精品解析：天津市南开区2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷

2024—2025学年度第二学期阶段性质量监测 八年级数学学科 本监测分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．监测满分100分．时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则下列二次根式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 7 D. 25 3. 一个正比例函数的图象经过点（4，-2），它的表达式为 （ ） A y=-2x B. y=2x C. D. 4. 如图，扇形图描述了某种运动服的S号，M号，L号，XL号，XXL在一家商场的上一周的销售情况，该商场经理本周进货时，增加了一些M号的运动服，影响该经理决策的统计量是 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 如图，在中，，E，M，F分别是上的点，并且，，则四边形的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 6. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器成功在月球背面着陆，并首次完成对月球背面土壤采样，对月球探索意义重大．下表记录了甲、乙、丙、丁四种方案所用着陆时间的平均数与方差，要从中选择一种着陆平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（） 15 16 18 15 方差 0.2 0.2 0.3 0.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A B. 当时， C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 图象与y轴交于点 8. 如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为25，的长为7，则小正方形的边长为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 9. 如图，在中，，在中，，点D为的中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点P为边上一动点（点P不与点B，C重合），，垂足分别为点E，点F，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴上，O是边的中点，矩形的顶点D的坐标为，按照下列步骤作图： ①以点B为圆心，适当的长为半径作弧，分别交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； ③作直线分别与，x轴相交于点E，点F． 则下列结论中错误的是（ ） A. 射线平分 B. 点E的坐标为 C. 直线的解析式为 D. 点F的坐标为 12. 如图，一次函数与（均为常数，且）图象相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，有如下结论： ①方程组的解为； ②不等式的解集为， ③当时，； ④关于的方程的解为． 其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 计算的结果为___． 14. 已知最简二次根式与二次根式可以合并，则x的值为______． 15. 已知一次函数（k为常数，且）的图象经过第一、三、四象限，则k的值可能是______．（写出一个符合条件的k值即可） 16. 点在平面直角坐标系中，其中点A在y轴正半轴上，点C在x轴上，若的面积为5，则a的值为______． 17. 如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点为的中点，连接，点为的中点，连接． ①的长是______； ②的长是______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形是平行四边形，且A，B均为格点，C，D均为竖格线上的点． （1）线段的长为______； （2）点E是边上任意一点，连接，请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，在边上画出点F，使得，并简要说明点F的位置是如何找到的（不要求证明，最多画三条线）___________． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 如图，四边形中，，垂足为点B，连接．若． （1）求的长； （2）求证． 21. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），该校八年级数学兴趣小组随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题． （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数、中位数和平均数． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的中垂线，分别与，相交于点D和点O，连接；以点C为圆心，长为半径作弧与相交于点E（E，D两点不重合），连接，（作图用虚线，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）情况下． ①求证四边形为菱形； ②若，直接写出四边形的面积． 23. 已知小亮家、体育场、书店依次在同一条直线上．体育场离小亮家，书店离小亮家．周末，小亮从家出发，匀速骑行到体育场；在体育场锻炼后，匀速步行到书店；在书店停留买书后，匀速步行返回家．给出的图象反映了这个过程中小亮离家的距离y（单位：）与离开家的时间x（单位：）之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题． （1）填表： 小亮离开家的时间（单位：） 10 20 50 80 90 120 小亮离家的距离（单位：） 24 1.2 0 （2）填空：小亮从书店返回家的速度为______； （3）当时，请直接写出小亮离家的距离y关于时间x的函数解析式； （4）当小亮离开体育场前往书店时，小亮的爸爸也从体育场出发匀速步行直接回家，小亮爸爸在途中没有停留，结果小亮爸爸与小亮同时到家，直接写出小亮爸爸在回家的途中与小亮相距时，小亮离开家的时间x的值． 24. 如图1，将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且． （1）填空：点B的坐标为______，直线的解析式为______； （2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上，点C的对应点为．设．若直线l与边相交于点Q，当折叠后四边形与的重叠部分为五边形时，与相交于点E． ①如图2，用含有t的式子表示点E的坐标，并直接写出t的取值范围； ②如图3，过点E作轴，与相交于点F，连接，，当最小时，直接写出此时点E的坐标和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期阶段性质量监测 八年级数学学科 本监测分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．监测满分100分．时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则下列二次根式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：有意义的条件是，所以不符合题意； 有意义的条件是，所以不符合题意； 有意义的条件是，所以 不符合题意； 有意义的条件是 ，所以 满足条件． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题关键． 2. 如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 7 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据三个正方形的三条边组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于两个较小正方形的面积之和，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的三条边组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积； 故选D． 3. 一个正比例函数的图象经过点（4，-2），它的表达式为 （ ） A. y=-2x B. y=2x C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），然后将点（4，-2）代入该函数解析式即可求得k的值． 【详解】设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）．则根据题意，得 ， 解得，， 所以，该正比例函数解析式为：． 故选C． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 4. 如图，扇形图描述了某种运动服的S号，M号，L号，XL号，XXL在一家商场的上一周的销售情况，该商场经理本周进货时，增加了一些M号的运动服，影响该经理决策的统计量是 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 【详解】解：∵M号运动服的销量最多，占， ∴这组数据的众数是M号， ∴影响该店主决策的统计量是众数， 故选：C． 【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 5. 如图，在中，，E，M，F分别是上的点，并且，，则四边形的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长； 故选：D． 6. 2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器成功在月球背面着陆，并首次完成对月球背面土壤采样，对月球探索意义重大．下表记录了甲、乙、丙、丁四种方案所用着陆时间的平均数与方差，要从中选择一种着陆平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（） 15 16 18 15 方差 0.2 0.2 0.3 0.3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差以及平均数的意义，解题的关键是掌握：方差越小数据越稳定、平均数越小时间越短．方差越小数据越稳定、平均数越小时间越短．据此判断即可． 【详解】解：∵平均时间短的着陆方案是甲和丁，着陆稳定的方案甲和乙， ∴选择一种平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择甲． 故选：A． 7. 已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 图象与y轴交于点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质、一次函数与坐标轴交点问题等知识点，灵活运用一次函数性质成为解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据一次函数图像可知：函数值y随自变量x的增大而增大，，即A、C选项错误；由于k的值不确定，则一次函数与x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当时，，即图象与y轴交于点，则D选项正确，符合题意． 故选：D． 8. 如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为25，的长为7，则小正方形的边长为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 小正方形的边长为17， 故选：C． 9. 如图，在中，，在中，，点D为的中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用直角三角形斜边上的中线可得，，从而利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角性质可得，，从而可得，再利用等量代换可得，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：，点为的中点， ， ， 是的一个外角， ， ，点为的中点， ， ， 是的一个外角， ， ， ，， ， ， 故选：A． 10. 如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点P为边上一动点（点P不与点B，C重合），，垂足分别为点E，点F，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键．连接，根据菱形的性质得到，，利用直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，易证四边形是矩形，即可得到，当时，最小，然后根据三角形的面积公式即可求得最小值． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最小，即最小， 此时， ∴， ∴，即最小值为． 故选：C． 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴上，O是边的中点，矩形的顶点D的坐标为，按照下列步骤作图： ①以点B为圆心，适当的长为半径作弧，分别交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； ③作直线分别与，x轴相交于点E，点F． 则下列结论中错误的是（ ） A. 射线平分 B. 点E的坐标为 C. 直线解析式为 D. 点F的坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】由题目中作图步骤可判断选项A；过点作，先求得，再证明，可得，设，则，得出，解得：，，可判断选项B；用待定系数法求出直线的解析式，再判断选项C；在函数中，令，得，解得，可得点F的坐标为，再判断选项C． 【详解】解：A．由题目中作图步骤可得射线平分，选项A正确，不符合题意； B．过点作， 矩形的顶点D的坐标为，O是边的中点， ， ， 射线平分， ， 又， ， ， ， 设，则， 中，， ， 解得：， ， 点E的坐标为， 选项B错误，符合题意； C．设直线的解析式为，将代入得： ，解得， 直线的解析式为， 选项C正确，不符合题意； D．在函数中，令，得，解得， 点F的坐标为 选项D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查作图-基本作图，矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，一次函数等知识，解题的关键是学会利用数形结合解决问题． 12. 如图，一次函数与（均为常数，且）的图象相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，有如下结论： ①方程组的解为； ②不等式的解集为， ③当时，； ④关于的方程的解为． 其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握以上性质是解题的关键．由两个一次函数图象的交点坐标可判断①，由两个一次函数图象可判断②，由一次函数与轴的交点坐标可判断③，由一次函数与轴的交点坐标可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由图象可得方程组的解为， 即方程组的解为， 故①符合题意； 由图象可得不等式的解集为， 故②符合题意； 由图可知，一次函数的图象与轴的交点在，可知当时，， 故③符合题意； 由函数图象可知，一次函数与轴交于， 方程的解为，故④符合题意； 综上：符合题意的有①②③④，共4个． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 计算的结果为___． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键． 14. 已知最简二次根式与二次根式可以合并，则x的值为______． 【答案】##05 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，根据二次根式的性质把化简，再根据同类二次根式的概念列式计算即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与二次根式可以合并， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 已知一次函数（k为常数，且）的图象经过第一、三、四象限，则k的值可能是______．（写出一个符合条件的k值即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数关系，牢记一次函数图象的特征是解题的关键． 由一次函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，且）的图象经过第一、三、四象限， ∴，． ∴k的值可能是1,（答案不唯一） 故答案为：1（答案不唯一）． 16. 点在平面直角坐标系中，其中点A在y轴正半轴上，点C在x轴上，若的面积为5，则a的值为______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数的解析式等知识，全面分类、正确求解是解题的关键； 分四种情况，分别画出图形（如解析图），利用三角形面积间的关系列出方程求解即可． 【详解】解：当即时，此时轴， ∴当时，作轴于H，如图， ， 即， 解得：； 当A、B、C共线时，设的解析式为， 把点A、B的坐标代入得，解得， 则当时，作轴于H，如图， ， 即， 解得：（舍去）； 当时，作轴于H，如图， ， 即， 解得：（舍去）； 当时，作轴于H，如图， ， 即， 解得：； 综上，或 故答案为：1或． 17. 如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点为的中点，连接，点为的中点，连接． ①的长是______； ②的长是______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． ①利用勾股定理求出对角线长，即可得到，然后根据中点求出长； ②解法一：先根据勾股定理求出长，再求出的长，接着利用三角形面积法求得，然后根据勾股定理计算解题． 解法二：先根据勾股定理求出长，再求出的长，接着根据三角函数求出的值，然后根据相似三角形求出的长，从而可根据勾股定理计算解题． 【详解】解：①∵是正方形， ∴，， ∴， 又∵点E是中点， ∴， 故答案为：； ②解法一：过点F作于点N， ∵，， ∴， 又∵点F是的中点， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 解法二：， 又∵点F是的中点， ∴， 过点E作于点M，过点F作于点N， ∴，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 在中，， 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形是平行四边形，且A，B均为格点，C，D均为竖格线上的点． （1）线段的长为______； （2）点E是边上任意一点，连接，请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，在边上画出点F，使得，并简要说明点F的位置是如何找到的（不要求证明，最多画三条线）___________． 【答案】 ①. ②. 分别取、中点、，连接与交于点，连接与交点即为 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线； （1）利用勾股定理计算即可； （2）分别取、中点、，连接与交于点，连接与交点即为．根据中点和四边形是平行四边形，得到，，则四边形是平行四边形，得到，再根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行得到为中位线，接着证明，得到，得到四边形是平行四边形，即可证明． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）分别取、中点、，连接与交于点，连接与交点即为， 理由如下：∵、左右距离固定为， ∴分别取、中点、， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∵中过中点且与平行的直线只有一条，且必为三角形中位线所在直线，且， ∴为中位线， ∴为中点，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式、去括号，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的除法、乘方，再去括号，最后计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，四边形中，，垂足为点B，连接．若． （1）求的长； （2）求证． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）根据勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理解答即可． 【小问1详解】 解：在直角三角形中， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：在中， ∵， ∴， ∴，即． 21. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），该校八年级数学兴趣小组随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题． （1）填空：a的值为______，图①中m的值为______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数、中位数和平均数． 