广东省佛山市南海区2024-2025学年下学期中小学期末考试八年级数学试卷

南海区2024~2025学年第二学期中小学期末学业水平监测 八年级数学试题 本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.如题1图是某隧道的限高标志，规定通过的车辆高度不能超过4.5m,则通过该隧道的 车高x的范围可表示为() A.x≥4.5 B.x>4.5 C.x≤4.5 D.x<4.5 2.下根据分式的基本性质，分式A可变形为() 题1图 A. D.-4 B B. C.A -B B 3.下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是() A.3a+3b=3(a+b) B.a2-a+1=a(a-1)+1 C.a2+4a+4=(a+2) D.a2-9=(a+3)(a-3) 4.在平面直角坐标系中，点P(1,-1)平移后的坐标为(0，-1)，则点P平移的方向是() A.向左 B.向右 C.向上 D.向下 B 5.把两个完全一样的三角板如题5图摆放，它们的顶点重合于点M, 则点M一定在() A.∠A的平分线上 B.AC边的高上 C.BC边的垂直平分线上 D,AB边的中线上 题5图 6.如题6图，在四边形ABCD中，AB∥CD,添加下列条件，能判定 四边形ABCD是平行四边形的是() A.∠D=∠C B.BC=AD C.∠A=∠B D,AD∥BC 题6图 7.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今己有4000多年的历史，以下是在棋谱中截 取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是( 八年级数学试卷共6页本页第1页 持神牌辮 8.如题8图，在等边△ABC中，AB=4cm,BD平分∠ABC,点E在 BC的延长线上，且∠E=30°，则CE的长是() A.1 cm B.2cm C.3 cm D.4cm 题8图 9.某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册m元，现每册降价x元销售，当这 种图书的库存全部售出时，其销售额为元.从降价销售开始时，这种图书的库存量 是()册. A. B.m C. n D.m m+x n+x m-x n-x 10.如题10图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中 点，则四边形EGFH的周长() A.只与AB、CD的长有关 G B.只与AD、BC的长有关 C.只与AC、BD的长有关 E B D.与四边形ABCD各边的长都有关 题10图 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. y-kx+b 11.在△ABC中，若∠A-∠B=∠C,则△ABC是 三角形. B 12.一次函数y=c+b与y2=x+a的图象，如题12图，则 cx+b>x+a的解集是 13.请写一个分式，使它满足当x=-1时，分式无意义，当x=2时， 题12图 它的值为0，这个分式可以是 14.如题14图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌 组成一个大五边形，则图中∠BAC的度数为 BC 题14图 八年级数学试卷共6页本页第2页 15.如题15图，在△ABC中，点P在△ABC内部，AB=AC=13, BP⊥CP于点P,BP=8,CP=6,则阴影部分的面积为 A 题15图 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23 题14分，共75分. 16.解不等式：4x+1>x-2,并把解集表示在数轴上. 17.化简： m+22m-6÷2m-2,并在-3、1、2中选择一个合适的m值，代入求分式 m-1m2-9m+3 的值 18.如题18图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC,∠I=∠2. 求证：△ADE≌△BEC. E 2 题18图 19。观察下面算式的规律，解决问题： ①32-12=8×1；②52-32=8×2；③72-52=8×3；④92-7=8×4. (1)根据以上规律写出第⑤个等式： (2)通过上面的算式，小明得出了一个结论：两个相差2的奇数的平方差一定是8的倍 数.