第四章 一次函数 单元测试2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

北师大版（2024）八年级上册 第四章 一次函数 单元测试 一、选择题 1.如图，在一次活动中，位于A处的小王准备前往相距10m的B处与小李会合．请你用方向和距离描述小王相对于小李的位置，其中描述正确的是（　　） A.小王在小李的北偏东50°，10m处 B.小王在小李的北偏东40°，10m处 C.小王在小李的南偏西40°，10m处 D.小王在小李的南偏西50°，10m处 2.在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知点A（m﹣1，m+4）在x轴上，则m的值为（　　） A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.4 4.点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A. （5，﹣3） B. （﹣5，3） C. （3，﹣5） D. （﹣3，5） 5.函数y＝的自变量x的取值范围是（　　） A.x≠﹣4且x≠1 B.x＞﹣4且x≠1 C.x＞﹣4 D.x≥﹣4且x≠1 6.如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），△ADP的面积为y（ cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 7.小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟45米的速度行走完了剩下的路程，那么小亮行走的路程y（米）与他行走的时间t（分）（t＞15）之间的函数关系正确的是（　　） A.y＝30t（t＞15） B.y＝900﹣30t（t＞15） C.y＝45t﹣225（t＞15） D.y＝45t﹣675（t＞15） 8.某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点出发，分别以不同的速度匀速行走3600米．当墩墩领先容融1000米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离y（米）与它们出发时间x（分钟）的关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A.容融的速度为60米/分钟 B.墩墩休息了23分钟 C.第80分钟时，墩墩到达终点 D.领先者到达终点时，两者相距200米 9.一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 10.如图，佳佳设计了一种挖宝游戏，屏幕上正方形ABCD是宝藏区（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），沿直线y＝x+b行走，则游戏者能够挖到宝藏的b的取值范围为（　　） A.﹣1≤b≤2 B.﹣2≤b≤1 C.﹣1≤b≤1 D.b≤1 11.如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（　　） A.x＝20 B.x＝5 C.x＝25 D.x＝15 12.如图，直线y＝x+4和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+4＝ax+b的解是（　　） A.x＝16或x＝20 B.x＝20 C.x＝16 D.x＝﹣16 二、填空题 13.如图，已知点A的坐标为（2，﹣3），则点A到x轴的距离为 　　． 14.如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为　　． 15.如图，△ABC关于平行于x轴的一条直线对称，已知A点坐标是（1，2），C的坐标为（1，﹣4），则这条平行于x轴的直线是 　　． 16.如图是小乐从学校到家里行进的路程a（米）与时间t（分）之间关系的图象观察图象，从中得到如下信息： ​①学校离小乐家1000米； ②小乐用了20分钟到家； ③小乐前10分钟走了路程的一半； ④小乐后10分钟比前10分钟走得快， 其中正确的有 　      　（填序号）． 17.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过A1点作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A9的坐标为　　，点A2019的坐标为　　． 三、解答题 18.在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点B是点A的“a倍关联点”．例如，点A（1，2）的“3倍关联点”B的横坐标为：3×1+2＝5，纵坐标为：1+3×2＝7，所以点A的“3倍关联点”B的坐标为（5，7）． （1）已知点M（﹣4，6）的“倍关联点”是点N，求点N的坐标； （2）若点Q是点P（1，2m）的“﹣2倍关联点”，且点Q在y轴上，求点Q到x轴的距离． 19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，2），C（﹣2，1）． （1）画出△ABC； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1； （3）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2； （4）直接写出点B1，B2的坐标． 20.已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y． （1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当x＝5时，求出函数值． 21.若函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1）是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？ 22.受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： （1）已知放入小球后量筒中水面的高度y（cm）是放入小球个数x（个）的一次函数，从图中可以看出函数经过点（0，30）与点（3，36），试确定该函数表达式； （2）当水桶中至少放入　　个小球时，有水溢出． 