【答案】（1）50；26 （2）众数为，中位数为，平均数为 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，求中位数，平均数和众数，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用时间为的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，即a的值；再用时间为的人数除以参与调查的人数再乘以百分之一百即可求出m的值； （2）根据中位数，众数和平均数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：名， ∴这次一共调查了50名学生，即， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵时长为的人数最多， ∴众数为； 把这50名学生每周参加科学教育的时间按照从低到高排列，中位数为第25个数据和第26个数据的平均数， ∵， ∴中位数为； 平均数为． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的中垂线，分别与，相交于点D和点O，连接；以点C为圆心，长为半径作弧与相交于点E（E，D两点不重合），连接，（作图用虚线，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的情况下． ①求证四边形为菱形； ②若，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②186 【解析】 【分析】（1）根据题干中的作图方法逐步作图即可； （2）①由作图得，垂直平分，，得到，，，证明出，得到，然后结合即可证明； ②设，则，勾股定理求出，，然后利用四边形的面积代数求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：①由作图得，垂直平分，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ②设， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】此题考查了尺规作垂直平分线，菱形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 已知小亮家、体育场、书店依次在同一条直线上．体育场离小亮家，书店离小亮家．周末，小亮从家出发，匀速骑行到体育场；在体育场锻炼后，匀速步行到书店；在书店停留买书后，匀速步行返回家．给出的图象反映了这个过程中小亮离家的距离y（单位：）与离开家的时间x（单位：）之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题． （1）填表： 小亮离开家的时间（单位：） 10 20 50 80 90 120 小亮离家的距离（单位：） 2.4 1.2 0 （2）填空：小亮从书店返回家的速度为______； （3）当时，请直接写出小亮离家的距离y关于时间x的函数解析式； （4）当小亮离开体育场前往书店时，小亮的爸爸也从体育场出发匀速步行直接回家，小亮爸爸在途中没有停留，结果小亮爸爸与小亮同时到家，直接写出小亮爸爸在回家的途中与小亮相距时，小亮离开家的时间x的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4）80或100 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获得关键信息是解题的关键． （1）根据图象中线段的含义结合行程，求出各个时间段的速度及各个线段表示的实际意义，再分别求解即可； （2）根据图象列式作答即可； （3）当时，根据图象分成三部分分别求解析式； （4）先根据题意，求出小亮的爸爸从体育场步行回家的速度，当，分三种情况分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，前骑行到体育场的速度为， ∴在第时，离家的距离为， 第到，在体育场锻炼，此时， ∴在第时，离家的距离为， 第到，在书店停留买书，此时， ∴在第时，离家的距离为， 填表如下： 小亮离开家的时间（单位：） 10 20 50 80 90 120 小亮离家的距离（单位：） 1.2 2.4 2.4 1.2 1.2 0 【小问2详解】 解：小亮从书店返回家的速度为： ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：分以下三种情况： 当时，， 小亮离家的距离y关于时间x的函数解析式为：； 当时， 小亮离家的距离y关于时间x的函数解析式为：； 当时， 设小亮离家的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将，代入得：， 解得， ∴； ∴当时，小亮离家的距离y关于时间x的函数解析式为：． 综上，当时，小亮离家的距离y关于时间x的函数解析式为：； 【小问4详解】 解：由题意知，小亮的爸爸从体育场步行回家的速度为：， 分以下三种情况： 当时，小亮的爸爸在回家的途中与小亮相距， 则， 解得； 当时，小亮的爸爸在回家的途中与小亮相距， 则， 解得； 当，小亮的爸爸离家更近，但小亮的步行速度更快，小亮的爸爸与小亮相距都小于． 综上所述，小亮爸爸在回家的途中与小亮相距时，小亮离开家的时间x的值为80或100． 24. 如图1，将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且． （1）填空：点B的坐标为______，直线的解析式为______； （2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上，点C的对应点为．设．若直线l与边相交于点Q，当折叠后四边形与的重叠部分为五边形时，与相交于点E． ①如图2，用含有t的式子表示点E的坐标，并直接写出t的取值范围； ②如图3，过点E作轴，与相交于点F，连接，，当最小时，直接写出此时点E的坐标和的值． 【答案】（1）； （2）①，；②最小，此时 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，折叠性质，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点C作于点H，根据特殊角计算出，根据平行四边形的性质可计算出点B的坐标，再由待定系数法可求直线的解析式； （2）①由直线轴且折叠后点O的对应点落在x轴正半轴上，得出一些线段相等和角相等的关系．根据四边形是平行四边形且，证明是等腰直角三角形，过点E作于点M，根据等腰直角三角形的性质可求点E的坐标；分别找出两种特殊情况：当与点A重合时，以及当与点B重合时，计算出这两种情况下t的值，从而确定t的取值范围； ②设与交于点，先求出，得到，再证明四边形是平行四边形和四边形是矩形，得到，，求出，最后利用勾股定理构造图形求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：过点C作于点H， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为，将、代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：①∵过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点E作于点M， ∴， ∴， ∴， 当与点A重合时， 此时与的交点E与A重合，； 当与点B重合时， 此时与的交点E与B重合，， ∴t的取值范围为； ②设与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵直线轴，，轴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 构造图形如下： 其中正方形，，，则，， ∴，， ∴， ∴当、、三点共线时最小，此时，则， ∴， 解得， ∴当时，最小，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $