第十三章三角形暑假预习单元练习　2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 暑假预习单元练习 一、单选题 1．在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．3，8，4 C．10，6，5 D．2，4，2 2．如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，中，，是的角平分线，且于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A．4 B．4.5 C．6 D．8 4．如图，为的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知…，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 6．如图，已知在中，，点D在边上，点E在边上，连接，且．设，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、2且a、b是关于x的一元二次方程的两根，求m的值（   ） A．9 B．10 C．9或10 D． 8．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力N的方向与斜面垂直，摩擦力F的方向与斜面平行．若摩擦力F与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 10．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下五个结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有（    ） A．①②④⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题 11．一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形 12．如图，中，点在边上，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接，平分．若，，，，则的面积为 ． 13．如图，在中，，是边的中线，过点作，交延长线于点．若，，则的长为 ． 14．如图所示，在中，，，分别以、为圆心，以的长为半径作圆，从中剪掉这两个半径相等的扇形，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 15．如图，在中，，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 三、解答题 16．如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若，交于点E，判断的形状，并说明理由． 17．在中，，点D、E分别在、上． (1)如图1，，证明：是直角三角形； (2)如图2，连接，平分，求的度数． 18．如图1，在等腰三角形中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，N，P分别为，，的中点． (1)观察猜想 图1中，线段，的数量关系是 ，的大小为 ； (2)探究证明 把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 19．如图①，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，若和的平分线和相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有___________个，以点为交点的“8字型”有___________个； ②若，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十三章 三角形 暑假预习单元练习2025-2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B C D B C D A 11．直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 12．/ 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过作于，于，由角平分线的性质可得，，，再根据，求出，即可得出的面积． 【详解】解：如图，过作于，于， ∵平分，平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：． 13． 【分析】根据正切的定义得，根据勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线的性质得，根据三角形中线的性质得，继而推出，最后在中利用勾股定理即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中线， ∴，， ∵， 又∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积等知识点．根据正切值求边长是解题的关键． 14． 【分析】本题主要考查了扇形面积，直角三角形的性质等知识点，根据阴影部分的面积求解即可，熟记扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边关系是解题的关键．由折叠性质可知，然后根据三角形的三边关系可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为：． 16．(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的相关知识．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，是解题的关键． （1）在中，根据三角形三个内角的和是即可求出的度数； （2）先求出，结合（1）中的结论即可求出，根据平行线性质 ，得，得，从而判断出的形状． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． 故为等腰三角形． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形的分类，掌握三角形的性质是解题关键． （1）由三角形内角和定理，得到，进而得出，即可证明结论； （2）由三角形内角和定理，得到，再由角平分线的定义，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：在中，，， 平分， ． 18．(1)； (2)为等边三角形，理由解析 (3)面积的最大值为 【分析】（1）由，可得出，再根据三角形中位线得，，，，从而可证，最后利用平行线的性质可证得； （2）由旋转的性质可证明，得到，，再由（1）同理证得，再根据三角形外角定理和平行线的性质证明，即可判定为等边三角形； （3）由三角形三边关系，可得的最大值，再根据中位线定理可得的最大值，从而得到面积的最大值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点M，N，P分别为，，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∵点M，N，P分别为，，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∵ ∴ ∴是等边三角形． （3）由（2）可知，， ∴当最大时，，则等边的面积最大， ∵， ∴当时最大， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、三角形外角定理、等边三角形的判定以及三角形三边关系等，熟练掌握相关知识点并灵活应用相关性质是解题的关键． 19．(1)见解析 (2) (3)①3，4，② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据三角形内角和定理证明即可； （2）根据三角形内角和定理进行解答即可； （3）①根据“8字形”图形的定义进行解答即可； ②根据解析（1）的结论，得出，，根据角平分线的定义得出：，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：，，且， ． （2）解：，， ． （3）解：①以线段为边的“8字形”有： ，，，共3个； 以点O为交点的“8字形”有： ，，，，共4个． 故答案为：3；4； ②解：以点为交点的“8字型”中， 有， 以点为交点的“8字型”中， 有， ． 分别平分和， ， ． ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$