北师大版（2024）八年级上册 第四章 一次函数 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，在一次活动中，位于A处的小王准备前往相距10m的B处与小李会合．请你用方向和距离描述小王相对于小李的位置，其中描述正确的是（　　） A.小王在小李的北偏东50°，10m处 B.小王在小李的北偏东40°，10m处 C.小王在小李的南偏西40°，10m处 D.小王在小李的南偏西50°，10m处 【答案】B 【解析】解：小王在小李的北偏东40°，10m处． 故选：B． 2.在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】解：由﹣2＜0，3＞0得点P（﹣2，3）位于第二象限． 故选：B． 3.已知点A（m﹣1，m+4）在x轴上，则m的值为（　　） A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.4 【答案】A 【解析】解：∵点A（m﹣1，m+4）在x轴上， ∴m+4＝0， 解得m＝﹣4． 故选：A． 4.点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A. （5，﹣3） B. （﹣5，3） C. （3，﹣5） D. （﹣3，5） 【答案】D 【解析】解：∵点P位于第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度， ∴点的坐标为（﹣3，5）． 故选：D． 5.函数y＝的自变量x的取值范围是（　　） A.x≠﹣4且x≠1 B.x＞﹣4且x≠1 C.x＞﹣4 D.x≥﹣4且x≠1 【答案】B 【解析】由题意，x+4＞0且x﹣1≠0， 解得x＞﹣4且x≠1； 故选：B． 6.如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），△ADP的面积为y（ cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图2，过点P作PD⊥AB于点D，△ABC是边长为4 cm的等边三角形， 则AP＝2x， 当点P从A→C的过程中，AD＝x，PD＝x，如图1所示， 则y＝AD•PD＝x•x＝x2，（0≤x≤2）， 当点P从C→B的过程中，BD＝（8﹣2x）×＝4﹣x，PD＝（4﹣x），PC＝2x﹣4，如图2所示， 则△ABC边上的高是：AC•sin60°＝4×＝， ∴y＝S△ABC﹣S△ACP﹣S△BDP ＝×4×﹣×（2x﹣4）×2﹣×（4﹣x）×（4﹣x）＝﹣x2+2x（2＜x≤4）， 故选：B． 7.小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟45米的速度行走完了剩下的路程，那么小亮行走的路程y（米）与他行走的时间t（分）（t＞15）之间的函数关系正确的是（　　） A.y＝30t（t＞15） B.y＝900﹣30t（t＞15） C.y＝45t﹣225（t＞15） D.y＝45t﹣675（t＞15） 【答案】C 【解析】由题意可得：y＝30×15+45（t﹣15） ＝45t﹣225（t＞15）， 故选：C． 8.某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点出发，分别以不同的速度匀速行走3600米．当墩墩领先容融1000米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离y（米）与它们出发时间x（分钟）的关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A.容融的速度为60米/分钟 B.墩墩休息了23分钟 C.第80分钟时，墩墩到达终点 D.领先者到达终点时，两者相距200米 【答案】D 【解析】由图象可得， 容融的速度为：3600÷90＝40（米/分钟），故选项A错误，不符合题意； 墩墩休息了：1000÷40＝25（分钟），故选项B错误，不符合题意； 墩墩的速度为：40+1000÷50＝60（米/分钟）， 50+25+（3600﹣60×50）÷60＝85（分钟）， 即第85分钟时，墩墩到达终点，故选项C错误，不符合题意； （90﹣85）×40＝200（米）， 即领先者到达终点时，两者相距200米，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 9.一次函数y＝（m﹣3）x+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意：由题意：， 解得﹣2＜x＜3 故选：C． 10.如图，佳佳设计了一种挖宝游戏，屏幕上正方形ABCD是宝藏区（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），沿直线y＝x+b行走，则游戏者能够挖到宝藏的b的取值范围为（　　） A.﹣1≤b≤2 B.﹣2≤b≤1 C.﹣1≤b≤1 D.b≤1 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是正方形，A（1，1），B（2，1）， ∴C（2，2），D（1，2）， 由题意可知，当直线y＝x+b经过B（2，1）时b的值最小， 即2×1+b＝1， 解得b＝﹣1； 当直线y＝x+b过D（1，2）时，b最大， 即2＝1×1+b， 解得b＝1， ∴能够使黑色区域变白的b的取值范围为﹣1≤b≤1． 故选：C． 11.如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（　　） A.x＝20 B.x＝5 C.x＝25 D.x＝15 【答案】A 【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：A． 12.如图，直线y＝x+4和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+4＝ax+b的解是（　　） A.x＝16或x＝20 B.x＝20 C.x＝16 D.x＝﹣16 【答案】C 【解析】∵直线y＝x+4和直线y＝ax+b相交于点P（16，20）， ∴方程x+4＝ax+b的解为x＝16， 故选：C． 二、填空题 13.如图，已知点A的坐标为（2，﹣3），则点A到x轴的距离为 　　． 【答案】3． 【解析】解：点A（2，﹣3）到x轴的距离为|﹣3|＝3． 故答案为：3． 14.