与AE所成的角的大小是. 故答案为： 14．（24-25高二·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，点在棱上．若二面角的大小为，则的坐标为 ，点到平面的距离 【答案】 【分析】首先设，根据二面角的大小为，即可得到，从而得到，再利用空间向量法求解点到平面的距离即可. 【详解】设，平面的法向量为． 由题可知，，，，则，．易知平面的一个法向量为． ∵为平面的法向量，∴， 令，则，又二面角的大小为， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴，，又，∴． 故答案为：；. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二上·山西临汾·期中）如图，已知平行六面体，设是底面的中心，N是侧面的对角线上的点，且．若，求的值．    【答案】，，． 【分析】借助空间向量的线性运算即可解答. 【详解】因为 ， 所以，，． 16．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，为的中点，点在棱上．若，证明：与平面不垂直 【答案】证明见解析 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，只要找出与平面内的一条直线不垂直，即可得证． 【详解】证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系： 设正方体的棱长为，则、、、，由得点的坐标为，，，因为，所以与不垂直，所以与平面不垂直． 17．（24-25高二上·山西阳泉·期末），，. (1)若，求. (2)若，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得，即可求出，再根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算计算可得. 【详解】（1）解：因为，且， 所以，即，即，即， 所以， 所以. （2）解：因为，且， 所以，解得， 所以， 所以，， 所以. 18．（24-25高二上·北京东城·期中）如图，在矩形ABCD中，，P，Q分别为线段AB，CD的中点，平面ABCD.    (1)求证：∥平面CEP； (2)求证：平面平面DEP. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系，利用空间向量可得∥，进而结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）利用空间向量可得，进而结合线面垂直、面面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为P，Q均为AB，DC的中点，则∥，所以， 且平面ABCD，故以P为坐标原点，以PA、PQ、PE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．    设，，则， 因为，则， 所以∥，即∥， 且平面EPC，平面EPC， 所以∥平面EPC. （2）因为，则， 则，， 可得， 且，平面EPD，所以平面EPD. 又因为平面AEQ，所以平面平面DEP. 19．（24-25高二上·陕西安康·期中）如图正方体中，M是的中点，E是上一点，平面． （1）证明：E是的中点； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明解析（2） 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用与平面的法向量垂直求解E点坐标可得证； （2）利用向量法求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 不妨设正方体棱长为2， 则， 设平面的法向量， 则, 即，取，则， 即， 平面， ，即 ， , 即E是的中点. （2）平面的一个法向量， 由（1）知平面的法向量， 由图知二面角是钝角， 所以二面角的余弦值为. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$