2025年暑期新高二数学衔接讲义：立体几何的截面问题

专题：立体几何截面问题 1、 过几点做截面 【归纳总结】过三点做截面 1.直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 2.平行线法 （1）原理：两条平行线确定一个平面 （2）题目特征：三点中，有两点连线在表面上，且“第三点”是在外棱上 （3）具体步骤： ①找截点：过第三点做另两点直线的平行线，该平行线在几何题的表面上，可与几何体的棱相交，相交点即为截点 ②连截线：连接同一平面内的两截点，形成截线 ③围截面：将各截线首尾相连（顺次连接各截点），围成截面，截面即确定 3.延长线法 （1）原理：①两条相交线确定一个平面； ②如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们相交于过此点的一条直线 （2）题目特征：三点中，有两点连线在表面上，且“第三点”是在外棱上，但做平行线时，平行线不在几何体的表面，无法直接与棱相交 （3）具体步骤： ①找截点：延长在表面上的两点的连线，与几何体的棱、面（或其延长部分）相交，相交点即为截点 ②连截线：连接同一平面内的两截点，形成截线 ③围截面：将各截线首尾相连（顺次连接各截点），围成截面，截面即确定 4.辅助面法 （1）题目特征：三个点，两两两的连线都在几何体内部（不在表面），则在做截面时需要做一个辅助平面。 （2）具体步骤： ①过一个点做另一个点所在面的垂线，与该面的棱相交 ②连接交点与该面的其他点并延长交，与剩下两点所连直线相交 ③利用平行线法或延长线法确认截面 如图，求过E、F、G三点的截面 （棱柱） 1．（25广西南宁高一下期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ） A． B．18 C． D．36    【答案】B 【来源】广西壮族自治区南宁市2024-2025学年高一下学期6月期末教学质量监测数学试题 【分析】取的中点，连接，得平面为平面截正方体的截面，由梯形的面积公式即可求解. 【详解】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    【变式】（25贵州黔南高一下期末改编）（多选）如图，在棱长为的正方体中，点、分别为线段、的中点，点为线段上的动点（含端点），点是底面上异于点的动点，求： （1）的最小值 （2）当为线段的中点时，过、、三点的平面截正方体所得的截面的面积    【答案】（1） （2） 【来源】贵州省黔南布依族苗族自治州都匀第一中学2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测考试Ⅲ数学试题 【分析】（1）将平面、延展为同一个平面，当、、三点共线时，取最小值，结合勾股定理求其最小值，即可判断； （2）连接、、、，分析可知过、、三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形，求出梯形的面积. 【详解】 （1）将平面、延展为同一个平面，如下图所示：    由图可知，当、、三点共线时，取最小值， 且，，故， 因此，的最小值为，B错； （2）连接、、、， 因为、分别为、的中点，所以，且， 在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以，故， 由勾股定理可得，同理可得，， 所以过、、三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形， 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，    由等腰梯形的几何性质可得，， 又因为，故，所以， 因为，，，故四边形为矩形， 故，， 所以， 故梯形的面积为，D对. 故选：ACD. 2．（24江苏高三下模拟）在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为 边形，截面面积为 . 【答案】 五/5 / 【来源】江苏省海安高级中学、宿迁中学2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试卷 【分析】利用面面平行的性质以及基本事实，可得截面，然后截面面积为分别求解相加即可. 【详解】过作的平行线交于，交于，连接，交于，连接，则直线与直线共面，且点， 则点也在直线与直线确定的面上， 所以可得五边形为平面截该长方体所得的截面， 如图：为中点，为中点，明显有， 所以，所以为靠近的四等分点， 又，且为中点，所以 又，所以，即为靠近的三等分点， 所以， ，， ，， ， 所以，， ， 所以截面面积为. 故答案为：五；. 3．（24湖北武汉高一下期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是线段的中点，点在平面内的射影为点. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，，请在图中作出三棱柱过三点的截面，并求该截面的面积；    【答案】(1)证明见解析 (2)截面图见解析，面积为； 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题 【分析】（1）连接，先证明面，则，易得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2取的中点，取的中点，连接，证明，即可得出图形，再求出四边形面积即可； 【详解】（1）如图所示，连接， 由题意可知面ABC，四边形是菱形， ∵面， ∴， 又∵D是AC中点，是正三角形， ∴， 又面， ∴面， ∵面，∴， 在菱形中，有， 而D，E分别是线段的中点，则，∴， ∵面， ∴面；    （2）取的中点，取的中点，连接， 则且， 又且，∴且， ∴四边形是平行四边形，∴且， ∵分别为的中点，∴且， ∴， ∴过三点的截面即为四边形，    平面，平面，， 故截面为直角梯形， 又底面是边长为4的等边三角形且， ， ， ∴截面面积为； 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 【变式】（25贵州贵阳高一下联考）（多选）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点P是棱的中点，点M是上的动点，点R为的中点，点Q是棱上靠近点B的四等分点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．当M是的中点时，过点P，A，R的平面截正三棱柱所得图形的面积为 D．点D是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点D的轨迹长度为 【答案】ABD 【来源】贵州省贵阳市七校2024-2025学年高一下学期5月联考（四）试数学试题 【分析】利用线面平行的判定定理即可判断选项A；根据三棱锥的体积公式求出三棱锥的体积即可判断选项B；如图，作出过点P，A，R的平面截正三棱柱所得截面图形为，再计算的面积即可判断选项C；当D在上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧，计算弧长即可判断选项D. 【详解】对于选项A，如图，由点R，P分别为，的中点，得． 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于选项B，由题意可知， 设点到平面的距离为d，平面平面， 所以点到平面的距离等于点到线段的距离． 又，所以， 所以，为定值，故B正确； 对于选项C，连接并延长交于点S，连接， 则过点P，A，R的平面截正三棱柱所得截面图形为． 因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 又平面，所以， 取的中点N，连接，则点Q为的中点， 又点R为的中点，所以，，点M为的中点，所以， 所以，所以，所以， 所以，故，故C错误； 对于选项D，由题可知，点D的轨迹是以为轴（其中B为顶点）， 母线与轴所成角为的圆锥的侧面与正三棱柱的表面的交线． 当D在上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 故点D在上运动的轨迹长度为，故D正确； 故选：ABD． （棱锥） 4．（24云南丽江高一下月考，改编）（多选）如图，四棱锥的底面为菱形，，底面是上任意一点（不含端点），当为中点时 （1）证明：平面 （2）画出过的截面 【答案】（1）见解析（2）见解析 【来源】云南省丽江润泽高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可判断； （2）取的中点，连接，证明即可判断. 【详解】（1）证明：由题意，点为的中点， 因为为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于D，如图，取的中点，连接， 因为为中点， 所以，， 又且，所以且， 所以过的截面为梯形， 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离； （2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为. 【变式】（25上海浦东高一下期末）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值.    【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，2 【来源】上海市浦东新区上海南汇中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）取中点，连接，结合已知可得四边形为平行四边形，可得，进而可得线面平行； （2）根据平行线可得共面，即可根据相似求解. 【详解】（1）取中点，连接，由是中点，且， 由是正方形，是中点，所以且， 从而且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，不在平面内，所以平面.    （2）如图，过作直线与平行， 则，故共面. 延长与交于点，连接，与的交点即为点. 因为底面是正方形，是的中点， 所以，且， 因为是的中点，所以， 则，所以.    （棱台） 5．（24广东鹤山高二上月考）在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过B，D，P三点截面的面积为 . 【答案】 【来源】广东省鹤山市第一中学2023-2024学年高二上学期第一阶段考数学试题 【分析】取的中点，连接，，结合中位线、正四棱台的性质证截面为等腰梯形，再根据已知求截面的面积即可. 【详解】取的中点，连接，，则，，又， 则，根据正四棱台的性质得，则为等腰梯形， 即过B，D，P三点截面为等腰梯形. 取的中点，连接， 在等腰梯形中，，，，， 则，， 在等腰梯形中，，， 则梯形的高为， 所以等腰梯形的面积.    故答案为： 【变式】（24浙江衢州高一下期末）如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且，为的中点. (1)证明：； (2)若过三点的平面截三棱台所得的截面面积为，当二面角 为锐二面角时，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】浙江省衢州市2023-2024学年高一下学期6月期末教学质量检测数学试题 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，根据面面垂直的性质可得、，确定为二面角的平面角，解三角形即可求解. 【详解】（1）如图，取中点，连接，， 是等边三角形，点是的中点， 又四边形是等腰梯形，且为的中点， 又，，平面， 平面，又平面， （2）解法一：延长，，交于点，过点作，，垂足为，，连， 由（1）易知平面平面，， 平面平面，平面， 平面，又平面，， 又，且，平面， 平面，又平面， ，又， 为二面角的平面角， 则易知过，，三点的截面为梯形，设梯形的高为， 则，解得， ，又四边形是等腰梯形，且，， 为正三角形，，，，为正三角形； 为中点，， ， 即二面角的正弦值为； 解法二：过，分别作，，，垂足为，，，连接. 由（1）易知平面平面， 平面平面，平面 平面，又平面， 又，且，平面， 平面，又平面， ，又 为二面角的平面角 过，，三点的截面为梯形， 则，， ，，， ，， ， 即二面角的正弦值为. 二、过某点（线）的平行关系形成的截面 类型1：过一点的截面，与两条相交线分别平行 【归纳总结】过一点的截面，与两条相交线分别平行 1.原理：两条相交线确定一个平面 2.具体方法： ①分别过该点，做两条相交线的平行线（所做平行线在对应直线的平面内），确定三个截点 ②利用过三点的截面方法进行求解 6．（24河北邢台高一下期末）一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱上，且，过点P将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【来源】河北省邢台市信都区邢台市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】分别在，，上取点D，E，F，可得四边形即为所求截面，求出周长可得答案． 【详解】如图所示， 分别在，，上取点D，E，F，且满足， 易得，， 所以四边形为平行四边形， 可得，， 因为平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 所以四边形即为截面， 故截面图形的周长为8． 故选：B. 【变式】（24北京东城高一下期末）一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为 ． 【答案】 【来源】北京市东城区2023-2024学年高一下学期期末统一检测数学试题 【分析】取的中点，连接，，过点作交、于点、，取、的三等分、（靠近、），连接、、，即可得到四边形即为所求截面，再证明平面，即可得到，从而求出截面面积. 【详解】取的中点，连接，，则在上且， 过点作交、于点、，则、为、的三等分点（靠近、）， 取、的三等分、（靠近、），连接、、， 则且，且， 且，且， 所以且，且， 所以四边形即为所求截面， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以，所以四边形为矩形， 所以截面面积为 . 故答案为： 7．如图所示，在直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积为 ；平面过棱的中点且与平行，若截该三棱柱所得的截面为等腰梯形，则该截面的面积为 . 【答案】 / 【来源】河南省濮阳市南乐县豫北名校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题 【分析】首先的斜边，即可求出外接球的半径，从而求出外接球的表面积；取的中点，的中点，的中点，连接、、、，即可得到平面即为平面，即可求截面面积. 【详解】在直三棱柱中，，， 即底面为直角三角形，且斜边， 设该三棱柱外接球的半径为，则，所以外接球的表面积， 取的中点，的中点，的中点，连接、、、， 则、，所以，即、、、四点共面， 由，平面，平面，所以平面，故平面即为平面， 取的中点，的中点，连接，则为等腰梯形的高， 因为，，，所以， 所以，即 故答案为：； 类型2：过点（线）所做的截面与某平面平行 【归纳总结】过点（线）的截面，与某平面平行 1.原理：面面平行的判定 2.具体方法 ①确定平面的两条相交线 ②分别过该点，做两条相交线的平行线，确定三个截点 ③利用过三点的截面方法进行求解 8．（25黑龙江牡丹市高一下期中，改编）如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为AC，的中点，过BC作三棱柱的截面，使得截面与平面平行，则截面面积为 【答案】 【来源】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 【分析】取的中点为，连接，即证平面平面，计算平面的面积即可 【详解】 取的中点为，连接，由且，所以四边形为平行四边形， 所以，又为的中点，所以，又，所以，又， 所以，又，平面，平面， 所以平面平面，又平面，所以截面为平面，可知四边形为梯形， 又，， 则点到直线的距离为， 所以梯形的面积为 9．四棱锥中，底面是边长为的菱形ABCD，平面ABCD，且，E是棱BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持平面SAC，则动点P的轨迹的周长为 ． 【答案】 【来源】【课后练】 专题4 空间线、面位置关系 课后作业-湘教版（2019）必修（第二册） 第4章 立体几何初步 【分析】应用面面平行得出线面平行，再计算边长进而得出周长. 【详解】取AB中点F，SB中点G，连接EF，FG，GE． 因为E，F分别是BC，BA中点，所以，又平面SAC，平面SAC，所以平面SAC，同理平面SAC， 又平面EFG，所以平面平面SAC， 所以平面中任意直线平行于平面SAC，则平面EFG． 又点P在四棱锥表面上运动，所以动点P的轨迹周长即为的周长 因为四边形ABCD是边长为的菱形且，所以，则，又，所以，，则， 所以的周长为．    故答案为：. 【变式】（25安徽合肥高三下模拟）已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽省合肥市示范中学2025届高三下学期5月教学质量检测数学试题 【分析】过点依次在平面内作平行线，可得到截面，根据比例确定边长知截面为等腰梯形即可求面积. 【详解】 点是的重心，，过作交于，并延长交于， 过作，过作，如图四边形为截面， ∵点是的重心，，∴， ∴，，，， 四边形为等腰梯形，故面积为. 故选：C. 10．（24广西高一下期末）（多选）如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．该正四棱台的高为 C．若.，则动点的轨迹长度是 D．过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为 【答案】AD 【来源】广西壮族自治区南宁市第二中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题 【分析】对于A选项，利用余弦定理求出，然后勾股定理证，，从而得证；对于B选项，作出四棱台的高为，利用勾股定理即可求解；对于C选项，求出长度，发现为定值，根据圆的定义，确定动点的轨迹为圆，所求轨迹长度为圆与正方形的相交的一段弧长；对于D选项，在棱上取点，利用平行作出平面的平行平面，求三角形的面积即可. 【详解】对于选项，因为，所以， 由余弦定理可知， 即，解得， 所以，即，同理可得， 又因为，平面，所以平面，故正确；对于选项，如图①所示，过点作，垂足为，则四棱台的高为，因为，所以，为上靠近点的四等分点， 所以，故错误； 对于选项，由勾股定理得， 故点的轨迹为以为圆心，以6为半径的圆在正方形内部的部分，如图②， 圆与相交于点，与相交于点， 过点作，垂足为，，垂足为， 为上靠近点的四等分点，则，， 又，由勾股定理得， 由于，所以，故， 故动点的轨迹长度是，故C错误； 对于D选项，如图①，分别在棱上取点，使得，则有， 平面，平面，平面， 同理平面，，平面 所以平面平面， 所以即为平面截该四棱台所得截面多边形， ，所以， 所以截面多边形的面积为，故D正确， 故选：AD. 【点睛】方法点睛：空间图形中的轨迹问题，根据已知条件判断轨迹形状，再根据形状求轨迹长度；截面问题，先由截面的特征，结合已知的平行和垂直关系，作出截面图形，由图形求面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后训—立体几何：截面问题- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 过几点做截面】 1．（25云南昭通高二下期末）（多选）如图，在正方体中，棱长为1，点为棱上的点，为棱上的点.下列说法正确的是（   ） A．正方体外接球的半径为 B．三棱锥的体积为 C．点到的距离为 D．若为的中点，则过，，三点的正方体的截面的面积为 【答案】BCD 【来源】云南省昭通一中教研联盟2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题（A卷） 【分析】根据外接球半径计算判断A，再应用三棱锥体积公式计算判断B，应用点到直线距离判断C，应用截面面积计算判断D. 【详解】A：因为外接球直径为，所以，故错误； B：，故正确； C：且，，故正确； D：平面平面，所以截面交平面为，设截面交平面为，所以， 因为若为的中点，所以为中点，连接，，则梯形的面积即为所求， 由题意得，，，，所以梯形的高为， ，故D正确， 故选：BCD. 2．（24河北高一下期中）如图，在长方体中，E，F分别为的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)已知，以为直径的球的表面积为，设三点确定平面，在图中作出平面截四棱柱所得的截面，并求截面的周长．    【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)作图见解析， 【来源】河北省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 【分析】（1）由题意可得，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面平行的判定定理可得平面，由（1）可得平面，截面面面平行的判定定理与性质即可证明； （3）确定要求作的截面为四边形，根据勾股定理和球的表面积公式计算即可求解. 【详解】（1）在长方体中，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面， 所以平面． （2）取BC的中点，连接，． 因为E，F分别为的中点，所以， 又平面平面， 所以平面，由（1）知平面，得平面， 又，平面EFG，所以平面平面， 又平面，所以平面． （3）取的中点，连接， 则要求作的截面为四边形． 在矩形中，， 所以，解得， 所以截面的周长为    3．如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度； 【答案】 【来源】热点专题 8-2 立体几何平行的证明与应用（等积变形，截面，探究性问题等12类题型）-2 【分析】延长交的延长线于点，连接交于点，再利用相似三角形求解即可. 【详解】由正三棱柱中，， 又因为点分别为棱的中点，可得， 如图所示，延长交的延长线于点， 连接交于点，则四边形为所求截面， 过点作的平行线交于， 因为，所以， 又 所以，所以，则. 4．（25北京延庆高二上期中）如图：在直三棱柱中，，.记，当取最小时，过点作三棱柱的截面，则截面周长为 . 【答案】 【来源】北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】将△绕翻折到平面内，证△为等边三角形，进而确定的最小值，此时为的中点，为△的重心，平面中，延长交于点，取的中点，为的中点，证过点，，的三棱柱的截面为梯形，即可判断. 【详解】将△绕翻折到平面内，则的最小值为点到直线的距离， 又，，，所以， 所以到直线的距离为3，所以的最小值为3， 当取最小时，为的中点，因为△为等边三角形，为的中点， 所以为的重心，故， 在平面中，延长交于点， 因为，，，所以△△，故， 取的中点，为的中点，则， 因为，，所以四边形为平行四边形，则，， 又，，所以，所以， 故过点，，的三棱柱的截面为梯形， ，，，，则梯形的周长为 故答案为： 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 5．（25河南高一下月考）如图1，在梯形中， ，且，现将沿折起，将沿折起，使重合为点，得到四棱锥，如图2. (1)证明：平面平面； (2)点满足，求平面截此四棱锥所得截面的面积； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】河南省青桐鸣2024-2025学年高一下学期5月联考数学试题（人教A版） 【分析】（1）结合题意可得，进而得到平面，进而求证即可； （2）设平面与的交点为，则平面截此四棱锥所得截面为四边形，进而证明 平面，结合线面平行的性质可得 ，可得 ，再证明平面，可得，进而求解截面的面积； （3）先证明平面，可得为直线与平面所成的角，进而求解即可. 【详解】（1）证明：在折起后的四棱锥中，， 因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）设平面与的交点为， 则平面截此四棱锥所得截面为四边形， 因为 平面平面， 则 平面，又因为平面平面平面， 所以 ，所以 ，因为，所以， 因为，平面， 所以平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以， 所以截面面积为. （3）因为在梯形中，，所以， 又， 所以，则， 由（1）得平面，因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 又因为， 所以， 即直线与平面所成角的正切值为. 6．（25浙江金华高一下月考）已知正三棱台 ， 点 分别在上，且 (1)求过点的平面截正三棱台 的截面周长； (2)求直线与平面 所成的角的正弦值； (3)求二面角 平面角的余弦值．    【答案】(1) (2) (3) 【来源】浙江省金华市卓越联盟2024-2025学年高一下学期5月四校联考数学试题 【分析】（1）确定截面的形状及各顶点位置，然后分别求出截面各边的长度，最后将各边长度相加得到截面周长. （2）求出点到平面的距离，再结合已知的线段DE的长度，根据线面角的正弦值定义（其中为点到平面的距离，为直线上一点与该点在平面射影的连线长度，本题中，）来计算与平面所成角的正弦值. （3）根据已知条件确定相关线段长度，然后通过三角形中距离公式求出到的距离，再结合到面的距离，利用二面角的正弦值与这两个距离的关系求出二面角的正弦值，最后根据三角函数关系求出二面角的余弦值. 【详解】（1）延长交于点 M， 连接交于 ， 连接则截面为 ， 过作， 可知为中点   ， 过作， 则 ， ， 所以是中点 在中，， 用余弦定理求得 在中，， 同理求得 ， 在中， ， 同理求得 ， 在等腰梯形中，可求得 ， 所以截面 周长 （2）延长侧棱交于点，则三棱锥为正四面体     又 设与平面 成θ角 则 （3）由（1）（2）可知分别是正四面体棱的中点，可得 又∵筝形中，    在中， 到的距离 由（2） 得： 到面 的距离 设二面角 为α， 则 所以 【题组二 过某点的平行关系做截面】 7．（25四川内江高二下开学）一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【来源】四川省内江市第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题 【分析】根据线面平行的判定定理，通过构造平行线确定截面，截面周长即为所求. 【详解】 如图，在平面内过点作，分别交于点，则，. 在平面内作交于点，在平面内作交于点，则，， ∴，故截面为平行四边形， ∴在木块表面画线的总长度为. 故选：B. 8．把一正方体沿对角面劈开，得一几何体，如图，其中B1C1＝A1C1＝2，M为A1B1的中点，试作出过点B1且与平面AMC1平行的截面，并计算该截面的面积． 【答案】作图见解析， 【来源】微点21 空间几何体的截面探幽【讲】-高中同步微点进阶 【分析】取AB的中点N，通过证明平面B1NC平面AMC1可得到平面B1NC即是该截面，计算相关边长可求面积. 【详解】如图，取AB的中点N，连接B1N，NC，CB1，则截面B1NC即为所求，理由如下： ∵ANB1M，且，∴四边形ANB1M为平行四边形，∴AMB1N. 又B1N⊄平面AMC1，AM⊂平面AMC1， ∴B1N∥平面AMC1，同理，CN平面AMC1，又B1N∩CN＝N，B1N，CN⊂平面B1NC， ∴平面B1NC平面AMC1. ∵B1C＝， B1N＝， NC＝，∴B1C2＝B1N2＋NC2，∴B1N⊥NC， ∴S△B1NC＝. 9．（24河北廊坊高三上期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河北省廊坊市部分高中2024届高三上学期期末数学试题 【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解. 【详解】如图所示， 过点作于点，因为， 所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示： 过于点，于点，连接， 由对称性可知， 所以， 而， 所以， 所以，同理， 分别在棱上取点，使得， 易得， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后训—立体几何：截面问题- 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 过几点做截面】 1．（25云南昭通高二下期末）（多选）如图，在正方体中，棱长为1，点为棱上的点，为棱上的点.下列说法正确的是（   ） A．正方体外接球的半径为 B．三棱锥的体积为 C．点到的距离为 D．若为的中点，则过，，三点的正方体的截面的面积为 2．（24河北高一下期中）如图，在长方体中，E，F分别为的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)已知，以为直径的球的表面积为，设三点确定平面，在图中作出平面截四棱柱所得的截面，并求截面的周长．    3．如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点. 过点作三棱柱截面交于点，求线段长度 ； 4．（25北京延庆高二上期中）如图：在直三棱柱中，，.记，当取最小时，过点作三棱柱的截面，则截面周长为 . 5．（25河南高一下月考）如图1，在梯形中， ，且，现将沿折起，将沿折起，使重合为点，得到四棱锥，如图2. (1)证明：平面平面； (2)点满足，求平面截此四棱锥所得截面的面积； (3)求直线与平面所成角的正切值. 6．（25浙江金华高一下月考）已知正三棱台 ， 点 分别在上，且 (1)求过点的平面截正三棱台 的截面周长； (2)求直线与平面 所成的角的正弦值； (3)求二面角 平面角的余弦值．    【题组二 过某点的平行关系做截面】 7．（25四川内江高二下开学）一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 8．把一正方体沿对角面劈开，得一几何体，如图，其中B1C1＝A1C1＝2，M为A1B1的中点，试作出过点B1且与平面AMC1平行的截面，并计算该截面的面积． 9．（24河北廊坊高三上期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题：立体几何截面问题 1、 过几点做截面 【归纳总结】过三点做截面 1.直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 2.平行线法 （1）原理：两条平行线确定一个平面 （2）题目特征：三点中，有两点连线在表面上，且“第三点”是在外棱上 （3）具体步骤： ①找截点：过第三点做另两点直线的平行线，该平行线在几何题的表面上，可与几何体的棱相交，相交点即为截点 ②连截线：连接同一平面内的两截点，形成截线 ③围截面：将各截线首尾相连（顺次连接各截点），围成截面，截面即确定 3.延长线法 （1）原理：①两条相交线确定一个平面； ②如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们相交于过此点的一条直线 （2）题目特征：三点中，有两点连线在表面上，且“第三点”是在外棱上，但做平行线时，平行线不在几何体的表面，无法直接与棱相交 （3）具体步骤： ①找截点：延长在表面上的两点的连线，与几何体的棱、面（或其延长部分）相交，相交点即为截点 ②连截线：连接同一平面内的两截点，形成截线 ③围截面：将各截线首尾相连（顺次连接各截点），围成截面，截面即确定 4.辅助面法 （1）题目特征：三个点，两两两的连线都在几何体内部（不在表面），则在做截面时需要做一个辅助平面。 （2）具体步骤： ①过一个点做另一个点所在面的垂线，与该面的棱相交 ②连接交点与该面的其他点并延长交，与剩下两点所连直线相交 ③利用平行线法或延长线法确认截面 如图，求过E、F、G三点的截面 （棱柱） 1．（25广西南宁高一下期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ） A． B．18 C． D．36    【变式】（25贵州黔南高一下期末改编）（多选）如图，在棱长为的正方体中，点、分别为线段、的中点，点为线段上的动点（含端点），点是底面上异于点的动点，求： （1）的最小值 （2）当为线段的中点时，过、、三点的平面截正方体所得的截面的面积    2．（24江苏高三下模拟）在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为 边形，截面面积为 . 3．（24湖北武汉高一下期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是线段的中点，点在平面内的射影为点. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，，请在图中作出三棱柱过三点的截面，并求该截面的面积；    【变式】（25贵州贵阳高一下联考）（多选）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点P是棱的中点，点M是上的动点，点R为的中点，点Q是棱上靠近点B的四等分点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．当M是的中点时，过点P，A，R的平面截正三棱柱所得图形的面积为 D．点D是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点D的轨迹长度为 （棱锥） 4．（24云南丽江高一下月考，改编）（多选）如图，四棱锥的底面为菱形，，底面是上任意一点（不含端点），当为中点时 （1）证明：平面 （2）画出过的截面 【变式】（25上海浦东高一下期末）如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值.    （棱台） 5．（24广东鹤山高二上月考）在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过B，D，P三点截面的面积为 . 【变式】（24浙江衢州高一下期末）如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且，为的中点. (1)证明：； (2)若过三点的平面截三棱台所得的截面面积为，当二面角 为锐二面角时，求二面角的正弦值. 二、过某点（线）的平行关系形成的截面 类型1：过一点的截面，与两条相交线分别平行 【归纳总结】过一点的截面，与两条相交线分别平行 1.原理：两条相交线确定一个平面 2.具体方法： ①分别过该点，做两条相交线的平行线（所做平行线在对应直线的平面内），确定三个截点 ②利用过三点的截面方法进行求解 6．（24河北邢台高一下期末）一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱上，且，过点P将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式】（24北京东城高一下期末）一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为 ． 7．如图所示，在直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积为 ；平面过棱的中点且与平行，若截该三棱柱所得的截面为等腰梯形，则该截面的面积为 . 类型2：过点（线）所做的截面与某平面平行 【归纳总结】过点（线）的截面，与某平面平行 1.原理：面面平行的判定 2.具体方法 ①确定平面的两条相交线 ②分别过该点，做两条相交线的平行线，确定三个截点 ③利用过三点的截面方法进行求解 8．（25黑龙江牡丹市高一下期中，改编）如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为AC，的中点，过BC作三棱柱的截面，使得截面与平面平行，则截面面积为 9．四棱锥中，底面是边长为的菱形ABCD，平面ABCD，且，E是棱BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持平面SAC，则动点P的轨迹的周长为 ． 【变式】（25安徽合肥高三下模拟）已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 10．（24广西高一下期末）（多选）如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．该正四棱台的高为 C．若.，则动点的轨迹长度是 D．过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$