精品解析：江西省新余市第四中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度初二年级下学期期末考 试数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 9、40、41 B. 2，3，5 C. 6，7，8 D. 、2、5 3. 如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为（ ） A. 5米 B. 6米 C. 8米 D. 9米 4. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可知，当时，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 6. 设直线y＝kx+6和直线y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…，8），则S1+S2+S3+…+S8的值是（　　） A. B. C. 16 D. 14 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 8. 某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为100分，其中，期中考试成绩占40%，期末考试成绩占60%，小海这个学期的期中、期末成绩（百分制）分别是80分、90分，则小海这个学期的体育综合成绩是___分． 9. 将函数的图象向下平移2个单位，所得图象的函数解析式为______． 10. 公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到无理数的近似数．例如：可将化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则______． 11. 如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点C到AB边的距离为_____． 12. 如图，为正方形对角线上一点，为边的中点，于点，若，下列结论中：①；②；③；④；⑤；其中正确的有______（填序号） 三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 已知一次函数的图象经过点，两点．求一次函数的解析式． 15. 先化简，再求值：，其中 16. 如图，在平行四边形中，已知和分别是边、的中点，试判断四边形是什么图形，并说说你的理由？ 17. 如图，点是中斜边的中点，以，为边作平行四边形．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，以为边作一个平行四边形（不含矩形）； （2）在图（2）中，以为边作一个矩形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在矩形纸片中，，，把矩形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点． （1）请判断是什么三角形；并说明理由； （2）求的长． 19. 某中学为了解七、八年级学生对环保知识的掌握情况，进行了环保知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的成绩，整理分析如下，共分成四组：A（），B（），C（），D（）． 材料一：七年级10名学生的成绩是：90，80，85，86，90，90，94，95，95，75； 材料二：八年级10名学生的成绩是：79，82，83，84，85，90，92，95，95，95． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 88 a b 八年级 88 c 95 问题： （1）直接写出上述a，b，c的值：______，______，______； （2）你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好？请说明理由； （3）若该校八年级共1000人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀（）的八年级学生有多少人？ 20. 如图，菱形的对角线、相交于点，，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求菱形的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用．居民投入可回收垃圾（如废纸、塑料瓶）可获得积分，用于兑换生活用品．每千克废纸和塑料瓶分别获得5分和3分． （1）小明家本周分类垃圾情况 小明家本周收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分．求小明家本周收集废纸和塑料瓶各多少千克？ （2）小区垃圾分类收益优化 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，处理收益如下：①可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）；②厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）． 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）；②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 问题：如何分配每日两类垃圾的处理量使总收益最大？ 22. 在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为2的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上． （1）小明发现，请你帮他说明理由； （2）如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，当点恰好落在线段上时，请你帮他求出此时的长． 六、解答题（本题共12分） 23. 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度初二年级下学期期末考 试数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，此选项不符合题意； B．是最简二次根式，此选项符合题意； C．，不是最简二次根式，此选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 9、40、41 B. 2，3，5 C. 6，7，8 D. 、2、5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足 （其中 为最长边），则该三角形为直角三角形．需逐一验证各选项是否满足条件，同时确保三边能构成三角形． 【详解】解：选项A，最长边为41，验证：，而 ，满足勾股定理．三边均满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），故能构成直角三角形． 选项B，最长边为5，但 ，不满足三角形三边关系（两边之和需严格大于第三边），无法构成三角形． 选项C，最长边为8，验证 ，而 ，显然 ，不满足勾股定理． 选项D，最长边为5，但 ，此时 ，不满足三角形三边关系，无法构成三角形． 故选A． 3. 如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为（ ） A. 5米 B. 6米 C. 8米 D. 9米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的应用，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．由题意可知是的中位线，从而得到，根据即可得出米． 【详解】解：∵D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴米， ∴A、B两点间的距离为6米． 故选：B． 4. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可知，当时，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象可知：点为函数和的交点， 根据函数图象可知，当时，， 故选：A 5. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 6. 