请你证明这个结论， 八年级数学试卷共6页本页第3页 20.操作与实践：已知△OBC. (1)尺规作图：作△ODA,使得△ODA与△OBC关于点O中心对称，点B和点C的对 应点分别是点D和点A:(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)已知点F是线段BC上的动点，连接AB、CD、FO, 延长FO与AD交于点E.根据题意，把图形补充完 B 整，判断四边形ABCD的形状，并证明OE=OF. 题20图 21.花店计划从花场购进甲、乙两种花卉，其中乙花卉的进价比甲花卉的进价少5元/箱， 用96元购买的乙花卉的数量与用102元购买的甲花卉的数量相同，运输过程中甲花 卉的数量会损失5%，乙花卉的数量会损失10%. (1)求甲、乙花卉的进价： (2)如果花店在进价的基础上提高10%作为售价，假设花店计划只购进甲、乙其中的 款花m束.此时： 如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为 元（用含m的代数式表示，无需化简）： 如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为 元（用含m的代数式表示，无需化简）： 花店为了不亏本，应该选择购买 花卉.（填“甲”或“乙”或“任意一款”）： (3)现花店打算只购买乙花卉，请通过计算说明乙花卉的售价每箱最低应提高百分之几， 才能使得花店获得至少15%的利润？（精确到1%） 22.综合与实践 综合与实践课上，老师设计“电车充电计 该时段的充电收费 费”为主题的综合实践活动， 充电时段 标准（元/度） 【材料一】随着电动汽车的普及，某公司 货车 商务车 购入一台电动商务车（每次充电75度）和一 0时一6时 0.6 0.6 6时一12时 1.2 1.0 台电动货车（每次充电210度），充电桩充电 12时一18时 1.8 1.6 速度为每小时30度，每次必须连续充满电. 18时一24时 1.6 1.4 【材料二】充电过程中，不同的时段，不同车型，对应每小时的收费标准有所不 同，如上表所示： 八年级数学试卷共6页本页第4页 【材料三】公司仅有一个充电桩，每次仅能为一辆车充电.假设每次充电均在电 量完全耗尽后立即开始，并连续充至满电，为了研究更合理的充电安排，进行以下任 务： 任务一：如果在0时一6时开始充电，有两种充电方案： 方案A:先充商务车，再充货车： 方案B:先充货车，再充商务车： 比较两种充电方案那种更省钱？ 任务二：设x为电车开始充电的时刻， 商务车充电的费用记作w元，货车充电的费用记作%，元· ①当x为5时至6时中的某一个时刻(5≤x≤6)，直接写出商务车充电的费用州与充电 的时刻x之间的函数关系式 2当x为7时至8时中的某一个时刻(7≤x≤8)，直接写出货车充电的费用w,与充电的 时刻x之间的函数关系式 ③根据①②所列的函数关系式，说明为何“开始时间越晚，费用越高”，并提出包含数 学依据的优化建议。 23.综合与探究： 折纸作为融合生活实践与数学探究的活动，其折叠过程 生动展现了对称性、等长线段、等角关系及图形全等等几何 原理，综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形A 的折叠“为主题的数学活动， 题23-1图 如题23-1图，平行四边形纸片ABCD,AB的长度不确 D 定，点P是AB上的一个动点，连接DP,把平行四边形 ABCD沿着线段PD对折，点A的对应点为A', 【探究1】如题23-2图，当P与B重合时，连接A'C, 探究AC与BD的位置关系，请完成下面的证明过程： 题23-2图 八年级数学试卷共6页本页第5页 证明： :在平行四边形ABCD中，AB=CD :△ABD沿BD翻折至△ABD .A'B=CD .∠DBA=∠ABD,AB=AB .A'B-EB=DC-ED :在平行四边形ABCD中，AB∥CD, ∴∠DBA= ZEAC=∠ECX=180°-∠AEC ∠_=∠ —=(180°-∠DEB), .'∠DEB=∠AEC .EB=ED ,AC∥BD 【探究2】如题23-3图，若A刚好能落在BC的中点时，且BP=1,求AP的长： D P 题23-3图 【探究3】如题23-4图，若∠A=30°，AD=2,当P刚好落在点AB的中点上时， Q是DC的中点，连接AQ,若△ADQ是直角三角形，直接写出AB的长. D A' 题23-4图 D B 题23-4备用图 八年级数学试卷共6页本页第6页 ∴△ADE 和△BEC 均为直角三角形，。。。。。。2 分 ∵∠1＝∠2， ∴DE＝EC，。。。。。。4 分 在 Rt△ADE 和 Rt△BEC 中， { 𝐷𝐸 𝐴𝐸 = = 𝐵𝐶 𝐸𝐶 ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）．。。。。。。7 分 2024-2025 学年八年级（下）数学期末考试卷评分标准 一．选择题（（每题 3 分，共 30 分）） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A A D C B C B 二、填空题：（每题 3 分，共 15 分） 11. 直角 12. 𝒙 < −𝟏 13. 𝒙−𝟐 𝒙+𝟏 (答案不唯一) 14. 36° 15. 36 三、解答题：本大题共 8 小题，16 题～18 题每题 7 分，19～21 题每题 9 分，22 题 13 分，23 题 14 分，共 75 分。 16. 解不等式：4𝑥 + 1 > 𝑥 − 2 解： 4𝑥 − 𝑥 > −2 − 1 。。。。。。2 分 3𝑥 > −3 。。。。。。4 分 𝑥 > −1 。。。。。。6 分 数轴上表示解集 。。。。。。7 分 17. 𝑚+2 𝑚−1 − 2𝑚−6 𝑚2−9 ÷ 2𝑚−2 𝑚+3 𝑚−解原式= 𝑚+2 1 − （𝑚 2 + ( 3 𝑚 ） − ( 3 𝑚 ) −3) ÷ 2( 𝑚 𝑚 + − 3 1) 。。。。。。1 分 𝑚+2 𝑚−1 − 2(𝑚−3) （𝑚+3）(𝑚−3) × 𝑚+3 2(𝑚−1) 𝑚+2 𝑚−1 − 1 𝑚−1 。。。。。。2 分 。。。。。。3 分 = = = 𝑚+1 𝑚−1 。。。。。。4 分 要使分式有意义，m 取 2 当 m=2 时， −原式= 2 2 +1 1 =3 。。。。。。5 分 。。。。。。7 分 18．(1)证明：∵∠A＝∠B＝90°， 19. （1）112﹣92＝8×5 。。。。。。3 分 （2）证明：设两个连续的奇数为 2n﹣1，2n+1，则：。。。。。。4 分 （2n+1）2﹣（2n﹣1）2。。。。。。5 分 ＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1）。。。。。。6 分 ＝8n， 。。。。。。7 分 ∵n 为整数， ∴两个连续奇数的平方差是 8 的倍数 。。。。。。8 分 。。。。。。9 分 20．（1）作图 ∴△OAD 是所求画的。。。。。。3 分 （2）补全图形 。。。。4 分 ∵△ODA 和△OBC 关于点 O 中心对称∴OA=OC ,OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， 。。。。。。5 分 。。。。。。6 分∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△AOE 和△COF 。。。。。。7 分 中， ， 。。。。。。8 分∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF． 。。。。。。9 分 21.（1）设甲花卉进价为 x 元/箱，则乙花卉进价为（𝑥 − 5）元/箱 𝑥 − 5 96 = 102 𝑥 。。。。。。1 分 解之得：𝑥 = 85 经检验：𝑥 = 85 方程的解。 。。。。。。2 分 。。。。。。3 分 所以乙花卉的进价为：𝑥 − 5 = 80（元/箱） 答：甲花卉进价为 85 元/箱，则乙花卉进价为80元/箱 （2）85(1 + 10%)𝑚(1 − 5%) 。。。。。。4 分 80(1 + 10%)𝑚(1 − 10%) 。。。。。。5 分 85(1 + 10%)𝑚(1 − 5%) = 88.825𝑚 > 85𝑚 80(1 + 10%)𝑚(1 − 10%) = 79.2𝑚 < 80𝑚 所以应该选择甲花束 。。。。。。。6 分 （3）设乙花卉每箱应提高 a 答：乙花卉的售价每箱最低应提高 28% 。。。。。。9𝒂 ≥ 𝟐𝟖 。。。。。。8(𝟏 + 𝒂)(𝟏 − 𝟏𝟎%) ≥ (𝟏 + 𝟏𝟓%) 分 % 分 。 （2）延长 PA′与 DC 交于点 M， ∵在四边形 ABCD 是平行四边形中，DC∥AB，∴∠MDP＝∠DPA， ∵△ABM 折叠得到△A'BM，∴∠DPA＝∠DPA′，∴∠MDP＝∠DPA′， 。。。。。。。5 分∴MD＝MP， 设 AP＝A′P＝x， ∴AB＝DC＝AP+PB＝1+x， ∵DC∥AB，∴∠B＝∠MCA′，∠A'PB＝∠M， ∵点 A′是 CB 的中点，∴A′B＝A′C， 在△PA'B 和△CA'M 中，  ∥A C BD   =ECA EDB   EA C = ECA = −A EC 2 (180 ) 1 DEB = A EC 在平行四边形 ABCD 中， =AB CD A B =CD A B − EB = DC − ED A E =CE EB = ED = −DEB 2 (180 ) 1 , EBD =  EDB 在平行四边形 ABCD 中， ∥AB CD ,  =DBA CDB DBA =A BD , = AB A B 沿 BD翻折至 A BDABD 证明：如题 23-2 图 22. 任务一：商务车充电一次需要 2.5 小时 。。。。。。1 分 货车充电一次需要 7 小时； 。。。。。。2 分 方案 A：商务车：30 × 0.6 × 2.5 = 45（元） 货车：30 × 0.6 × (6 − 2.5) + 30 × 1.2 × [7 − (6 − 2.5)] = 189(元） 总费用：45 + 189 = 234（元） 。。。。。。4 分 方案 B：货车：30 × 0.6 × 6 + 30 × 1.2 × 1 = 144(元） 商务车：30 × 1.0 × 2.5 = 75（元） 总费用：144 + 75 = 219（元） 。。。。。。6 分 所以，方案 B 更省钱 。。。。。。7 分 任务二：（1）𝑤1 = 30 × 0.6 × (6 − 𝑥) + 30 × 1.0 × [2.5 − (6 − 𝑥)] = 12𝑥 + 3 。。。9 分 （2）𝑤2 = 30 × 1.2 × (12 − 𝑥) + 30 × 1.8 × [7 − (12 − 𝑥)] = 18𝑥 + 162 。。。。。。11 分 （3）无论是𝑤1 = 12𝑥 + 3，𝑤2 = 18𝑥 + 162 k 都大于 0，w 都是随着 x 的增大而增大的， 所以开始时间越晚，充电过程覆盖高费率时段的比例越高。例如，商务车在 5 时开始充电， 仅 1 小时为低费率；若 6 时开始，则全部为高费率。 所以给出的数学优化建议是：尽早开始充电；调整充电顺序，结合 w1 和 w2 的 k 值的差异 𝑘2 > 𝑘1（斜率 18>12），表示货车费用增长更快，应优先固定货车充电时间至更低费率时段 。。。。。。。13 分 23.(1) 。。。。。。。4 分 则 OD= 2 3 √3 A′O = 4 3 √3 , 由（1）可知，四边形 APQD 是平行四边形，则 O A′＝OQ ∴ OQ = 4 3 √3 ∴ DQ = 4 3 √3 + 2 3 √3 = 6 3 √3 ∴AB=4√3 由折叠可知∠𝐴 = ∠PA′D = 30° ∵DC∥AP∴∠𝐴𝐷𝐶 = 150° ∠A′DQ = ∠A′OB = 90° 则 ∠𝐴𝐷𝐴’ = 60°，∠𝐴𝐷𝑃 = ∠PD𝐴′ = 30° ∴∠𝑃𝐷𝐴′ = ∠P𝐴′D = 30° ∴当 AD=2 则 DO=1, OP = 1 3 √3 OA = √3 ∴AP = OA − OP = 2 3 √3 ∴AB = 4 3 √3 Ⅱ 当∠DA′Q = 90°时 DC∥AP 则 ∠𝐴 = ∠A′DQ = 30° ∠DA′P = ∠A = 30°，AD = A′D = 2 则 A′Q = 2 3 √3 𝐷𝑄 = 4 3 √3 , ∴AB= 8 3 √3 Ⅲ 当∠DQA′ = 90°时则 ∠𝐴 = ∠DA′P = 30° 由（1）可知，四边形 APQD 是平行四边形，则 A′Q∥ DP 又∵DC∥AP ∴ 四边形 DPA′Q 是平行四边形 AP = PA′ = 2 则 ∴AB=2√3 { ∠𝐴 ＝∠ ∠𝐵 ′PB ＝∠ 𝐴′𝐵＝𝐴 MC ′𝐶 𝐴 𝑀 ′， ∴△PA'B≌△CA'M（AAS），∴PB＝CM＝1， A'P＝A'M＝x， 。。。。。。。6 分 ∴MP＝P A'+A'M＝2x 。。。。。。。7 分 ∵DM＝DC+CM＝1+ x+1＝x+2， 。。。。。。。8 分 ∵MD＝MP ∴2x＝x+2，解得 x＝2， (3)4√3 或 4 3 3 √3 或 8 √3 或 2√3 AP＝2．。。。。。。。9 分 。。。。。。。14 分 （注：只要有 1 个正确答案则得 1 分，只要有 2 个正确答案得 2 分，答对 3 个且没有错得 4 分，答对 3 个但含有错误答案得 2 分，答对 4 个得 5 分） Ⅰ当∠A′DQ = 90°时 ∠DA′O = ∠A = 30°，AD = A′D = 2 P C A D Q A' O B