湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题

长郡中学2025年上学期高一期末考试 数学 命题人：陈家烦 审校人：毛水 时量：120分钟 满分：150分 得分_____ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知复数，那么（ ） A. B. C. D. 2. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为108的样本，如果样本按比例分配，则从高三年级抽取的学生人数为（ ） A. 36 B. 40 C. 45 D. 50 3. 在中，点在边上，且满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 6. 设，为单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，为复数，则下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（ ） A. B与D互斥 B. A与D互为对立事件 C. D. 11. 在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则 （    ） A. 直线与直线所成的角是 B. 直线与平面所成的角是 C. 二面角的平面角是 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一组数据6，4，a，8，6，10，12的平均数为7，则该组数据的第75百分位数为_____. 13. 已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为______. 14. 甲、乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球和自主投篮两个环节，其中任意一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则的值为_____，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. （1）求角； （2）若为线段上一点，且，求的长度. 16. 如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6. （1）证明：平面； （2）求该正四棱台的表面积. 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计样本成绩的众数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差. 18. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为1）. （1）已知，. （i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ii）若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，试判断事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并给出理由. （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围. 19. 如图，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，且，，平面. （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）当时，求直线与平面所成角的余弦值的最大值. 长郡中学2025年上学期高一期末考试 数学 命题人：陈家烦 审校人：毛水 时量：120分钟 满分：150分 得分_____ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 【12题答案】 【答案】10 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. ##0.6 ②. ##0.6075 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示. 在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点. 又为的中点，. 又平面，平面，平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）众数为75，平均数为74 （3）总平均数为60，总方差为23 【18题答案】 【答案】（1）（i）； （ii）不相互独立，理由如下：记事件为“第三次收到的信号为1”，则. 记事件为“三次收到的数字之和为2”，则. 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”不相互独立. （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明：由题，四边形在球的一个截面的圆周上，故， 又，故，故， 由平面，平面，得， 又，平面，平面，故平面， 又平面，故平面平面. （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $