2.2.2基本不等式的应用学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

本文围绕基本不等式的简单应用展开，承接重要不等式等知识背景，为后续深入学习不等式相关内容奠基。通过解决最值、比较大小、证明等问题，培养学生数学运算与逻辑推理素养，如在例题讲解与跟踪训练中渗透。 该设计创新点在于以多种类型例题和跟踪训练构建知识体系。从学生层面看，能提升其解决问题能力；从教师层面看，提供了清晰授课路径；从课堂效果看，有效突破利用基本不等式求最值这一教学难点。

2.2.2基本不等式简单应用 1、 教学目标及重、难点 1. 教学内容：基本不等式简单应用. 2. 教学目标：①灵活运用基本不等式解决最值问题.②运用基本不等式比较大小及进行简单的证明. 3.教学重点：利用基本不等式解决最值问题. 4.教学难点：利用基本不等式求最值的分析方法及基本题型的通性通法. 5.核心素养：①借助基本不等式解决最值问题，提升数学运算能力.②通过基本不等式的证明，培养逻辑推理能力. 二、复习引入： 1.重要不等式 2.基本不等式： 3.基本不等式的推广： 三、基本不等式的简单应用 探究（一）：常数代换法求最值 例1.（1）已知两正数满足，求的最小值． （2）已知，且，求的最小值. 小结： 【跟踪训练1】（1）已知，且，则的最小值为______ . （2）已知正实数，满足，则的最小值为 . 探究（二）：分式型代数式（一次比二次，或二次比一次）求最值 例2.（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时x的值. （2）已知x>0，求的最大值． （3）若，求的最小值，并写出取得最小值时x的值. 小结： 【跟踪训练2】 （1）求的最小值. （2）已知，求的最大值. （3）求的最大值. 探究（三）：消元法求最值 例3.（1）已知正实数a,b满足，则的最大值为 . （2）已知正数x,y满足，则的最小值为___________. 小结： 【跟踪训练3】 （1）已知，且，则的最大值为 . （2）已知正实数a,b满足，则的最小值为 . 探究（四）：基本不等式综合问题（恒成立问题） 例4.（1）对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． （2）已知，若不等式 恒成立，则实数m的最小值为 . 小结： 【跟踪训练4】（1）若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . （2）已知实数且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 （3）（多选）若对于任意，恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 探究（五）：利用基本不等式比较大小 例5.已知a>0，b>0，且a≠b，则，，，中最小的是________． 【跟踪训练5】 已知0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是________． 探究（六）：利用基本不等式证明 例6.（1）已知是不全相等的三个正数，求证：. （2）已知均为正数，且.求证：. 【感悟提升】利用基本不等式证明不等式的策略 （1）利用基本不等式证明不等式时，可依据要求证不等式的两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤；≥(a>0，b>0)可变形为等． (2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意多次运用基本不等式时等号成立的条件． (3)当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式． 【跟踪训练6】 1. 求证：． 2. 已知都是正数，求证：. 四、当堂检测： 1. 已知正实数x,y满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2. 设,则的最小值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 3.（多选）已知且，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 4.（多选）已知，且，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为8 5.的最小值为 . 6．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 7.已知，则的最小值是 ，此时 ． 五．课堂小结： 通过本节课的学习，你有什么收获？掌握了哪些新方法、新题型?你能自己归纳总结一下吗？ 6、 课后作业 1. 金版教程《课时作业》. 学科网（北京）股份有限公司 $$