设直线y＝kx+6和直线y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…，8），则S1+S2+S3+…+S8的值是（　　） A. B. C. 16 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出两直线与x轴的交点坐标，利用三角形的面积公式可得出Sk=×6×6(-)，将其代入S1+S2+S3+…+S8中即可求出结论． 【详解】解：联立两直线解析式成方程组，得： ，解得： ， ∴两直线的交点(0，6)， ∵直线y=kx+6与x轴的交点为(，0)，直线y=(k+1)x+6与x轴的交点为(，0)， ∴Sk=×6×|﹣()|=18(-)， ∴S1+S2+S3+…+S8=18×(1-+-+-+…+-) =18×(1-)， =18× =16． 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及规律型中数字的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式找出Sk=×6×6(-)是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 8. 某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为100分，其中，期中考试成绩占40%，期末考试成绩占60%，小海这个学期的期中、期末成绩（百分制）分别是80分、90分，则小海这个学期的体育综合成绩是___分． 【答案】86 【解析】 【分析】利用加权平均数的公式直接计算．用80分，90分分别乘以它们的百分比，再求和即可． 【详解】小海这学期的体育综合成绩=（80×40%+90×60%）=86（分）． 故答案为86． 9. 将函数的图象向下平移2个单位，所得图象的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键． 根据“上加下减”即可求解． 【详解】解：将函数的图象向下平移2个单位，所得图象的函数解析式为， 即， 故答案为：． 10. 公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到无理数的近似数．例如：可将化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握近似公式是解题的关键． 先把化为，再根据近似公式得出，然后进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：化为， 由近似公式得到 故答案为：． 11. 如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点C到AB边的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用分割图形求面积法求出△ABC的面积，利用勾股定理求出线段AB的长， 再利用三角形的面积公式可求出点C到AB边的距离． 【详解】解：∵S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3＝，AB＝， ∴点C到AB边的距离＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，利用面积法求出点C到AB边的距离是解题的关键． 12. 如图，为正方形对角线上一点，为边的中点，于点，若，下列结论中：①；②；③；④；⑤；其中正确的有______（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，多边形内角和问题，等知识，正确掌握正方形的性质及等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 先证明，得到，，，等量代换，由三线合一判断②；由四边形对角互补判断①；由点F是的中点，点G是的中点，得到，推出，即可判断③；由，，即可判断④；由，即可判断⑤． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴ ∴，故①正确； ∵点F是的中点，点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ∵， ∴，故⑤错误； ∵， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算及零指数幂的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则和零指数幂的性质． （1）先根据二次根式乘法法则计算，再根据零指数的性质计算，最后计算减法； （2）先把括号内的二次根式化为最简二次根式，再合并同查二次根式，最后计算除法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 已知一次函数的图象经过点，两点．求一次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，将点，代入可得出方程组，解出即可得出k和b的值，即得出了函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，两点 ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 15. 先化简，再求值：，其中 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 16. 如图，在平行四边形中，已知和分别是边、的中点，试判断四边形是什么图形，并说说你的理由？ 【答案】 解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵M和N分别是边、的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，根据平行四边形的性质得出，，求出，根据平行四边形的判定得出即可． 【详解】略 17. 如图，点是中斜边的中点，以，为边作平行四边形．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，以为边作一个平行四边形（不含矩形）； （2）在图（2）中，以为边作一个矩形． 【答案】（1） 如图（1），即为所求． （2） 如图（2），矩形即为所求． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，由是中斜边的中点，可得，则，，连接，四边形是平行四边形； （2）如图（2），连接交于，则为的中点，连接交于，则为三条中线的交点，连接并延长交于，交于，则为的中点，为中点，连接、并延长，交点为，则是的中位线，为的中位线，有，，，可知，连接，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形，则矩形即为所求． 【小问1详解】 解：连接，四边形是平行四边形，即为所求． 【小问2详解】 解：连接交于，连接交于，连接并延长交于，交于，连接、并延长，交点为，连接，则四边形是矩形，矩形即为所求． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行四边形的判定与性质，三角形的三条中线相交于一点，中位线的性质，矩形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在矩形纸片中，，，把矩形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点． （1）请判断是什么三角形；并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1） 解：是等腰三角形，理由如下： ∵折叠， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点． （1）根据平行线+角平分线即可证明等腰三角形； （2）设，则，然后在中由勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴，， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴． 19. 某中学为了解七、八年级学生对环保知识的掌握情况，进行了环保知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的成绩，整理分析如下，共分成四组：A（），B（），C（），D（）． 材料一：七年级10名学生的成绩是：90，80，85，86，90，90，94，95，95，75； 材料二：八年级10名学生的成绩是：79，82，83，84，85，90，92，95，95，95． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 88 a b 八年级 88 c 95 问题： （1）直接写出上述a，b，c的值：______，______，______； （2）你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好？请说明理由； （3）若该校八年级共1000人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀（）的八年级学生有多少人？ 【答案】（1）90；90； （2） 八年级成绩更好，理由如下： 两个年级的平均数相同，但八年级方差更小（），说明成绩更稳定；八年级众数更高，表明高分人数更多； ∴八年级成绩更好； （3）估计竞赛成绩优秀（）的八年级学生大约有900人 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，众数，用样本估计总体，用方差做决策等等，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数的定义和众数的定义求解即可； （2）两个年级平均成绩相等，但是八年级的方差小，且众数大，据此可得结论； （3）用1000乘以样本中八年级竞赛成绩为优秀的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的成绩按照从低到高排列为75，80，85，86，90，90，90，94，95，95，处在第5名和第6名的成绩分别为90，90， ∴七年级的中位数为，即， ∵七年级这10名学生的成绩中得分为90的人数最多， ∴七年级的众数为90，即； 把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列为79，82，83，84，85，90，92，95，95，95，处在第5名和第6名的成绩分别为85，90， ∴八年级的中位数为，即， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计竞赛成绩优秀（）的八年级学生大约有900人． 20. 如图，菱形的对角线、相交于点，，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形得到，即可证明其为矩形； （2）由（1）知四边形是矩形，求出，再根据四边形是菱形，求出．，即可解答． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，理由如下： ，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ，则． ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ．， ∴菱形的面积为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用．居民投入可回收垃圾（如废纸、塑料瓶）可获得积分，用于兑换生活用品．每千克废纸和塑料瓶分别获得5分和3分． （1）小明家本周分类垃圾情况 小明家本周收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分．求小明家本周收集废纸和塑料瓶各多少千克？ （2）小区垃圾分类收益优化 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，处理收益如下：①可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）；②厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）． 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）；②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 问题：如何分配每日两类垃圾的处理量使总收益最大？ 【答案】（1）小明家本周废纸和塑料瓶各6千克、4千克 （2）每日处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨时，总收益最大 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和一次函数解析式是解题的关键． （1）设小明家本周收集废纸千克，则塑料瓶千克．根据收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分，列出方程，求解即可． （2）设每日处理吨可回收垃圾，吨厨余垃圾，此时总收益为元．根据总收益=可回收垃圾的收益+厨余垃圾的收益，列出函数关系式，再根据可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍，厨余垃圾每天至少处理4吨，列出不等式组，求出x的范围，再根据一次函数的性质求出y的最大值即可． 【小问1详解】 解：设小明家本周收集废纸千克，则塑料瓶千克． 由题意得： 解得： 塑料瓶：千克 答：小明家本周废纸和塑料瓶分别6千克、4千克． 【小问2详解】 解：设每日处理吨可回收垃圾，吨厨余垃圾，此时总收益为元． 由题意得：， ， ， ， 随的增大而增大 当时，有最大值， 此时厨余垃圾：（吨）， 即：每日处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨时，总收益最大． 22. 在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为2的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上． （1）小明发现，请你帮他说明理由； （2）如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，当点恰好落在线段上时，请你帮他求出此时的长． 【答案】（1）解：如图1，延长交于点， ∵四边形和四边形为正方形， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于点，先证出，得出，再根据，得出即可； （2）过点作交于点，根据得出，根据，，求出，利用勾股定理求出，再根据求出，最后根据即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，过点作交于点， ∵四边形和四边形为正方形， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， 由正方形的性质可得，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 六、解答题（本题共12分） 23. 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）①；；②；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②过A作于，证明得到，利用勾股定理求得，根据垂线段最短得的最小值是的长，进而可求解； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； （3）过点过点P作轴于S，过点Q作于T，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点Q的坐标，将点Q的坐标代入求得n的值，即可求解． 【详解】解：（1）①当时，得：； 当时，得：， 解得， ∴点A坐标为，点B坐标为， 故答案为：；； ②在图1中，过A作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵D是正比例函数图象上的动点， ∴根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是， 故答案为：； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴，， 当时，， 当时，由得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线l对应的函数表达式为； （3）直线的图象与x轴，y轴分别交于、， 分以下两种情况： 当时，如图3，过点P作轴于S，过点Q作，交延长线于T， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得， ∴，， ∴点Q的坐标为； 当时，过点P作轴于S，过点Q作，交延长线于T， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得：， ∴点Q的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $