2025-2026学年人教版数学八年级上册　期末复习专题课件

期末复习专题 专题(四)　整式的乘法 1. (2023·东营)下列计算结果正确的是 (　　) A. x3·x3=x9 B. 2x3+3x3=5x6 C. (2x2)3=6x6 D. (2+3x)(2-3x)=4-9x2 2. 某同学在计算-3x加上一个多项式时错将加法做成了乘法,得到的答案是3x3-3x2+3x,由此可以推断出正确的计算结果是 (　　) A. -x2-2x-1 B. x2+2x-1 C. -x2+4x-1 D. x2-4x+1 3. 若x2+2mx+16是完全平方式,则(m-1)2+2的值是 (　　) A. 11 B. 3 C. 11或27 D. 3或11 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A C 4. 若(a+3b)2=11,a-3b=4,则ab的值是 (　　) A. - B. C. - D. 5. 小冬以长方形ABCD的四条边为边分别向外作四个正方形,设计出“中”字图案如图所示.若长方形ABCD的相邻两边之差为8,且四个正方形的面积之和为160,则长方形ABCD的面积是 (　　) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 C B 解析:由题意,得AB-BC=8,∴ (AB-BC)2=64.∴ AB2-2AB·BC+BC2=64.∵ 四个正方形的面积之和为160,∴ 2(AB2+BC2)=160.∴ AB2+BC2=80.∴ 80-2AB·BC=64.∴ AB·BC=8.∴ 长方形ABCD的面积是8. 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 已知2a=4,2b=12,2c=6,则a,b,c之间满足的关系是 (　　) A. a+c=b+1 B. a+c=2b C. a∶b∶c=1∶3∶2 D. ac=2b 7. 计算: (1) 9xy·=　　　　; (2) (-8)11×0.12510=　　　　.  8. 已知单项式3x2y3与-5x3y2的乘积为mx5yn,则m-n=　　　　.  9. 已知(x2+mx+n)(x2-3x+2)的展开式中不含x2和x的项,则m=　　,n=　　. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:∵ 2a=4,2b=12,2c=6,∴ 2b×2=12×2,即2b+1=24.∵ 4×6=24,∴ 2a·2c= 2b+1.∴ 2a+c=2b+1.∴ a+c=b+1. -3x3y2 -8 -20 10. 已知a2+ab=6,ab+b2=3,a-b=1,则a+b=　　　　.  11. 计算:=　　　　.  12. 已知整式x2+2x,可以利用完全平方公式变形为(x+1)2-1,进而可知x2+ 2x的最小值是-1.依此方法,整式x2+y2+4x-y+5的最小值是　　　　. 3 解析:== ==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 计算: (1) -(a4)2·(-a2)3; (2) 5a2b÷·2ab2; (3) (6x4-8x3)÷(-2x2)-(3x+2)(1-x). (1) a14　 (2) -30a2b2　 (3) 3x-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 先化简,再求值: (1) (a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中a=-; (2) [(2a+b)2+(2a+b)(b-2a)-6b]÷2b,其中+(b-3)2=0. (1) 原式=2a+2.当a=-时,原式=1　 (2) ∵ |a+|+(b-3)2=0,∴ 解得∴ 原式=2a+b-3=2× +3-3=-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. (2023·如皋期中)“算两次”是一种重要的数学方法,它的基本思想是将同一个量从两个不同角度计算两次,从而建立等量关系,如用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个等式.请用“算两次”的方法解答下列问题: (1) 如图①,用两种方法表示大长方形的面积,可得等式为 　　　 　　　　　　;  第15题 ap+bp+cp=p(a+b+c) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 写出由图②得出的等式,并说明理由; (3) 画图表示(2a-b)2,并用“算两次”的方法说明其计算结果. (2) (a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2　理由:∵ 题图②可以看成长 为a+2b、宽为a+b的长方形,∴ 题图②的面积为(a+b)(a+ 2b).又∵ 题图②的面积也可以看成6个部分的面积之和,即 a2+3ab+2b2,∴ (a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2.　 (3) 如图　涂色部分是边长为2a-b的正方形,∴ 面积为(2a- b)2.∵ 大正方形的边长为2a,面积为4a2,空白部分的面积为 4ab-b2,∴ (2a-b)2=4a2-4ab+b2 第15题 16. 综合与探究:我们已经知道,通过用不同的方法计算几何图形的面积可以得到一些代数恒等式.例如,如图①,我们可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2,请据此解答下列问题: (1) 若x+y=4,x2+y2=9,求xy的值. (2) 若x(4-x)=2,则x2+(4-x)2=　　　　.  第16题 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1) ∵ x+y=4,∴ (x+y)2=x2+2xy+y2=16.又∵ x2+y2=9,∴ 2xy= 16-9=7.∴ xy=3.5 (3) 将两块全等的特制直角三角尺(∠AOB=∠COD=90°)按如图②所示的方式放置,其中点A,O,D在同一直线上,点B,O,C也在同一直线上,连接AC,BD.若AD=12,S△AOC+S△BOD=40,求一块直角三角尺的面积. (3) ∵ 两块直角三角尺全等,∠AOB=∠COD=90°,点A,O,D 在同一直线上,点B,O,C也在同一直线上,∴ AO=CO,BO=DO, ∠AOC=180°-∠COD=90°,∠BOD=∠AOC=90°.设AO= CO=x,BO=DO=y.∵ AD=AO+OD=x+y=12,∴ (x+y)2=122,即x2 +y2+2xy=144.∴ 2xy=144-(x2+y2).又∵ S△AOC+S△BOD=x2+y2=40,∴ x2+y2 =80.∴ 2xy=144-80=64.∴ xy=32.∴ S△AOB=OA·OB=xy=16.∴ 一块直角三角尺的面积为16 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$期末复习专题 专题(一)　三 角 形 1. 已知等腰三角形ABC的周长为28,则腰AB长的取值范围是 (　　) A. 1<AB<4 B. 7<AB<14 C. 4<AB<7 D. 4<AB<14 2. (2023·青岛)如图,直线a∥b,∠1=63°,∠B=45°,则∠2的度数为 (　　) A. 105° B. 108° C. 117° D. 135° B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 如图,AD平分∠BAC,F是AD的反向延长线上的一点,EF⊥BC于点E.若∠1=40°,∠C=65°,则∠F的度数为 (　　) A. 50° B. 35° C. 25° D. 15° 4. 如图,△ABC沿EF折叠使点A落在点A'处,BP,CP分别是∠ABD,∠ACD的平分线.若∠P=30°,∠A'EB=20°,则∠A'FC的度数为 (　　) A. 125° B. 130° C. 135° D. 140° D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 三个数3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列,且以这三个数为边长能构成三角形,则a的取值范围是　　 　　.  6. 在△ABC中,∠A=55°,高BE,CF所在的直线相交于点O,则∠BOC的度数为　　 　　.  7. 如图,在△ABC中,∠BAC=4∠ABC=4∠C,BD⊥AC交CA的延长线于点D,则∠ABD的度数为　　　　.  -3<a<-2 125°或55° 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=2BD,BE=CE.设△ADF的面积为S1,△CEF的面积为S2.若S△ABC=6,则S1-S2=　　　　.  　 　 　 　 9. (2023·启东期中)如图,在△ABC中,∠BAC=70°,∠1=∠2,则∠ADC= 　　　　.  1 110° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 如图,CE平分∠ACD,交AB于点E,∠A=40°,∠B=30°,∠D= 104°,则∠BEC的度数为　　　　.  57° 解析:如图,延长CD交AB于点F.∵ ∠BDC是△BFD的一个外角, ∴ ∠BFD=∠BDC-∠B=104°-30°=74°.∵ ∠BFD是△AFC 的一个外角,∴ ∠ACF=∠BFD-∠A=74°-40°=34°.∵ CE平分∠ACD, ∴ ∠ACE=∠FCE=∠ACF=17°.∵ ∠BEC是△AEC的一个 外角,∴ ∠BEC=∠ACE+∠A=17°+40°=57°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. (2024·通州期末)如图,∠DAP=∠DAB,∠DCP=∠DCB.若∠P=35°,则∠B+2∠D=　　　　. 105° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. (2023·通州期末)如图,在△ABC中,O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,D是BC延长线上的点,∠OBC和∠OCD的平分线交于点E,∠A=α,则 ∠E的度数为　　 　　(用含α的式子表示). 45°+α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析:∵ BO平分∠ABC,∴ ∠ABO=∠OBC=∠ABC.∵ CO平分∠ACB, ∴ ∠ACO=∠BCO=∠ACB.∴ ∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A.又∵ BE平分∠OBC, ∴ ∠OBE=∠CBE=∠OBC.∵ CE平分∠OCD,∴ ∠OCE=∠DCE= ∠OCD.∵ ∠DCE=∠E+∠CBE,∴ ∠E=∠DCE-∠CBE=∠OCD-∠OBC=(∠O+∠OBC)-∠OBC=∠O=45°+∠A=45°+α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=60°,AD平分∠BAC,DE⊥BC交AB于点E,求∠ADE的度数. 在△ABC中,∠B=40°,∠C=60°,∴ ∠BAC=180°- 40°-60°=80°.∵ AD平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD =40°.在△ABD中,∠B=40°,∠BAD=40°,∴ ∠ADB =180°-40°-40°=100°.∵ DE⊥BC,∴ ∠BDE=90°. ∴ ∠ADE=∠ADB-∠BDE=100°-90°=10° 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图,在△ABC中,D是边BC上一点,连接AD,∠CAD的平分线交边BC于点E,∠BAE=∠BEA. (1) 求证:∠BAD=∠C; (2) 若∠C=55°,∠B=3∠DAE,求∠B的度数. (1) ∵ AE平分∠CAD,∴ ∠DAE=∠CAE.∵ ∠BAE= ∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠CAE+∠C,∠BAE=∠BEA, ∴ ∠BAD=∠C　 (2) 由(1),知∠BAD=∠C=55°,∴ ∠BEA=∠BAE=55°+∠DAE.∵ ∠B+ ∠BEA+∠BAE=180°,∠B=3∠DAE,∴ 3∠DAE+2(55°+∠DAE)= 180°.∴ ∠DAE=14°.∴ ∠B=42° 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,连接BD,CE交于点O,∠BOC-∠A =54°. (1) 如图①,当BD,CE都是△ABC的角平分线时,求∠BOC的度数; (1) ∵ BD,CE都是△ABC的角平分线,∴ ∠DBC=∠ABD =∠ABC,∠ECB=∠ACE=∠ACB.∴ ∠DBC+∠ECB= (∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A.∴ ∠BOC= 180°-(∠DBC+∠ECB)=180°-=90°+∠A. 又∵ ∠BOC-∠A=54°,即90°+∠A-∠A=54°,∴ ∠A=72°.∴ ∠BOC =90°+∠A=90°+36°=126° 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 如图②,当BD,CE都是△ABC的高时,求∠BOC的度数; (2) ∵ BD,CE都是△ABC的高,∴ ∠ADB=∠AEC=90°. ∵ ∠A+∠ADB+∠DOE+∠AEC=360°,∴ ∠A+90°+ ∠DOE+90°=360°.∴ ∠A=180°-∠DOE.∵ ∠DOE =∠BOC,∴ ∠A=180°-∠BOC.∵ ∠BOC-∠A=54°, ∴ ∠BOC-(180°-∠BOC)=54°.∴ ∠BOC=117° 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3) 如图③,当∠ABD=2∠ACE时,探究∠BEO与∠ODC之间的数量关系,并说明理由. (3) ∠ODC-∠BEO=18°　理由:∵ ∠BEO=∠A+∠ACE, ∴ ∠BOC=∠BEO+∠ABD=∠A+∠ACE+∠ABD.∴ ∠BOC-∠A=∠ACE+∠ABD.∵ ∠BOC-∠A=54°,∠ABD =2∠ACE,∴ 54°=∠ACE+2∠ACE.∴ ∠ACE=18°.∴ ∠ABD=2×18°=36°.∵ ∠BOC=∠ODC+∠DCO=∠BEO +∠ABD,∴ ∠BEO+36°=∠ODC+18°.∴ ∠ODC-∠BEO=18°. 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$期末复习专题 专题(五)　因式分解 1. 下列等式从左到右的变形属于因式分解的是 (　　) A. m(m+n)=m2+mn B. t2+t=t2 C. x2-4x+3=x(x-4)+3 D. a2+4a+4=(a+2)2 2. 下列各式不能进行因式分解的是 (　　) A. x2-4y2 B. m2-2mn+n2 C. x2+y2+2x D. m4-n2 3. 用提公因式法分解因式正确的是 (　　) A. 12abc-9a2b2c2=3abc(4-3ab) B. 3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y) C. -a2+ab-ac=-a(a-b+c) D. x2y+5xy-y=y(x2+5x) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C C 4. 已知316-1可以被70至90之间的两个整数整除,则这两个整数是 (　　) A. 73,75 B. 75,79 C. 80,82 D. 83,87 5. 分解因式: (1) 6a-3ab=　　　　; (2) 3x(2y-1)+15(1-2y)=　  . 6. 分解因式: (1) 2a2-18=　　　　　　　; (2) 3y3-12y=　　　　　　　.  7. 分解因式: (1) x2-2x-35=　　　　　　; (2) 8ab+8a2b+2b=　　　　　　.  C 3a(2-b) 3(2y-1)·(x-5) 2(a+3)(a-3) 3y(y+2)(y-2) (x-7)(x+5) 2b(2a+1)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 我们在学习代数公式时,可以用几何图形来推理论证.受此启发,在学习完因式分解后,小明同学将如图①所示的一张边长为a的正方形纸片剪去1个长为a、宽为b的长方形和2个边长为b的正方形之后,再将图①的涂色部分沿虚线剪开,拼成了如图②所示的长方形.观察图①和图②的涂色部分的面积,请从因式分解的角度,用一个含有a,b的等式表示从图①到图②的变化过程:  . a2-ab-2b2=(a+b)(a-2b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知m=4n+6,且m2-6mn+16n2=35,则m2n-4mn2的值为　　　　. -3 解析:∵ m=4n+6,∴ m-4n=6.∵ m2-6mn+16n2=35,∴ m2-8mn+2mn+16n2= 35,即(m-4n)2+2mn=35.∴ 62+2mn=35,即mn=-0.5.∴ m2n-4mn2=mn(m-4n) =-0.5×6=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 分解因式: (1) a2x2y-axy2; (2) 9(a-b)2-16b2; (3) 9(2x-1)2-6(2x-1)+1. (1) axy(ax-y)　 (2) (3a+b)(3a-7b)　 (3) 4(3x-2)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 观察下列各式: 22+42=20=4×5;82+102=164=4×41;242+262=1252=4×313;362+382= 2740=4×685;…. (1) 发现结论:任意两个连续偶数的平方和是4的　　　　倍(填“偶数”或“奇数”);  奇数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 逻辑论证:在两个连续偶数中,设较小的数为2n(n为整数),请论证(1)中结论的正确性. (2) ∵ 在两个连续偶数中,设较小的数为2n(n为整数),∴ 较大的数为2n+2. ∴ (2n)2+(2n+2)2=4n2+4n2+8n+4=8n2+8n+4=4(2n2+2n+1).∵ n为整数,∴ 2n2是偶数,2n+1是奇数.∴ 2n2+2n+1是奇数.∴ 任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 阅读材料,解答问题: 分解因式:x3+4x2-5. 解:把x=1代入多项式x3+4x2-5,发现此多项式的值为0,由此确定多项式x3+ 4x2-5中有因式x-1,于是可设x3+4x2-5=(x-1)(x2+mx+n),分别求出m,n的值,再代入x3+4x2-5=(x-1)(x2+mx+n),就容易分解多项式x3+4x2-5,这种分解因式的方法叫作“试根法”. (1) 求上述式子中m,n的值; (1) ∵ x3+4x2-5=(x-1)(x2+mx+n)=x3+(m-1)x2+(n-m)x-n,∴ m-1=4,n-m=0. ∴ m=5,n=5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 请你用“试根法”分解因式:x3+x2-9x-9. (2) 把x=-1代入x3+x2-9x-9,得到多项式的值为0,∴ 多项式x3+x2-9x-9中有因式x+1,于是可设x3+x2-9x-9=(x+1)(x2+mx+n)=x3+(m+1)x2+(n+m)x+n.∴ m+1=1,n+m=-9.∴ m=0,n=-9.∴ x3+x2-9x-9=(x+1)(x2-9)=(x+1)(x+3)(x-3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,将一块长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为mcm的大正方形纸板,两块是边长都为ncm的小正方形纸板,其余五块都是长为mcm、宽为ncm的小长方形纸板,且m>n. (1) 观察图形,并解答问题: ① 代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　　　 　　　;  第13题 (2m+n)(m+2n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ② 若长方形纸板的面积为108cm2,每块小长方形纸板的面积为10cm2,试求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和. ② ∵ 长方形纸板的面积为108cm2,每块小长方形纸板 的面积为10cm2,∴ 2m2+5mn+2n2=108,mn=10.∴ m2+ n2=29.∵ (m+n)2=m2+2mn+n2=29+2×10=49,且m+n>0, ∴ m+n=7.∵ 2(m+2n+2m+n)=6(m+n)=6×7=42,∴ 题 图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和为42cm 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若再给一块边长为ncm的小正方形纸板和两块长为mcm、宽为ncm的小长方形纸板,请用现有的所有纸板拼凑出一个长方形,并画出这个长方形,再对代数式2m2+7mn+3n2进行因式分解. (2) 如图(画法不唯一)　2m2+7mn+3n2=(2m+n)(m+3n) 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$期末复习专题 专题(六)　分　式 1. (2023·启东期末)下列说法正确的是 (　　) A. 代数式是分式 B. 分式中x,y都扩大3倍,分式的值不变 C. 分式的值为0,则x的值为±3 D. 分式是最简分式 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 下列分式计算结果正确的是 (　　) A. = B. = C. =-1 D. = 3. 若x2+3x=-1,则式子x-的值是 (　　) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. (2023·云南)阅读,正如一束阳光.孩子们无论在哪儿,都可以感受到阳光的照耀,都可以通过阅读触及更广阔的世界.某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲、乙两名同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发,参加分享活动.甲同学的速度是乙同学速度的1.2倍,乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速度是x米/分,则下列方程正确的是 (　　) A. -=4 B. -=4 C. -=4 D. -=4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 在括号内填上适当的式子: (1) =; (2) =. 6. 已知0.0007×0.000009=6.3×10n,则整数n=　　　　.  7. 若a2+5ab-b2=0,则-的值为　　　　.  8. (2023·崇川期末)若关于x的方程+=5的解为正数,则m的取值范 围是　　 　　. 18a x+y -9 5 解析:∵ a2+5ab-b2=0,∴ b2-a2=5ab.∴ -===5. m<且m≠ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 计算: (1) (2023·南通)·-; (2) (2023·十堰). (1) 1　 (2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 解方程: (1) -=1; (2) --=0. (1) x=2　 (2) x=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. (2023·张家界)先化简,再求值:,从-1,1,2这三个数中选一个合适的数作为x的值代入求值. 原式=x+1.∵ x≠-1,x≠±2,∴ x=1.∴ 原式=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. (2024·海门期末)开展“光盘行动”,拒绝“舌尖上的浪费”已成为一种时尚.某学校食堂为了激励学生们做到光盘不浪费,提出:如果学生每餐做到光盘不浪费,那么餐后奖励香蕉或橘子一份.近日,学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子,采购的香蕉比橘子多150千克,香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%,求橘子每千克的价格. 设橘子每千克的价格为x元,则香蕉每千克的价格为(1-30%)x元.根据题意,得-=150,解得x=10.经检验,x=10是原分式方程的解且符合题意.∴ 橘子每千克的价格为10元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. (2024·海安期末)嘉嘉去文具店帮同学买笔,回来后和淇淇的对话如图所示. 设每支圆珠笔的价格为x元. (1) 请你通过计算分析淇淇为什么说嘉嘉搞错了. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) ∵ 设每支圆珠笔的价格为x元,∴ 每支中性笔的价格为(x+1.2)元.由题意,得=,解得x=1.6.经检验,x=1.6是原方程的解,此时圆珠笔的数量为12÷1.6=7.5(支).∵ 圆珠笔的数量为整数,∴ x=1.6不符合题意.∴ 淇淇说嘉嘉搞错了 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 嘉嘉核实账单后,发现每支中性笔和圆珠笔的价格均为整数,每支中性笔与圆珠笔价格的差值算错了,其他都正确.若每支中性笔比圆珠笔贵m(0<m<6)元,求整数m的值. (2) ∵ 每支中性笔比圆珠笔贵m元,∴ 每支中性笔的价格为(x+m)元.由题意,得=,解得x=.∵ 每支中性笔和圆珠笔的价格均为整数,且0<m< 6,∴ m=3.∴ x=4.经检验,x=4是原方程的解,且符合题意.∴ 整数m的值为3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$期末复习专题 全等三角形 1. 有下列说法:① 如果两个三角形可依据“AAS”来判定全等,那么也一定可以依据“ASA”来判定全等;② 如果两个三角形都和第三个三角形全等,那么这两个三角形也一定全等;③ 要判定两个三角形全等,给出的已知条件中至少要有一组对应边相等.其中,正确的是 (　　) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 2. 如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于点O,已知AB=AC,现添加下列条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是 (　　) A. ∠B=∠C B. BE=CD C. BD=CE D. AD=AE D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 3. 如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=4, BF=3,EF=2,则AD的长为 (　　) A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 　 　　　　 　　　　　 4. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,并交于点F,则图中全等三角形共有 (　　) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5. 如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=6,DE=, AB=4,则AC的长是 (　　) A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6. 如图,在△ABC中,∠A=60°,∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点O,BD交AC于点D,CE交AB于点E.若△ABC的周长为20,BC=7,AE∶AD= 4∶3,则AE的长为 (　　) A. B. C. D. 4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析:如图,在BC上截取BH=BE,连接OH.∵ BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴ ∠ABD=∠CBD,∠ACE=∠BCE.∵ ∠A=60°,∴ ∠ABC+ ∠ACB=120°.∴ 易得∠CBD+∠BCE=60°.∴ ∠BOC=180°-60°= 120°.∴ ∠BOE=∠COD=180°-∠BOC=60°.在△BOE和△BOH中, ∴ △BOE≌△BOH.∴ ∠BOE=∠BOH=60°.∴ ∠COD=∠COH=60°.在△COD和△COH中,∴ △COD≌△COH.∴ CD=CH.∴ BE+CD=BH+CH=BC=7. ∵ △ABC的周长为20,∴ AB+AC+BC=AE+BE+BC+CD+ AD=20.∴ AE+AD=6.∵ AE∶AD=4∶3,∴ AE=×6=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7. (2024·如东期末)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,FC∥AB,要使△ADE≌△CFE,只需添加一个条件,则这个条件可以是_______________ 　　　 . 答案不唯一,如 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 AD=CF 8. (2023·通州期中)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标 为(-2,3),点B的坐标为(-1,-1),C是x轴正半轴上一点.若BC= BA,则点C的坐标为　　　　. (3,0) 解析:如图,取点D(-1,3),连接BD交x轴于点E,连接AD.∵ 点 A的坐标为(-2,3),点B的坐标为(-1,-1),∴ 点E的坐标为(-1,0),BD=3-(-1)=4. ∴ ∠BEC=∠ADB=90°,BE=AD=1.在Rt△BEC和 Rt△ADB中,∴ Rt△BEC≌Rt△ADB. ∴ CE=BD=4.∴ xC=-1+4=3.∴ 点C的坐标为(3,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9. 如图,两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.若DF=6m,DE=8m,AD=4m,则BF= 　　　　m.  　 　　 　　　 　　　 10. 如图,点A,C,B,D在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.若∠FCD =30°,∠A=80°,则∠DBE的度数为　　　　.  11. 如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC的中点,连接DE,AE,AE⊥DE,延长DE交AB的延长线于点F.若AB=5,CD=3,则AD的长为　　　　. 18 110° 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12. 如图,在△ABC中,S△ABC=21,∠BAC的平分线AD交BC 于点D,E为AD的中点.连接BE,F为BE上一点,且BF=2EF, 连接DF.若S△DEF=2,则AB∶AC=　　　　. 4∶3 解析:∵ BF=2EF,S△DEF=2,∴ S△BDE=3S△DEF=3×2=6.∵ E为AD的中点, ∴ S△ABD=2S△BDE=2×6=12.∵ S△ABC=21,∴ S△ACD=21-12=9.如图,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.∵ AD是∠BAC的平分线,∴ DM=DN. ∴ ====,即AB∶AC=4∶3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13. (2024·崇川期中)如图,在△ABC和△CED中,AB=CE,∠B=∠E,BC=ED. (1) 求证:AB∥CD; (2) 若AB=5,AE=2,求CD的长. (1) 在△ABC和△CED中,∴ △ABC≌△CED. ∴ ∠CAB=∠DCE.∴ AB∥CD　 (2) ∵ △ABC≌△CED,∴ AB=CE=5,AC=CD.∵ AE=2,∴ CD=AC=CE-AE=5-2=3 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于点D,过点C作BD的垂线,交BD的延长线于点E,交BA的延长线于点F.求证: (1) BF=BC; (1) ∵ BE平分∠ABC,∴ ∠FBE=∠CBE.∵ CE⊥BE, ∴ ∠FEB=∠CEB=90°.在△FBE和△CBE中, ∴ △FBE≌△CBE.∴ BF=BC 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2) BD=2CE. (2) ∵ ∠BAC=∠BEF=90°,∴ ∠CAF=90°,∠ABD+ ∠F=∠ACF+∠F=90°.∴ ∠ABD=∠ACF.在△BDA和 △CFA中, ∴ △BDA≌△CFA. ∴ BD=CF.又∵ △FBE≌△CBE,∴ EF=EC,即CF=2CE. ∴ BD=2CE 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15. 如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC+∠EAD=180°,连接BE,CD,F为BE的中点,连接AF.求证:CD=2AF. 如图,延长AF至点G,使得FG=AF,连接BG.∵ F为BE的中 点,∴ EF=BF.在△AFE和△GFB中,∴ △AFE≌△GFB.∴ ∠EAF=∠G,AE=GB.∴ AE∥BG. ∴ ∠GBA+∠BAE=180°.∵ ∠BAC+∠EAD=180°, ∴ ∠DAC+∠BAE=180°.∴ ∠GBA=∠DAC.∵ AD= AE,∴ BG=AD.在△GBA和△DAC中, ∴ △GBA≌△DAC.∴ AG=CD.∵ AG=AF+FG=2AF,∴ CD=2AF 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16. 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD平分∠ABC交AC于点D,延长BD至点E,使ED=AD,连接CE.求证:BC=AB+CE. 如图,在BC上取一点F,使得FB=AB,连接DF.∵ BD平 分∠ABC,∠ABC=40°,∴ ∠ABD=∠FBD=20°.在 △ABD和△FBD中,∴ △ABD≌ △FBD.∴ FD=AD,∠BDF=∠BDA=180°-∠A-∠ABD =60°.∴ 易得∠FDC=∠BDA=∠EDC=60°.∵ ED= AD,∴ ED=FD.在△EDC和△FDC中, ∴ △EDC≌△FDC.∴ CE=CF.∴ BC=FB+CF=AB+CE 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17. 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AB的中点,E是边AB上一点. (1) 如图①,直线BF垂直直线CE于点F,交CD于点G,求证:AE=CG; 第17题 (1) ∵ D是AB的中点,AC=BC,∠ACB=90°,∴ CD⊥AB, ∠ACD=∠BCD=45°,∠CAD=∠CBD=45°.∴ ∠CAE= ∠BCG.∵ BF⊥CE,∴ ∠CBG+∠BCF=90°.又∵ ∠ACE +∠BCF=90°,∴ ∠ACE=∠CBG.在△AEC和△CGB中, ∴ △AEC≌△CGB.∴ AE=CG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2) 如图②,直线AH垂直于直线CE,垂足为H,交CD的延长线于点M,找出图中与BE相等的线段,并给予证明. (2) BE=CM　∵ AC=BC,∠ACB=90°,D是AB的中点, ∴ ∠CAB=∠CBA=45°,CD⊥AB,∠ACD=45°.∵ CH ⊥HM,∴ ∠M+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°. ∴ ∠M=∠BEC.在△BCE和△CAM中, ∴ △BCE≌△CAM.∴ BE=CM 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $$期末复习专题 专题(三)　轴 对 称 1. (2024·如东期末)围棋在我国古代被称为“弈”,至今已有四千多年的历史.下列由黑、白棋子摆成的图案中,是轴对称图形的是 (　　) 2. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线MN分别交AC,AB于点D, E.若∠CBD∶∠DBA=2∶1,则∠A的度数为 (　　) A. 20° B. 25° C. 22.5° D. 30° D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,直线BD交AC于点D,把直角三角形沿着BD所在的直线翻折,使点C落在斜边AB上的点C'处.如果△ABD是等腰三角形,那么∠A的度数为 (　　) A. 60° B. 45° C. 30° D. 22.5° C 解析:由翻折,知∠CBD=∠C'BD.∵ △ABD是等腰三角形,∴ ∠A= ∠C'BD.∴ ∠A=∠C'BD=∠CBD.∵ ∠A+∠C+∠C'BD+∠CBD=180°, ∠C=90°,∴ 3∠A=90°.∴ ∠A=30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 如图,在等腰三角形ABC中,∠CAB=120°,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E.若AD=2,则BE的长为 (　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 如图,△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一条直线上,且CG=CD,DF= DE,则∠E的度数为 (　　) A. 25° B. 20° C. 15° D. 7.5° B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. (2024·海安期末)如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=110°,延长BC至点D,在∠ACD内作射线CE,使得∠ECD=15°,过点A作AF⊥CE,垂足为F.若AF=,则AB的长为 (　　) A. B. 2 C. 4 D. 6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:如图,过点C作CH⊥AB于点H.∵ CA=CB,∠ACB=110°,∴ ∠ACH =∠ACB=55°,∠ACD=70°.∵ ∠ECD=15°,∴ ∠ACF=∠ACD-∠ECD=55°.∴ ∠ACH=∠ACF.∴ CA平分∠HCF.∵ AF⊥CE,AH⊥CH, ∴ AH=AF=.∵ CA=CB,CH⊥AB,∴ AB=2AH=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. 已知点P(a,b)的坐标满足(a+2)2+|b-1|=0,则点P关于y轴的对称点P'在第　　　　象限.  8. 在等腰三角形ABC中,底角∠B=15°,腰长为30cm,则腰AB上的高为 　　　　cm.  9. (2024·海安期末)如图,在△ABC中,∠A=105°,AC的垂直平分线MN交BC于点N,交AC于点M,且AB+BN=BC,则∠B的度数是　　　　°. 一 15 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2024·海门期中)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC, D为BC延长线上一点,EC⊥AC,且AC=CE,垂足为C,连接 BE.若BC=6,则△BCE的面积为　　　　. 9 解析:如图,过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EF⊥BD于点F.∵ AB=AC, BC=6,∴ BH=HC=3.∵ EC⊥AC,∴ ∠ACE=90°.∴ ∠ACH+∠ECF= 90°.∵ 易得∠CAH+∠ACH=90°,∴ ∠ECF=∠CAH.在△ACH和 △CEF中,∴ △ACH≌△CEF. ∴ EF=CH=3.∴ △BCE的面积为BC·EF=×6×3=9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 如图,∠AOB=15°,P是OA上一点,点Q与点P关于OB对称,QM⊥OA于点M.若OP=6,则QM的长为　　　　. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. (2024·崇川期中)如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC=8, ∠ABC=80°,△ABC≌△ADE,∠DAC=20°,F为线段AD上 一动点,连接BF,CF,则BF+CF的最小值为　　　　. 8 解析:如图,连接EF,BE.∵ AB=AC,∴ ∠ACB=∠ABC=80°.∴ ∠BAC= 180°-80°-80°=20°.∵ △ABC≌△ADE,∴ 易得AB=AC=AD=AE=8, ∠DAE=∠BAC=20°.∵ ∠DAC=20°,∴ ∠BAE=∠BAC+∠DAC+ ∠DAE=60°.又∵ AB=AE,∴ △ABE是等边三角形.∴ BE=AB =8.∵ AC=AE,∠CAF=∠EAF,AF=AF,∴ △AFC≌△AFE.∴ CF=EF.∵ BF+EF≥BE,即BF+CF≥BE,∴ 当B,E,F三点共线时, BF+CF有最小值,即为线段BE的长.∴ BF+CF的最小值为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,4),B(4, 2),C(3,5),请解答下列问题: (1) 画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1. (1) 如图,△A1B1C1即为所求 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 写出点A1,B1,C1的坐标:A1　　　　,B1　　　　,C1　　　　.  (3) 若点M(m-1,3),N(-2,n+1)关于x轴对称,则m=　　　　,n=　　　　.  (4) 若y轴上一点P的坐标为(0,m),当2≤m≤4时,S△PAB=4.求点P的坐标. 第13题 (1,-4) (4,-2) (3,-5) -1 -4 (4) ∵ 点P的坐标为(0,m),当2≤m≤4时,S△PAB=4, ∴ ×(1+4)×2-×1×(4-m)-×4×(m-2)=4,解 得m=2.∴ 点P的坐标为(0,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. (2024·通州期中)如图,在△ABC中,AB=AC,D是边AB上一点,过点D作DE⊥BC,垂足为E,延长ED,交CA的延长线于点F. (1) 求证:AD=AF; (1) ∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.∵ DE⊥BC,∴ ∠FEC=∠DEB =90°.∴ ∠C+∠F=90°,∠B+∠BDE=90°.∴ ∠BDE= ∠F.∵ ∠BDE=∠ADF,∴ ∠ADF=∠F.∴ AD=AF 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 若∠B=2∠F,BE=2,CF=16,求BC的长. (2) ∵ ∠B=2∠F,∠B=∠C,∴ ∠C=2∠F.∵ ∠C+∠F= 90°,∴ 3∠F=90°,即∠F=30°.∵ ∠FEC=90°,CF= 16,∴ CE=CF=8.∵ BE=2,∴ BC=BE+CE=2+8=10 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形,那么这种分割叫作等腰分割,这条线段称为这个三角形的等腰分割线.如图①,当△ABD和△ACD为等腰三角形时,AD为△ABC的等腰分割线. (1) 如图②,在△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线ED交AC于点D,交BC于点E.求证:AE是△ABC的一条等腰分割线. (1) ∵ DE是线段AC的垂直平分线,∴ EA=EC,即 △EAC是等腰三角形.∴ ∠EAC=∠C.∴ ∠AEB =∠EAC+∠C=2∠C.∵ ∠B=2∠C,∴ ∠AEB= ∠B,即△EAB是等腰三角形.∴ AE是△ABC的一条等腰分割线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 在△ABC中,AD为△ABC的等腰分割线,AD=BD,∠C=30°,求∠B的度数. (2) ∵ AD为△ABC的等腰分割线,∴ △ABD和△ACD都是等腰三角形.∵ AD=BD,∴ ∠B=∠BAD.① 如图①,当AD=CD时,可得∠C=∠CAD=30°. ∴ ∠ADB=∠C+∠CAD=30°+30°=60°.∴ ∠B=∠BAD=60°.② 如图②,当AD=AC时,可得∠ADC=∠C=30°.∵ ∠B=∠BAD,∠ADC=∠B+ ∠BAD=30°,∴ ∠B=15°.③ 如图③,当AC= CD时,可得∠CAD=∠ADC==75°. ∵ ∠B=∠BAD,∠ADC=∠B+∠BAD,∴ ∠B= 37.5°.综上所述,∠B的度数为60°或15°或 37.5° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1) 如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求证:DE=BD+CE. (1) ∵ BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴ ∠BDA=∠AEC=90°. ∵ ∠BAC=90°,∴ ∠BAD+∠CAE=90°.∵ ∠BAD+ ∠ABD=90°,∴ ∠CAE=∠ABD.又∵ AB=CA,∴ △ADB ≌△CEA.∴ BD=AE,AD=CE.∴ DE=AE+AD=BD+CE 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 如图②,将(1)中的条件改为在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角,则结论DE =BD+CE是否成立?请说明理由. (2) 成立　理由:∵ ∠BDA=∠BAC=α,∴ ∠DBA+∠BAD= ∠BAD +∠EAC=180°-α.∴ ∠DBA=∠EAC.又∵ ∠BDA =∠AEC=α,AB=CA,∴ △ADB≌△CEA.∴ BD=AE,AD=CE. ∴ DE=AE+AD=BD+CE. 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3) 如图③,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互不重合), F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD, CE.若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状,并说明理由. (3) △DEF为等边三角形　理由:由(2),知∠DBA=∠EAC, △ADB≌△CEA,∴ BD=AE.∵ △ABF和△ACF均为等边 三角形,∴ BF=AF,∠BFA=∠ABF=∠CAF=60°.∴ ∠DBA +∠ABF=∠EAC+∠CAF,即∠DBF=∠EAF.又∵ BF=AF,BD =AE,∴ △DBF≌△EAF.∴ DF=EF,∠BFD=∠AFE.∴ ∠DFE=∠DFA+ ∠AFE=∠DFA+∠BFD=∠BFA=60°.∴ △DEF为等边三角形. 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$