第十四章　全等三角形 课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

第十四章　全等三角形 14.2　三角形全等的判定 第3课时　用“SSS”判定两个三角形全等 1. 如图,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,利用“SSS”判定△ABC和△FED全等时,给出下列条件:① AE=FB;② AB=FE;③ AE=BE;④ BF=BE.其中,可利用的是 (　　) A. ①或② B. ②或③ C. ①或③ D. ①或④ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. (教材P46习题14.2第18题变式)如图,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可以判定△　　 　　≌△　　　　.  3. 如图,在△ABC中,AD=DE,AB=BE,∠A=85°,则∠DEC=　　　　. 　　　 4. 如图,以△ABC的顶点A为圆心,BC长为半径作弧,再以顶点C为圆心,AB长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD,CD.若∠B=65°,则∠D的度数为 　　　　. ABE ACE 95° 65° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE.求证:∠A=∠B.完成下面的证明过程. 证明:∵ C是AB的中点(已知), ∴ 　　　　=　　　　.  在△　　　　和△　　　　中,  ∴ △　　　　≌△　　　　(　　　).  ∴ ∠A=∠B(　　　　　　　　　　　　　). AC BC ACD BCE AC BC 已证 ACD BCE SSS 全等三角形的对应角相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. (教材P38练习第1题变式)如图,点A,F,C,D在同一条直线上,AF=DC,AB= DE,BC=EF,求证:∠ACB=∠DFE. ∵ AF=DC,∴ AF+CF=DC+CF,即AC=DF.在 △ABC和△DEF中,∴ △ABC≌ △DEF.∴ ∠ACB=∠DFE 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图,D是BC上一点,AB=AD,BC=DE,AC=AE. (1) 若∠BAD=38°,求∠CAE的度数; (2) 求证:∠CDE=∠BAD. (1) 在△ABC和△ADE中,∴ △ABC≌ △ADE.∴ ∠BAC=∠DAE.∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE -∠DAC,即∠BAD=∠CAE=38°　 (2) 由(1)知,△ABC≌△ADE,∠BAD=∠CAE,∴ ∠C=∠E.又∵ ∠E+ ∠AFE+∠CAE=180°,∠C+∠CFD+∠CDE=180°,∠AFE=∠CFD,∴ ∠CDE=∠CAE.∵ ∠BAD=∠CAE,∴ ∠CDE=∠BAD 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,AE=AD,AB=AC,EC=DB,有下列结论:① ∠C=∠B;② ∠D=∠E; ③ ∠EAD=∠BAC;④ ∠B=∠E.其中,不一定正确的是 (　　) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ④ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 根据下列条件,能画出唯一一个△ABC的是 (　　) A. AB=4,BC=6,∠A=120° B. AB=1,BC=2,AC=3 C. AB=4,BC=3,∠A=30° D. ∠A=30°,∠B=60°,∠C=90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 11 12 13 10. (教材P37例3变式)如图,△ABC是一个屋架,AB=AC,D为BC的中点.有下列结论:① △ABD≌△ACD;② AD⊥BC;③ AD平分∠BAC;④ ∠B=∠C =45°.其中,不一定正确的是　　　　(填序号). ④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE,且B,D,E三点共线.若∠CAE=18°, ∠ACE=48°,求∠ADE的度数. 在△ABD和△ACE中,∴ △ABD≌△ACE. ∴ ∠BAD=∠CAE=18°,∠ABD=∠ACE=48°.∴ ∠ADE=∠BAD+∠ABD=66° 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,AD=CB,AB=CD.求证:∠BAD+∠ADC=180°. 如图,连接AC.在△ADC和△CBA中, ∴ △ADC≌△CBA.∴ ∠DCA=∠BAC.∴ AB∥CD. ∴ ∠BAD+∠ADC=180° 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 小明在做数学作业时,遇到这样一道题:如图,AB=CD,CB=AD,求证: ∠A=∠C.小明动手测量了一下,发现∠A确实等于∠C,但他不能说明其中的道理,你能帮助他吗? 如图,连接BD.在△ABD和△CDB中, ∴ △ABD≌△CDB.∴ ∠A=∠C 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第十四章　全等三角形 14.3　角的平分线 第1课时　角的平分线(1) 1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,能说明∠AOC= ∠BOC的依据是 (　　) A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB= ∠C.若P是边BC上一动点,则DP长的最小值为 (　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 3. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,DE⊥BC于点E.若△ABC与△CDE的周长分别为17和7,则AB的长为 (　　) A. 10 B. 16 C. 8 D. 5 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E. (1) 若BC=8,BD=5,则DE=　　　　;  (2) 若BC=20,BD∶CD=3∶2,则点D到AB的距离是　　　　.    5. 如图,E是△ABC内一点,BE平分∠ABC,过点E作ED⊥BC于点D,连接EA.若ED=5,AB=10,则△AEB的面积是　　　　. 3 8 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. (新情境·现实生活)如图,铁路OA和铁路OB交于点O处,河岸AB与两条铁路分别交于点A处和点B处,试在河岸AB上建一座水厂M,要求M到铁路OA,OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置? 如图,作∠AOB的平分线交AB于点M,点M处即为该水厂 所建位置 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. (教材P52习题14.3第1题变式)如图,在△ABC中,BE=CF,AD平分∠BAC, DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:D是BC的中点. ∵ AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴ DE=DF,∠BED =∠CFD=90°.在△BED和△CFD中, ∴ △BED≌△CFD.∴ BD=CD,即D是BC的中点 第7题 8. 如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E.若△ABC的面积是15cm2, AB=9cm,BC=6cm,则DE的长为 (　　) A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图,在△ABC中,按以下步骤作图:① 以点B为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,BC于点D,E;② 分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;③ 作射线BF交AC于点G.如果=,那么=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. (教材P53习题14.3第8题变式)如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是　　　　. 4 解析:过点P作PE⊥BC于点E.∵ BP平分∠ABC,PA⊥AB,PE⊥BC,∴ PA= PE.∵ PA⊥AB,AB∥CD,∴ PD⊥CD.又∵ CP平分∠DCB,∴ PD=PE.∴ PE=PA=PD=AD=×8=4,即点P到BC的距离是4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,在Rt△ABC和Rt△BAD中,∠C=∠D=90°,AD平分∠CAB,BC平分∠ABD,AD,BC相交于点O.求证:OC=OD. 如图,过点O作OE⊥AB于点E.∵ ∠C=90°,即OC⊥ AC,AO平分∠CAB,∴ OC=OE.同理,可得OD=OE, ∴ OC=OD 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点E在BD上,连接AE,CE,DF⊥AE, DG⊥CE,垂足分别是F,G.求证:DF=DG. ∵ BD平分∠ABC,∴ ∠ABE=∠CBE.在△ABE和△CBE 中,∴ △ABE≌△CBE.∴ ∠AEB=∠CEB. ∴ ∠AED=∠CED,即ED平分∠AEC.又∵ DF⊥AE,DG⊥ CE,∴ DF=DG 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F,且BD=CD. (1) 图中与△BDE全等的三角形是　　　　,请加以说明; 第13题 △CDF (1) ∵ AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴ DE= DF,∠BED=∠F=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中, ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若AE=6cm,AC=4cm,求BE的长. (2) 在Rt△ADE和Rt△ADF中,∴ Rt△ADE≌ Rt△ADF.∴ AE=AF.∵ AE=6cm,∴ AF=6cm.∵ AC=4cm, ∴ CF=AF-AC=2cm.由(1),可知Rt△BDE≌Rt△CDF, ∴ BE=CF.∴ BE=2cm 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第十四章　全等三角形 小专题(二)　全等三角形中的基本模型 类型一　平移模型 1. (教材P45习题14.2第13题变式)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD= BE,AC=DF,BC=EF. (1) 求证:△ABC≌△DEF; 1 2 3 4 5 6 7 8 (1) ∵ AD=BE,∴ AD+BD=BE+BD,即AB=DE.在 △ABC和△DEF中,∴ △ABC≌△DEF　 第1题 (2) 若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 由(1)知,△ABC≌△DEF.∵ ∠A=55°,∴ ∠A= ∠FDE=55°.∵ ∠E=45°,∴ ∠F=180°-(∠FDE +∠E)=180°-(55°+45°)=80° 第1题 类型二　翻折模型 2. 如图,O是AB的中点,OC=OD,∠AOD=∠BOC,连接AC,BD.求证:AC=BD. ∵ O是AB的中点,∴ OA=OB.∵ ∠AOD=∠BOC, ∴ ∠AOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC,即∠AOC= ∠BOD.在△AOC和△BOD中, ∴ △AOC≌△BOD.∴ AC=BD 第2题 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,E是AD上一点,且EB=EC.求证: BD=CD. 在△ABE和△ACE中,∴ △ABE≌△ACE.∴ ∠BAE=∠CAE.在△ABD和△ACD中, ∴ △ABD≌△ACD.∴ BD=CD 第3题 1 2 3 4 5 6 7 8 类型三　旋转模型 4. 如图,在△ABC和△ADE中,∠C=∠E,AC=AE,∠1=∠2,AD,BC相交于点F. (1) 求证:△ABC≌△ADE; 第4题 (1) ∵ ∠1=∠2,∴ ∠1+∠CAD=∠2+∠CAD.∴ ∠CAB= ∠EAD.在△ABC和△ADE中,∴ △ABC ≌△ADE 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 若AB∥DE,∠D=30°,求∠AFB的度数. 第4题 (2) ∵ AB∥DE,∴ ∠1=∠D=30°.由(1),知△ABC≌ △ADE,∴ ∠B=∠D=30°.∴ ∠AFB=180°-∠1-∠B =180°-30°-30°=120° 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 如图,AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC,BE. (1) 求证:△BAE≌△DAC; (2) 若∠CAD=143°,∠D=15°,求∠E的度数. (1) ∵ ∠DAB=∠CAE,∴ ∠DAB+∠BAC=∠CAE+ ∠BAC,即∠DAC=∠BAE.在△BAE和△DAC中, ∴ △BAE≌△DAC　 (2) ∵ △BAE≌△DAC,∴ ∠E=∠C.∵ ∠CAD=143°,∠D=15°,∴ ∠C =180°-(∠CAD+∠D)=22°.∴ ∠E=22° 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 类型四　一线三等角模型 6. 如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),C(-1,0),AC=BC,AC⊥BC,求点B的坐标. ∵ A(0,4),C(-1,0),∴ AO=4,CO=1.过点B作BD⊥x轴于点D. ∵ AC⊥BC,∴ ∠BDC=∠ACB=∠AOC=90°.∴ ∠BCD+ ∠CBD=90°,∠ACO+∠BCD=90°.∴ ∠ACO=∠CBD.在 △AOC和△CDB中,∴ △AOC≌△CDB. ∴ CD=AO=4,BD=CO=1.∴ OD=CD-CO=3.∴ 点B的坐标为(3,-1) 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D在边BC上,点E,F在线段AD上, ∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF. ∵ ∠1=∠2,∴ 180°-∠1=180°-∠2,即∠BEA= ∠AFC.∵ ∠2=∠ACF+∠CAF,∠BAC=∠BAE+ ∠CAF,∠2=∠BAC,∴ ∠BAE=∠ACF.在△ABE 和△CAF中,∴ △ABE≌△CAF 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 类型五　半角模型 8. 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=BC,点E,F分别在AD,CD上,且∠EBF=60°.求证:EF=AE+CF. 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 如图,延长DC至点M,使CM=AE,连接BM,BD.在△ABE和△CBM中, ∴ △ABE≌△CBM.∴ BE=BM,∠ABE=∠CBM. ∵ ∠ADF=60°,∠A=∠BCF=90°,∴ ∠ABC=∠ABD+∠CBD=180°-90°-∠BDA+180°-90°-∠BDC=180°-∠ADF=120°.∵ ∠EBF=60°, ∴ ∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=120°-60°=60°.∴ ∠MBF= ∠MBC+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°.∴ ∠EBF=∠MBF.在△BMF和 △BEF中,∴ △BMF≌△BEF.∴ MF= EF.∵ MF=MC+CF,∴ EF=AE+CF 1 2 3 4 5 6 7 8 $$第十四章　全等三角形 14.1　全等三角形及其性质 1. 有下列说法:① 全等三角形的形状相同、大小相等;② 全等三角形的对应边相等;③ 全等三角形的对应角相等;④ 全等三角形的周长、面积分别相等.其中,正确的是 (　　) A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 2. (教材P31习题14.1第5题变式)如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中,一定成立的是 (　　) A. AC=DE B. AB=AE C. ∠BAD=∠CAE D. ∠B=∠E A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. (2024·济南)如图,△ABC≌△DEC,∠A=60°,∠B=40°,则∠DCE的度数为 (　　) A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 4. (分类讨论思想)已知△DEF≌△ABC,AB=AC,且△ABC的周长是23cm, BC=4cm,则△DEF中必有一边的长为 (　　) A. 9cm或4cm B. 9.5cm或9cm C. 4cm或9.5cm D. 9cm C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. (教材P31习题14.1第3题变式)如图所示的两个三角形全等,已知其中某些边的长度和某些角的度数,则α=　　　　.  6. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(-3,0),(0,2),△OA'B'≌ △AOB.若点A'在x轴的正半轴上,则位于第四象限的点B'的坐标是　　　.　　　 7. (2023·成都)如图,△ABC≌△DEF,点B,E,C,F依次在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF的长为　　　　. 60° (3,-2) 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. (教材P30练习第1题变式)如图,点E,F在线段BC上,△ABF与△DCE全等,点A与点D对应,点B与点C对应,AF与DE交于点M. (1) 用符号表示这两个三角形全等; (2) 写出对应边及对应角. (1) △ABF≌△DCE　 (2) 对应边:AB与DC,AF与DE,BF与CE;对应角: ∠A与∠D,∠B与∠C,∠AFB与∠DEC 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 如图,点B,M,N,C在同一条直线上,且△ABM≌△ACN,∠B=20°,∠CAN =30°.求∠MAN的度数. ∵ △ABM≌△ACN,∠B=20°,∠CAN=30°, ∴ ∠BAM=∠CAN=30°,∠B=∠C=20°.又 ∵ ∠B+∠C+∠BAC=180°,∴ ∠BAC=180° -∠B-∠C=180°-20°-20°=140°.∴ ∠MAN =∠BAC-∠BAM-∠CAN=140°-30°-30°=80° 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 如图,△ABC≌△DEC,A和D是对应顶点,过点A作AF⊥CD,垂足为F.若∠BCE=65°,则∠CAF的度数为 (　　) A. 25° B. 30° C. 35° D. 65° 　　 11. 如图,△ABC≌△FED,∠A=30°,∠B=80°,则∠EDF=　　　　.  A 70° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 如图,△ABC≌△ADE. (1) 若∠EAC=30°,则∠BAD的度数为　　　　;  (2) 若∠BAE=130°,∠CAD=60°,则∠CFE=　　　　. 30° 35° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 如图,△ABC≌△DEF,∠A=33°,∠E=57°,CE=5cm. (1) 求线段BF的长; (2) 试判断DF与BE的位置关系,并说明理由. (1) ∵ △ABC≌△DEF,∴ BC=EF.∴ BC+CF=EF+CF,即 BF=CE=5cm　 (2) DF⊥BE　理由:∵ △ABC≌△DEF,∠A=33°,∴ ∠A =∠D=33°.∵ ∠D+∠E+∠DFE=180°,∠E=57°,∴ ∠DFE=180°-57°-33°=90°.∴ DF⊥BE. 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图,A,D,E三点在同一条直线上,且△BAD≌△ACE. (1) 求证:BD=DE+CE; (2) 若∠E=90°,求证:△ABC是等腰直角三角形; (1) ∵ △BAD≌△ACE,∴ BD=AE,AD=CE.又∵ A,D,E三 点在同一条直线上,∴ AE=DE+AD.∴ BD=DE+CE　 (2) ∵ △BAD≌△ACE,∴ AB=CA,∠BAD=∠ACE.∵ ∠E =90°,∴ ∠CAE+∠ACE=90°.∴ ∠CAE+∠BAD=90°, 即∠BAC=90°.∴ △ABC是等腰直角三角形 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3) 若∠E=90°,则在图中可以通过平移、翻折、旋转中的哪些方法,使△BAD与△ACE完全重合? (3) 答案不唯一,如将△BAD先绕点D按顺时针方向旋转 90°,再向下平移,即可与△ACE完全重合 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,△CAD≌△CED,△CEF≌△BEF, △CEF≌△CAD. (1) 求∠A,∠B的度数; (1) ∵ △CAD≌△CED,△CEF≌△CAD,∴ ∠ACD= ∠ECD,∠ECF=∠ACD.∴ ∠ACD=∠ECD=∠ECF. ∵ ∠ACD+∠ECD+∠ECF=∠ACB=90°,∴ ∠ACD =∠ECD=∠ECF=30°.又∵ △CEF≌△BEF,∴ ∠B =∠ECF=30°.∴ ∠A=90°-∠B=60°　 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 猜想AC,EF之间的位置关系,并说明理由. (2) AC∥EF　理由:∵ △CEF≌△BEF,∴ ∠CFE= ∠BFE.又∵ ∠BFE+∠CFE=180°,∴ ∠BFE=90°. ∴ ∠ACB=∠BFE.∴ AC∥EF. 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第十四章　全等三角形 14.2　三角形全等的判定 第4课时　尺规作图 1. 如图,用尺规作∠OBF=∠AOB,则作图痕迹弧MN是 (　　) A. 以点B为圆心,OD长为半径的弧 B. 以点B为圆心,DC长为半径的弧 C. 以点E为圆心,OD长为半径的弧 D. 以点E为圆心,DC长为半径的弧 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 下列尺规作图中,不一定能判定直线a平行于直线b的是 (　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图,∠AOB=α,C为射线OB上一点,用尺规按如下步骤作图:① 以点O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于点D,交OB于点E;② 以点C为圆心,OD长为半径作弧,交OC于点F;③ 以点F为圆心,DE长为半径作弧,交上一步作的弧于点G;④ 连接CG并延长,交OA于点H,则∠AHC的度数为　　　. 2α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图所示为∠AOB,C是OB上的一点,请用尺规过点C作∠DCB,使得∠DCB=∠AOB(保留作图痕迹,不写作法). 如图,∠DCB或∠D'CB即为所求作的角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图,∠α=40°,利用尺规过点O在直线AB上方作一条射线OD,使得∠AOD=140°(保留作图痕迹,不写作法). 如图,根据尺规作图,得∠BOD=∠α=40°.∵ 点O在直线AB上,∴ ∠AOD =180°-∠BOD=140°.∴ 射线OD即为所求作 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. (教材P44习题14.2第10题变式)如图所示为△ABC,利用直尺和圆规作△BCD,使∠ABC=∠DCB,CD=AB(点D,A在BC的同侧). 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图所示为∠AOB与∠EO'F,分别以点O和点O'为圆心,同样长为半径画弧,交OA,OB于点A',B',交O'E,O'F于点E',F';再以点B'为圆心,E'F'长为半径画弧,交弧A'B'于点H,作射线OH.下列结论不一定正确的是 (　　) A. ∠EO'F=∠AOB B. ∠AOB>∠EO'F C. ∠HOB=∠EO'F D. ∠EO'F+∠AOH=∠AOB A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. (分类讨论思想)∠AOB与∠EPF(∠AOB<∠EPF)的部分尺规作图痕迹如图所示(无需补全作图痕迹),尺规作图过程如下: (1) 以点O为圆心,适当长为半径作弧MN(弧MN足够长),交射线OA,OB分别于C,D两点,连接CD; (2) 以点P为圆心,OD长为半径作弧M'N'(弧M'N'足够长),交PF于点D'; (3) 以点D'为圆心,CD长为半径作弧,交弧M'N'于点C',作射线PC'. 若∠AOB=45°,∠EPF=65°,当PG为∠EPC'的平分线时,∠C'PG的度数为　　 　　. 10°或55° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:由作图可知,∠AOB=∠FPC'=45°.当射线PC'在∠EPF的内部时,如图①.∵ ∠EPF=65°,∠FPC'=45°,∴ ∠EPC'=∠EPF-∠FPC'=65°-45°=20°.∵ PG为∠EPC'的平分线,∴ ∠C'PG=∠EPC'=10°.当射线PC'在∠EPF的外部时,如图②.∵ ∠EPF=65°,∠FPC'=45°,∴ ∠EPC' =65°+45°=110°.∵ PG为∠EPC'的平分线, ∴ ∠C'PG=∠EPC'=55°.综上所述,∠C'PG 的度数为10°或55°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图,在△ABC中,点M在边CB的延长线上,过点M作MP∥AC,N是射线MP上一点,且满足MN=AC. (1) 使用尺规在射线MP的左侧作∠MNQ=∠A,NQ与射线CB交于点Q(不写作法,保留作图痕迹); (1) 如图,∠MNQ 即为所求　 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 求证:AB∥NQ. (2) ∵ MP∥AC,∴ ∠C=∠PMQ.