如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为　　． 【答案】（3，0）或（9，0） 【解析】解：如图，设P点坐标为（x，0）， 根据题意得•4•|6﹣x|＝6， 解得x＝3或9， 所以P点坐标为（3，0）或（9，0）． 故答案为：（3，0）或（9，0）． 15.如图，△ABC关于平行于x轴的一条直线对称，已知A点坐标是（1，2），C的坐标为（1，﹣4），则这条平行于x轴的直线是 　　． 【答案】y＝﹣1． 【解析】解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC， 又A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，﹣4）， ∴AC＝6， ∴点A，C到该直线的距离都为3，即可得直线为y＝﹣1 故答案为：y＝﹣1． 16.如图是小乐从学校到家里行进的路程a（米）与时间t（分）之间关系的图象观察图象，从中得到如下信息： ​①学校离小乐家1000米； ②小乐用了20分钟到家； ③小乐前10分钟走了路程的一半； ④小乐后10分钟比前10分钟走得快， 其中正确的有 　      　（填序号）． 【答案】①② 【解析】①由图象的纵坐标可以看出学校离小乐家1000米，故①正确； ②由图象的横坐标可以看出小乐用了20分钟到家，故②正确； ③由图象的纵横坐标可以看出，小乐前10分钟走的路程较多，故③错误； ④由图象的纵横坐标可以看出，小了后10分钟比前10分钟走得慢，故④错误； 故答案为：①②． 17.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过A1点作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A9的坐标为　　，点A2019的坐标为　　． 【答案】（16，32）（﹣21009，﹣21010） 【解析】当x＝1时，y＝2， ∴点A1的坐标为（1，2）； 当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2， ∴点A2的坐标为（﹣2，2）； 同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），A9（16，32），…， ∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1）， A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）． ∵2019＝504×4+3， ∴点A2019的坐标为（﹣2504×2+1，﹣2504×2+2），即（﹣21009，﹣21010）． 故答案为（16，32），（﹣21009，﹣21010）． 三、解答题 18.在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点B是点A的“a倍关联点”．例如，点A（1，2）的“3倍关联点”B的横坐标为：3×1+2＝5，纵坐标为：1+3×2＝7，所以点A的“3倍关联点”B的坐标为（5，7）． （1）已知点M（﹣4，6）的“倍关联点”是点N，求点N的坐标； （2）若点Q是点P（1，2m）的“﹣2倍关联点”，且点Q在y轴上，求点Q到x轴的距离． 【答案】解：（1）∵点M（﹣4，6）的“倍关联点”是点N， ∴N点的横坐标为：×（﹣4）+6＝4，N点的纵坐标为：﹣4+×6＝﹣4+3＝﹣1， ∴N（4，﹣1）； （2）∵点Q是点P（1，2m）的“﹣2倍关联点”， ∴点Q的横坐标为：（﹣2）×1+2m＝﹣2+2m，点Q的纵坐标为：1+（﹣2）×2m＝1﹣4m， ∴Q（﹣2+2m，1﹣4m）， ∵点Q在y轴上， ∴﹣2+2m＝0， 解得m＝1， ∴1﹣4m＝﹣3， ∴Q（0，﹣3）， ∴点Q到x轴的距离为3． 【解析】 19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，2），C（﹣2，1）． （1）画出△ABC； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1； （3）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2； （4）直接写出点B1，B2的坐标． 【答案】解：（1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： （4）B1（﹣4，﹣2），B2（4，﹣2）． 【解析】 20.已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y． （1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当x＝5时，求出函数值． 【答案】解（1）由题意得：12＝2x+y ∴可得：y＝12﹣2x， 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：y＜2x，2x＜12 ∴可得3＜x＜6． （2）由（1）得：y＝12﹣2x ∴当x＝5时函数值＝2． 【解析】 21.若函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1）是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？ 【答案】解由题意得，m2﹣m＝0，m≠0， 解得，m＝1． 【解析】 22.受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： （1）已知放入小球后量筒中水面的高度y（cm）是放入小球个数x（个）的一次函数，从图中可以看出函数经过点（0，30）与点（3，36），试确定该函数表达式； （2）当水桶中至少放入　　个小球时，有水溢出． 【答案】解（1）设放入小球后量筒中水面的高度y（cm）是放入小球个数x（个）之间的函数表达式为：y＝kx+b， 将（0，30）与点（3，36）代入， 得， 解得， 故放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数表达式为：y＝2x+30； （2）要使量筒有水溢出，则y＝2x+30≥49， 解得x≥9.5， ∵小球的个数是正整数， ∴x最小取10， 即至少要放入的小球个数为10个． 故答案为：10． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$