在△ABC和△NQM中, ∴ △ABC≌△NQM.∴ ∠ABC=∠NQM. ∴ AB∥NQ 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图所示为∠ABC. (1) 尺规作图:过点A作BC的平行线AD,使得点D,C在直线AB的异侧. (1) 如图所示　 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 设点E在BC边上,在射线AD上取点F,使得BE=AF,则点E,F到直线AB的距离是否相等?并说明理由. (2) 点E,F到直线AB的距离相等　理由:如图,过点E作 EH⊥AB于点H,过点F作FG⊥AB于点G,则∠AGF= ∠BHE=90°.由(1)中作图,知∠FAG=∠EBH.在△AFG 和△BEH中,∴ △AFG≌△BEH.∴ FG=EH.∴ 点E,F到直线AB的距离相等. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图①,P是△ABC内部一点. (1) 已知图②中线段B'C'与图①中△ABC的边BC相等,请在B'C'的上方作出∠A'B'C'=∠ABC,∠A'C'B'=∠ACB,设A'为这两个角另一边的交点(保留作图痕迹,不写作法); (1) 如图①所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 请通过作图验证AB+AC>PB+PC,给出必要的说明. (2) 如图②,延长BP交AC于点D.在△ABD中, AB+AD>PB+PD,在△PCD中,PD+DC>PC, ∴ AB+AD+PD+DC>PB+PD+PC.∴ AB+AC >PB+PC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第十四章　全等三角形 14.2　三角形全等的判定 第2课时　用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等 1. 如图,画一条线段AB,以AB为边作△ABC,其中BC=4,延长AC到点D,使得CD=AC,延长BC到点E,连接DE.若∠E=∠B,则CE的长为 (　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 如图,点D在AB上,点E在AC上,且∠B=∠C,补充下列一个条件后,仍无法判定△ABE≌△ACD的是 (　　) A. AE=AD B. ∠AEB=∠ADC C. BE=CD D. AB=AC B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. (新情境·现实生活)如图,一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块,他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具,最省事的是带碎片 (　　) A. ① B. ② C. ③ D. ①③ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图,在△ABC和△DEF中,AC=DF,∠A=∠D. (1) 当添加条件　　　　　时,可直接依据“SAS”证明△ABC≌△DEF;  (2) 当添加条件　 　　　　　　时,可直接依据“ASA”证明△ABC≌ △DEF;  (3) 当添加条件　　　　 　时,可直接依据“AAS”证明△ABC≌△DEF. AB=DE ∠ACB=∠DFE ∠B=∠E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. (教材P45习题14.2第13题变式)如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE, AC∥DF,BC∥EF.求证:△ABC≌△DEF. ∵ AC∥DF,∴ ∠A=∠EDF.∵ BC∥EF,∴ ∠E=∠ABC. 在△ABC和△DEF中,∴ △ABC≌△DEF 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. (2023·淮安)如图,D为线段BC上一点,BD=AC,∠E=∠ABC,DE∥AC.求证:DE=CB. ∵ DE∥AC,∴ ∠EDB=∠C.在△BDE和△ACB中, ∴ △BDE≌△ACB.∴ DE=CB 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AE=CE,AD,CE相交于点F.求证:△AEF≌△CEB. ∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB=90°.∴ ∠B+∠EAF=90°. ∵ CE⊥AB,∴ ∠AEF=∠CEB=90°.∴ ∠B+∠ECB =90°.∴ ∠EAF=∠ECB.在△AEF和△CEB中, ∴ △AEF≌△CEB 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一直线上,AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△DEF的是 (　　) A. BC=DE B. BC∥EF C. ∠A=∠DEF D. ∠ABC=∠D 9. 如图,在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠ACB=∠DFE=90°,AB= DE且AB⊥DE.若AC=6,EF=4,CF=3,则BD的长为　　　　. B 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 第8题 10. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(-2,0), 点A的坐标为(-6,3),则点B的坐标为　　　　. (1,4) 解析:过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E.∴ ∠ADC=∠CEB=90°.∴ ∠ACD+∠CAD=90°.∵ ∠ACB=90°,∴ ∠ACD+∠BCE=90°.∴ ∠CAD=∠BCE.在△CAD和△BCE中, ∴ △CAD≌△BCE.∴ AD=CE,CD=BE.∵ A(-6,3),C(-2, 0),∴ OD=6,OC=2,AD=3.∴ CD=OD-OC=4.∴ CE=3,BE=4.∴ OE=CE-OC=1.∴ 点B的坐标为(1,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,D是△ABC的边AB上一点,CF∥AB,DF交AC于点E,DE=EF. (1) 求证:△ADE≌△CFE; (2) 若AB=5,CF=4,求BD的长. (1) ∵ CF∥AB,∴ ∠ADF=∠F,∠A=∠ECF.在△ADE和 △CFE中,∴ △ADE≌△CFE　 (2) ∵ △ADE≌△CFE,∴ AD=CF=4.∴ BD=AB-AD=5-4=1 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. (教材P60复习题14第11题变式)如图,Rt△ABC的直角顶点C在直线l上, AC=BC,过A,B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为D,E. (1) 请你在图中找出一对全等三角形,并加以说明; (2) 若BE=3,DE=5,求AD的长. (1) △ACD≌△CBE　∵ ∠ACB=90°,∴ ∠ACD+∠ECB =90°.∵ AD⊥CE,BE⊥CE,∴ ∠ADC=∠CEB=90°.∴ ∠ACD+∠DAC=90°.∴ ∠ECB=∠DAC.在△ACD和△CBE中,∴ △ACD≌△CBE (2) ∵ △ACD≌△CBE,∴ CD=BE=3,AD=CE.又∵ CE=CD+DE=3+5=8, ∴ AD=8 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,点D在AB上,点E在AC上,连接BE,CD交于点F.已知AB=AC,∠B= ∠C. (1) 求证:BD=CE; (1) 在△ABE和△ACD中, ∴ △ABE≌ △ACD.∴ AE=AD.∴ AB-AD=AC-AE,即BD=CE 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求证:△BDF≌△CEF; (3) 连接AF,求证:AF平分∠BAC. (2) 在△BDF和△CEF中,∴ △BDF≌ △CEF　 (3) 由(2),知△BDF≌△CEF,∴ BF=CF.在△ABF和△ACF 中,∴ △ABF≌△ACF.∴ ∠BAF=∠CAF,即AF平分∠BAC 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第十四章　全等三角形 14.2　三角形全等的判定 第5课时　用“HL”判定两个直角三角形全等 1. 下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 (　　) A. 两个锐角分别对应相等 B. 两条直角边分别对应相等 C. 一条直角边和斜边分别对应相等 D. 一个锐角和一条斜边分别对应相等 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 如图,AC⊥AB,AC⊥CD,要使得△ABC≌△CDA.若以“HL”为判断依据,则需添加的条件是 (　　) A. ∠ACB=∠CAD B. AB=CD C. ∠B=∠D D. BC=DA D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 如图,∠C=∠D=90°,要判定△ABC≌△BAD,在不添加辅助线和其他字母的情况下,还需要什么条件?把这些条件写出来,并在括号内填上判定它们全等的依据(每条横线上只填写一个条件). (1) 　　　　　　　　　　(　　　);  (2) 　　　　　　　　　　(　　　);  (3) 　　　　　　　　　　(　　　);  (4) 　　　　　　　　　　(　　　). AC=BD HL CB=DA HL ∠CAB=∠DBA AAS ∠CBA=∠DAB AAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图,在四边形ABCD中,CD=CB,∠B=∠D=90°,∠BAC=55°,那么∠BCD的度数为　　　　. 70° 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. (教材P43练习第1题变式)如图,小明和小芳以相同的速度分别从点A,B同时出发,小明沿AC行走,小芳沿BD行走,并同时到达点C,D,若CB⊥AB, DA⊥AB,则CB与DA相等吗?请说明理由. CB=DA　理由:由题意,知AC=BD,∵ CB⊥AB,DA⊥AB, ∴ ∠DAB=∠CBA=90°.在Rt△DAB和Rt△CBA中, ∴ Rt△DAB≌Rt△CBA.∴ CB=DA. 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图,AB⊥AC,AC⊥DC,AD=BC.求证: (1) AB=CD; (2) AD∥BC. (1) ∵ AB⊥AC,AC⊥DC,∴ ∠BAC=∠DCA=90°.在 Rt△BAC和Rt△DCA中,∴ Rt△BAC≌ Rt△DCA.∴ AB=CD　 (2) 由(1),知Rt△BAC≌Rt△DCA,∴ ∠ACB=∠CAD.∴ AD∥BC 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,D是EF上一点,AE⊥EF于点E,CF⊥ EF于点F,且AE=CF.求证:Rt△ADE≌Rt△CDF. 如图,连接BD.∵ ∠BAD=∠BCD=90°,在Rt△ABD和 Rt△CBD中,∴ Rt△ABD≌Rt△CBD.∴ AD =CD.∵ AE⊥EF,CF⊥EF,∴ ∠E=∠F=90°.在Rt△ADE 和Rt△CDF中,∴ Rt△ADE≌Rt△CDF 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,连接AO.如果AB=AC,那么图中全等的直角三角形的对数是 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图,点D在BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.如果∠AFD=145°,那么∠EDF=　　　　. 55° 解析:∵ DE⊥AB,DF⊥BC,∴ ∠DEB=∠FDC=∠FDB=90°.∵ ∠AFD =145°,∴ ∠CFD=180°-145°=35°.在Rt△BDE和Rt△CFD中, ∴ Rt△BDE≌Rt△CFD.∴ ∠BDE=∠CFD=35°.∴ ∠EDF =90°-35°=55°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图,D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过点D作BC的垂线,交AC于点E.若AE=12cm,则DE的长为　　　　cm. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. (教材P42例6变式)如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F.求证:CE=DF. ∵ AC⊥BC,AD⊥BD,∴ ∠ACB=∠BDA=90°.在 Rt△ABC和Rt△BAD中,∴ Rt△ABC≌ Rt△BAD.∴ ∠CBE=∠DAF.∵ CE⊥AB,DF⊥AB, ∴ ∠CEB=∠DFA=90°.在△BCE和△ADF中, ∴ △BCE≌△ADF.∴ CE=DF 第11题 12. (易错题)如图,AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且BF= AC,FD=CD.试判断BE与AC的位置关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵ AD是△ABC的高,∴ ∠BDF=∠ADC=90°.在 Rt△BDF和Rt△ADC中,∴ Rt△BDF≌ Rt△ADC.∴ ∠DBF=∠DAC.∵ ∠DAC+∠C=∠BDF =90°,∴ ∠AEB=∠DBF+∠C=90°.∴ BE⊥AC [易错分析]判定两个直角三角形全等时,将“HL”与“SSA”混淆. 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,AD是△ABC的中线,BE⊥AD,垂足为E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F,G是DA延长线上一点,连接BG. (1) 求证:BE=CF; (1) ∵ AD是△ABC的中线,∴ BD=CD.∵ BE⊥AD, CF⊥AD,∴ ∠BED=∠F.在△BED和△CFD中, ∴ △BED≌△CFD.∴ BE=CF 第13题 (2) 若BG=CA,求证:AG=2DE. (2) 在Rt△BGE和Rt△CAF中,∴ Rt△BGE ≌Rt△CAF.∴ GE=AF.∴ GE-AE=AF-AE,即AG=EF. ∵ △BED≌△CFD,∴ DE=DF.∵ EF=DE+DF=2DE, ∴ AG=2DE 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第十四章　全等三角形 第十四章总结提升 考点一　全等三角形的性质 1. (2024·成都)如图,△ABC≌△CDE.若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为　　　　.　  　 　　　 2. 如图,△ABC≌△EDB,点E在AB上,∠C=∠EBD=90°.若AC=4,DE=5,则AE的长为　　　　. 100° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 22 考点二　全等三角形的判定 3. 下列说法中,正确的是 (　　) A. 两边及一角对应相等的两个三角形全等 B. 两角及一边对应相等的两个三角形全等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 对应角相等的两个三角形全等 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 4. (新考法·条件开放题)(2024·德州)如图,C是AB的中点,且CD=BE,要使△ACD≌△CBE,还需添加一个条件是　  . 　 　　 5. 如图,在平面直角坐标系中,A(-1,0),C(1,3),AC=BC,且AC⊥BC,则点B的坐标为　　　　. 答案不唯一,如AD=CE (4,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6. (2023·大连)如图,AC=AE,BC=DE,BC的延长线与DE相交于点F,∠ACF +∠AED=180°,求证:AB=AD. ∵ ∠ACF+∠AED=180°,∠ACF+∠ACB=180°,∴ ∠ACB=∠AED.在△ABC和△ADE中, ∴ △ABC≌△ADE.∴ AB=AD 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7. 如图,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,BE交AC于点D,交FC于点O. (1) 求证:BE=CF; (2) 当∠BAC=70°时,求∠BOC的度数. (1) ∵ ∠BAC=∠EAF,∴ ∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE. ∴ ∠BAE=∠CAF.在△BAE和△CAF中, ∴ △BAE≌△CAF.∴ BE=CF　 (2) ∵ △BAE≌△CAF,∴ ∠EBA=∠FCA,即∠DBA=∠OCD.∵ ∠BDA= ∠ODC,∴ 易得∠BAD=∠COD.∵ ∠BAC=70°,即∠BAD=70°,∴ ∠COD=70°,即∠BOC=70° 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8. 如图,点A,B,C,D在同一条直线上,AB=CD=BC,AE=DF,AE∥DF,连接BE,BF,CE,CF. (1) 求证:△AEC≌△DFB; (1) ∵ AE∥DF,∴ ∠A=∠D.∵ AB=CD,∴ AB+BC= CD+BC,即AC=DB.在△AEC和△DFB中, ∴ △AEC≌△DFB 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 若S△AEC=6,求四边形BECF的面积. (2) 如图,过点E作EH⊥AC于点H.∴ S△AEC=EH·AC, S△BEC=EH·BC.∵ AB=BC,∴ BC=AC.∵ S△AEC=6, ∴ S△BEC=S△AEC=4.5.∵ △AEC≌△DFB,∴ ∠ACE= ∠DBF,EC=FB.在△BEC和△CFB中, ∴ △BEC≌△CFB.∴ S△BEC=S△CFB.∴ S四边形BECF= 2S△BEC=9 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 考点三　角的平分线 9. (2024·绵阳)如图,在△ABC中,AB=5,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥ AC,垂足为E,△ABD的面积为5,则DE的长为 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 10. 如图,AB∥CD,PE⊥AB,PF⊥BD,PG⊥CD,垂足分别为E,F,G,且PE=PG =PF,则∠BPD=　　　　. B 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且BD=DF. (1) 求证:CF=EB; (2) 请你判断AE,AF与BE之间的数量关系,并说明理由. (1) ∵ AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,∴ DC=DE. 在Rt△DCF和Rt△DEB中,∴ Rt△DCF≌ Rt△DEB.∴ CF=EB　 (2) AF+BE=AE　理由:∵ ∠C=∠DEA=90°,DC=DE,AD=AD,∴ Rt△DCA≌Rt△DEA.∴ AC=AE.∴ AF+FC=AC=AE,即AF+BE=AE. 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12. 如图,点B,C,D在同一条直线上,若△ABC≌△DEC,AC=3,BD=10,则CE的长为 (　　) A. 3 B. 7 C. 10 D. 13 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13. 如图,A,D,B,E四点共线,∠C=∠F,AC=EF,添加一个条件,不能判定△ABC≌△EDF的是 (　　) A. AD=BE B. ∠ABC=∠EDF C. BC=DF D. ∠A=∠E A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14. (新情境·现实生活)某地高新区为打造成“向往之城”,正建设一批精品口袋公园.如图,△ABC是一个正在修建的口袋公园,要在公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路AB,AC的距离相等,且使得S△ABH=S△BCH,则凉亭H的位置在 (　　) A. ∠BAC的平分线与边AC的中线的交点处 B. ∠BAC的平分线与边AB的中线的交点处 C. ∠ABC的平分线与边AC的中线的交点处 D. ∠ABC的平分线与边BC的中线的交点处 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15. 如图,在△ABC中,CP平分∠ACB,AP⊥CP于点P,连接BP.已知△ABC的面积为12cm2,则涂色部分的面积为 (　　) A. 6cm2 B. 8cm2 C. 10cm2 D. 12cm2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析:如图,延长AP交BC于点D.∵ CP平分∠ACB,∴ ∠ACP=∠DCP.∵ AP⊥CP,∴ ∠APC=∠DPC=90°.在△ACP和△DCP中, ∴ △ACP≌△DCP.∴ AP=DP.∴ S△ABP=S△ABD,S△ACP=S△ACD.∴ 涂色部分的面积=S△ABP+S△ACP=(S△ABD+S△ACD)=S△ABC=×12=6(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16. 如图,下列图形中,全等的两个图形是　　　　(填序号).    17. 如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为52和36,则△EDF的面积为　　　　. ①③ 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18. 如图所示为∠PAB. (1) 利用尺规在∠PAB外作∠APQ,使得∠APQ=∠PAB(不写作法,保留作图痕迹); (2) 判断PQ与AB的位置关系,并给出依据. (1) 如图,∠APQ即为所求作　 (2) PQ∥AB　依据:内错角相等,两直线平行 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19. 如图,∠BAC=∠ABD=90°,AC=BD,　O是AD,BC的交点,E是AB的中点,连接OE. (1) 图中有哪几对全等三角形?请写出来. (1) 3对,分别是△AOC≌△BOD,△AOE≌△BOE, △ABC≌△BAD 第19题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 试判断OE和AB的位置关系,并说明理由. (2) OE⊥AB　 理由:在△ABC和△BAD中,∴ △ABC≌ △BAD.∴ ∠C=∠D,∠CBA=∠DAB.在△ACO和△BDO中, ∴ △ACO≌△BDO.∴ OA=OB.∵ E是AB的中点,∴ AE=BE.在△OAE和△OBE中,∴ △OAE≌△OBE.∴ ∠AEO=∠BEO=90°.∴ OE⊥AB. 第19题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20. 如图,BE,CF是△ABC的高,在射线BE上截取BP=AC,在射线CF上截取CQ=AB,连接AP,AQ.求证: (1) AP=QA; (2) AP⊥AQ. (1) ∵ CF⊥AB,BE⊥AC,∴ ∠AEB=∠AFC=90°.∴ ∠ABP =∠QCA=90°-∠BAC.在△APB和△QAC中, ∴ △APB≌△QAC.∴ AP=QA　 (2) ∵ △APB≌△QAC,∴ ∠BAP=∠CQA.∵ ∠CQA+∠QAF=90°, ∴ ∠QAP=∠BAP+∠QAF=90°,即AP⊥AQ 第20题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21. 如图,A,B两点分别在射线OM,ON上,点C在∠MON的内部且CA=CB, CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE. (1) 求证:OC平分∠MON; (1) ∵ CD⊥OM,CE⊥ON,∴ ∠CDA=90°,∠CEB=90°. 在Rt△CDA和Rt△CEB中,∴ Rt△CDA≌ Rt△CEB.∴ CD=CE.∵ CD⊥OM,CE⊥ON,∴ OC平分 ∠MON 第21题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 若AO=12,BO=4,求OD的长. (2) 设OD=x.∵ OA=12,∴ AD=OA-OD=12-x.∴ BE=12-x. 在Rt△OCD和Rt△OCE中,∴ Rt△OCD≌ Rt△OCE.∴ OD=OE=x.∴ BO=OE-BE=x-(12-x)=2x-12. ∵ BO=4,∴ 2x-12=4,解得x=8.∴ OD=8 第21题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22. 在△ABC中,AB=AC,D是直线BC上一点(不与点B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. (1) 如图①,当点D在线段BC上时,若∠BAC=90°,则∠BCE=　　　　. 第22题 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 设∠BAC=α,∠BCE=β. ① 如图②,当点D在线段BC上移动时,α,β之间有怎样的数量关系?请说明理由. ① α+β=180°　理由:∵ ∠BAC=∠DAE,∴ ∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中, ∴ △ABD≌△ACE.∴ ∠B=∠ACE.∴ ∠B +∠ACB=∠ACE+∠ACB=β.∵ ∠BAC+∠B+∠ACB=180°, ∴ α+β=180°. 第22题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ② 当点D在直线BC上移动时,α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出结论. ② 当点D在线段BC及其延长线上时,α+β=180°;当点D在 线段BC的反向延长线上时,α=β 第22题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $$第十四章　全等三角形 14.2　三角形全等的判定 第1课时　用“SAS”判定两个三角形全等 1. 如图,AC与BD相交于点O.若OA=OD,则要用“SAS”判定△AOB≌ △DOC,还需添加的条件可以是 (　　) A. AB=DC B. OB=OC C. ∠A=∠D D. ∠AOB=∠DOC B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 如图,AB=AC,AD=AE,欲证△ABD≌△ACE,需补充的条件是 (　　) A. ∠B=∠C B. ∠D=∠E C. ∠1=∠2 D. ∠CAD=∠2 3. 在△ABC和△A'B'C'中,有下列条件:① ∠A=∠A';② ∠B=∠B';③ ∠C= ∠C';④ AB=A'B';⑤ AC=A'C';⑥ BC=B'C'.其中,能用“SAS”判定△ABC≌ △A'B'C'的一组是 (　　) A. ①⑤⑥ B. ②④⑤ C. ①④⑥ D. ②④⑥ C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD=8,AC平分∠BAD,若CD=5,则四边形ABCD的周长为　　　　.  　 　 　　 5. (新情境·现实生活)如图,两根长度相同的木条AD与BC交于点O,且O是AD,BC的中点,经测量,AB=9cm,则容器的内径CD=　　　　cm.  6. 如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E.若∠EAC=48°,则∠BAE的度数为　　　　. 26 9 84° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. (教材P59复习题14第4题变式)(2024·云南)如图,在△ABC和△AED中, AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED. ∵ ∠BAE=∠CAD,∴ ∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE, 即∠BAC=∠EAD.在△ABC和△AED中, ∴ △ABC≌△AED 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. (教材P43习题14.2第2题变式)如图,D,E分别为AB,AC上的点,AD=AE, BD=CE.求证:∠B=∠C. ∵ AD=AE,BD=CE,∴ AD+BD=AE+CE,即AB=AC.在 △ABE和△ACD中,∴ △ABE≌△ACD. ∴ ∠B=∠C 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,下列结论不一定正确的是 (　　) A. ∠BAD=∠CAE B. △ABD≌△ACE C. AB=BC D. BD=CE C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 如图,若AC=AE,BC=DE,∠C=55°,∠A=40°,则∠CBE=　　　　. 95° 解析:∵ AC=AE,BC=DE,∴ AC-BC=AE-DE,即AB=AD.在△ABE和 △ADC中,∴ △ABE≌△ADC.∴ ∠E=∠C=55°.∴ ∠CBE= ∠A+∠E=40°+55°=95°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 如图,在△ABC中,AB=7,BC=5,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取AE=AC,连接DE,则△BDE的周长为　　　　. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在边BC上,且BE=BD,连接AE,DE,DC. (1) 求证:△ABE≌△CBD; (1) 在△ABE和△CBD中, ∴ △ABE≌△CBD 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若∠CAE=30°,求∠CDB的度数. (2) ∵ AB=CB,∠ABC=90°,∴ △ABC是等腰直角三角形. ∴ ∠BAC=∠ACB=45°.∵ △ABE≌△CBD,∴ ∠AEB= ∠CDB.∵ ∠AEB为△AEC的外角,∴ ∠AEB=∠ACB+ ∠CAE=45°+30°=75°.∴ ∠CDB=75° 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°,AD,BC交于点E. (1) 求证:△AOD≌△BOC; (2) 求∠AEB的度数. (1) ∵ ∠AOB=∠COD=90°,∴ ∠COD+∠AOC= ∠AOB+∠AOC,即∠AOD=∠BOC.在△AOD和 △BOC中,∴ △AOD≌△BOC　 (2) 由(1),知△AOD≌△BOC,∴ ∠A=∠B.设OA,BC交于点F.∵ ∠AOB= 90°,∴ ∠B+∠OFB=90°.又∵ ∠OFB=∠AFE,∴ ∠A+∠AFE=90°. ∴ ∠AEB=90° 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E在BC上,连接AE,过点C作CF⊥AE于点F,延长CF到点D,使CD=AE,连接BD.求证:BD⊥BC. ∵ ∠ACB=90°,CF⊥AE,∴ ∠ACF+∠CAE=∠ACF+ ∠BCD=90°.∴ ∠CAE=∠BCD.在△ACE和△CBD中, ∴ △ACE≌△CBD.∴ ∠CBD=∠ACE =90°,即BD⊥BC 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第十四章　全等三角形 小专题(三)　构造全等三角形的常用辅助线 类型一　连“公共边”法 1. 如图,在一个风筝骨架ABCD中,AB=AD,BC=DC,分别在AB,AD的中点E, F处挂两根彩线EC,FC,求证:EC=FC. ∵ E,F分别为AB,AD的中点,∴ AE=AB,AF=AD.又∵ AB =AD,∴ AE=AF.连接AC.在△ABC和△ADC中, ∴ △ABC≌△ADC.∴ ∠BAC=∠DAC.在△ACE和△ACF 中,∴ △ACE≌△ACF.∴ EC=FC 1 2 3 4 5 6 7 8 第1题 类型二　倍长中线法 2. 在△ABC中,AB=8.如果边BC上的中线AD=5,那么线段AC长的取值范围是　 　　　.  3. 如图,D为BC的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.若BE=5,CF=3,求EF长的取值范围. 2<AC<18 延长FD到点H,使DH=DF,连接BH,EH.∵ D为BC的中 点,∴ CD=BD.又∵ FD=HD,∠CDF=∠BDH,∴ △CDF ≌△BDH.∴ BH=CF=3.∵ DE⊥DF,∴ ∠EDF=∠EDH =90°.又∵ DE=DE,DF=DH,∴ △FDE≌△HDE.∴ EF =EH.在△BEH中,由三边关系,可知2<EH<8,∴ 2<EF<8 第3题 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 如图,CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是△ABD的中线,求证:AC=2AE. 如图,延长AE至点F,使EF=AE,连接DF.∵ AE为△ABD 的中线,∴ BE=DE.又∵ ∠BEA=∠DEF,AE=FE,∴ △ABE≌△FDE.∴ AB=FD,∠B=∠BDF,∠BAE=∠F. ∵ CD=AB,∴ FD=CD.∵ ∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADF= ∠BDA+∠BDF,∠BAD=∠BDA,∠B=∠BDF,∴ ∠ADF =∠ADC.又∵ DF=DC,AD=AD,∴ △ADF≌△ADC. ∴ AF=AC.又∵ AE=EF=AF,∴ AC=2AE 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 类型三　作垂线法 5. 如图,∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,一块三角形纸板的直角顶点P在射线OM上滑动,两条直角边分别与OA,OB交于点C,D.求证:PC=PD. 过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则∠PEC=∠PFD= 90°.∵ OM是∠AOB的平分线,PE⊥OA,PF⊥OB,∴ PE=PF. ∵ ∠AOB=90°,∠CPD=90°,∴ 易得∠PCE+∠PDO=180° +180°-90°-90°=180°.又∵ ∠PDO+∠PDF=180°,∴ ∠PCE=∠PDF.在△PCE和△PDF中, ∴ △PCE≌△PDF.∴ PC=PD 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 类型四　构造“一线三直角”法 6. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=CE,BC=CD,∠ACE=∠BCD=90°, BC的延长线交DE于点F,连接AE,BD.求证: (1) EF=DF; 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 (1) 如图,过点E作EG⊥BF,交BF的延长线于点G,则∠CGE=∠ABC=90°. ∵ ∠ACE=90°,∴ ∠ACB+∠ECG=90°.∵ ∠ACB+∠CAB=90°,∴ ∠ECG=∠CAB.在△ABC和△CGE中,∴ △ABC≌ △CGE.∴ BC=GE.∵ BC=CD,∴ GE=CD.∵ ∠BCD=90°,∴ ∠DCF= 90°=∠EGF.在△CFD和△GFE中, ∴ △CFD≌△GFE.∴ EF=DF 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) S△ABC=S△DCE. 第6题 (2) ∵ △CFD≌△GFE,∴ S△CFD=S△GFE.∴ S△CFD+ S△CFE=S△GFE+S△CFE,即S△DCE=S△CGE.∵ △ABC≌ △CGE,∴ S△ABC=S△CGE.∴ S△ABC=S△DCE 1 2 3 4 5 6 7 8 类型五　截长补短法 7. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且∠B+∠D= 180°.求证:AE=AD+EB. 如图,在EA上截取EF=EB,连接FC.∵ CE⊥AB,∴ ∠FEC= ∠BEC=90°.在△CFE和△CBE中,∴ △CFE≌△CBE.∴ ∠CFE=∠B.又∵ ∠CFE+∠AFC=180°, ∠B+∠D=180°,∴ ∠AFC=∠D.∵ AC平分∠BAD,∴ ∠FAC =∠DAC.在△AFC和△ADC中,∴ △AFC≌ △ADC.∴ AF=AD.∵ AE=AF+EF,∴ AE=AD+EB 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 8. 如图,在四边形ABCD中,BA=BC,∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC= 2∠MBN,∠MBN的两边分别交AD,DC于点E,F,连接EF,探究图中线段AE, CF,EF之间的数量关系. 延长DC到点H,使CH=AE,连接BH.∵ ∠BAD+∠BCD= 180°,∠BCH+∠BCD=180°,∴ ∠BAD=∠BCH.∵ BA =BC,AE=CH,∴ △BAE≌△BCH.∴ BE=BH,∠ABE= ∠CBH.∴ 易得∠HBE=∠ABC.∵ ∠ABC=2∠MBN,∴ ∠HBE= 2∠MBN.∴ ∠EBF=∠HBF.又∵ BF=BF,BE=BH,∴ △EBF≌△HBF. ∴ EF=HF.∵ HF=CH+CF=AE+CF,∴ EF=AE+CF 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 $$第十四章　全等三角形 14.3　角的平分线 第2课时　角的平分线(2) 1. 将两个全等的直角三角形摆放在如图所示的△ABC中,它们的一组对应直角边分别在AB,AC上,且这组对应直角边所对的顶点重合于点M,则点M一定在 (　　) A. ∠A的平分线上 B. 边AC的高上 C. 边BC的高上 D. ∠B的平分线上 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF交于点D.给出下列结论:① △ABE≌△ACF;② △BDF≌△CDE;③ 点D在∠BAC的平分线上.其中,正确的是 (　　) A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. (易错题)如图所示为三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地点有 (　　) A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [易错分析]因考虑问题不全面致错. 4. (教材P51例题变式)如图,O是△ABC内一点,且点O到△ABC的三边AB, BC,AC的距离相等,即OF=OD=OE.若∠BAC=76°,则∠BOC=　　　　. 128° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. (教材P51练习第1题变式)如图,BF⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为F,E,BF与CE相交于点D,BD=CD.求证:点D在∠BAC的平分线上. ∵ BF⊥AC,CE⊥AB,∴ ∠BED=∠CFD=90°.在 △BDE和△CDF中,∴ △BDE≌ △CDF.∴ DE=DF.又∵ BF⊥AC,CE⊥AB,∴ 点D 在∠BAC的平分线上 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图,在△ABC中,P是BC上一点,PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别为R,S,PR= PS,Q是AC上一点,且∠CAP=∠APQ. (1) 求证:QP∥AR. (2) AR和AS相等吗?请说明理由. (1) ∵ PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,∴ AP平分∠BAC. ∴ ∠BAP=∠CAP.又∵ ∠CAP=∠APQ,∴ ∠BAP= ∠APQ.∴ QP∥AR　 (2) 相等　理由:∵ PR⊥AB,PS⊥AC,∴ ∠ARP=∠ASP=90°. 在Rt△APR和Rt△APS中,∴ Rt△APR≌Rt△APS.∴ AR=AS. 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图,△ABC的外角平分线BD,CE相交于点P.若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=15cm,AC=17cm,P是到△ABC的三边距离相等的点,则点P到△ABC的三边的距离为　　　　cm. C 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为12,10,6,其三条角平分线的交点为O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=　　　　　. 6∶5∶3 解析:过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥BC于点E,OF⊥AC于点F.∵ AO,BO, CO分别位于△ABC的角平分线上,∴ OD=OE=OF.∴ S△ABO∶S△BCO∶ S△CAO= =AB∶BC∶CA=12∶10∶6 =6∶5∶3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图,PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,D是AP上一点.求证:∠BDP=∠CDP. ∵ PB⊥AB,PC⊥AC,PB=PC,∴ AP平分∠BAC,即∠BAP= ∠CAP.∵ ∠BAP+∠BPA=90°,∠CAP+∠CPA=90°,∴ ∠BPA=∠CPA.在△PBD和△PCD中, ∴ △PBD≌△PCD.∴ ∠BDP=∠CDP 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. (教材P51练习第2题变式)如图,△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点P. (1) 延长BA至点E,求证:AP平分∠CAE; (1) 如图,过点P作PF⊥BE于点F,PN⊥BD于点N,PM⊥AC 于点M.∵ CP平分∠ACD,∴ PM=PN.∵ BP平分∠ABC, ∴ PF=PN.∴ PF=PM.又∵ PF⊥AE,PM⊥ AC,∴ AP平分∠CAE 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若∠BPC=40°,求∠CAP的度数. (2) 设∠ACP=∠PCD=x.由(1),知AP平分∠CAE, ∴ ∠FAP=∠PAC.∵ ∠BPC=40°,∴ ∠ABP= ∠PBC=x-40°.∴ ∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x- (x-40°)-(x-40°)=80°.∴ ∠CAF=180°- ∠BAC=100°.∴ ∠CAP=∠CAF=50° 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图,在△ABC中,点D在边BC上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E.过点E作EF⊥AB,交BA的延长线于点F,且∠AEF=50°,连接DE. (1) 求∠CAD的度数; 第12题 (1) ∵ EF⊥AB,∠AEF=50°,∴ ∠FAE=90°- 50°=40°.∵ ∠BAD=100°,∴ ∠CAD=180° -100°-40°=40° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 求证:DE平分∠ADC; (3) 若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD=15,求△ABE的面积. (2) 过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H. ∵ ∠FAE=∠DAE=40°,EF⊥BF,EG⊥AD, ∴ EF=EG.∵ BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥ BC,∴ EF=EH.∴ EH=EG.∵ EG⊥AD,EH⊥BC,∴ DE平分∠ADC　 (3) ∵ S△ACD=15,∴ AD·EG+CD·EH=15,即×4×EG+×8×EG=15.∴ EG=EH=.∴ EF=EH=.∴ S△ABE=AB·EF=×7×= 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$