第十七章　因式分解课件2025-2026学年人教版八年级 数学上册

第十七章　因式分解 17.2　用公式法分解因式 第2课时　运用完全平方公式分解因式 1. 下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是 (　　) A. m2-m-1 B. -4m+m2+4 C. 1-4m-m2 D. m2-4m-4 2. 多项式x2-1与多项式x2-2x+1的公因式为 (　　) A. x-1 B. x+1 C. x2-1 D. (x-1)2 3. 小明利用完全平方公式进行因式分解时,墨迹将x2●+4y2=(x+2y)2中的一项染黑了,则墨迹覆盖的这一项是 (　　) A. +4xy B. +2xy C. -4xy D. -2xy B A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 如果多项式x2+1加上一个单项式后,能够直接用完全平方公式进行因式分解,则添加的单项式不可以是 (　　) A. 2x B. -2x C. x4 D. -x4 5. 下列各式分解因式正确的是 (　　) A. (x-y)2+10(y-x)+25=(x-y+5)2 B. (x-y)2-10(y-x)+25=(x-y+5)2 C. (x-y)2+10(y-x)+25=(y-x-5)2 D. (x-y)2-10(y-x)+25=(x-y-5)2 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. (教材P132习题17.2第8题变式)若x2+(m-3)x+4能用完全平方公式进行因式分解,则常数m的值为 (　　) A. 1或5 B. 7或-1 C. 5 D. 7 7. 分解因式: (1) x2-xy+y2=　　 　　;  (2) 4x2+4x+1=　　　　.  8. 已知a=5-3b,则式子a2+6ab+9b2=　　　　. B (2x+1)2 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. (教材P131练习第2题变式)把下列各式分解因式: (1) m2-12mn+36n2; (2) 9a2-6a+1; (3) 25x2-10x+1; (4) x(x+12)+36. (1) (m-6n)2　 (2) (3a-1)2　 (3) (5x-1)2　 (4) (x+6)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 有下列各式:① 10am-15a;② 4m2-9;③ 4m2-12m+9;④ -4m2-9.其中,含有因式2m-3的有 (　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 分解因式:(m+n)2-6(m+n)+9=　　　　　.　  12. 已知x+y=0.2,2x+4y=4.2,则x2+6xy+9y2=　　　　. C (m+n-3)2 16 解析:∵ x+y=0.2①,2x+4y=4.2②,∴ ②-①,得x+3y=4.∴ x2+6xy+9y2=(x+ 3y)2=16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 把下列各式分解因式: (1) 16a2+40ab+25b2; (2) -4a2+12ab-9b2; (3) (a+b)2-14(a+b)+49; (4) (a2-4)2+10(a2-4)+25. (1) (4a+5b)2　 (2) -(2a-3b)2　 (3) (a+b-7)2　 (4) (a2+1)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 利用因式分解简便计算: (1) 1732+173×54+272; (2) 40×3.52+80×3.5×1.5+40×1.52. 15. 已知x(x-1)-(x2-y)=-3,求x2+y2-2xy的值. (1) 40000　 (2) 1000 ∵ x(x-1)-(x2-y)=-3,∴ -x+y=-3,即x-y=3.∴ x2+y2-2xy=(x-y)2=9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 若△ABC的三边长a,b,c满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,判断△ABC的形状并说明理由. △ABC为等边三角形　理由:∵ a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,∴ a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0.∴ (a-b)2+(b-c)2=0.∴ a-b=0且b-c=0.∴ a=b=c.∴ △ABC为等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $$第十七章　因式分解 17.2　用公式法分解因式 第1课时　运用平方差公式分解因式 1. (教材P129练习第1题变式)下列多项式中,能用平方差公式进行因式分解的是 (　　) A. a2+b2 B. -a2-b2 C. -a2+b2 D. a2-2a 2. (2023·杭州)4a2-1分解因式的结果为 (　　) A. (2a-1)(2a+1) B. (a-2)(a+2) C. (a-4)(a+1) D. (4a-1)(a+1) C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 9x2-y2分解因式的结果为 (　　) A. (9x+y)(9x-y) B. 9(x+y)(x-y) C. (3x+y)(3x-y) D. 3(x+y)(x-y) 4. 下列各式中,利用平方差公式分解因式正确的是 (　　) A. 1+25a2=(1+5a)(1-5a) B. m2-16m=m(m+4)(m-4) C. x2-9b2=(x+9b)(x-9b) D. 9-4x2=(3+2x)(3-2x) 5. 某同学分解因式时,把式子a4-=(a2-b)(a2+b)中的一部分弄污了,你认为式子中的所对应的整式为 (　　) A. b2 B. -b2 C. b D. -b C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 运用平方差公式填空: (1) x2-　　　=(x+11)(x-　　　);  (2) -1+　 　　=(1+13m)(　　　-1).  7. 分解因式: (1) (2024·德州)x2-4=　　　　　;  (2) (2023·兰州)x2-25y2=　 　　　　.  121 11 169m2 13m (x+2)(x-2) (x+5y)(x-5y) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 已知|x-4y+2|+=0,则x2-16y2的值为　　　　. -10 解析:根据题意,得∴ ∴ x2-16y2=(x+4y)(x-4y)=5×(-2)=-10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. (教材P129练习第2题变式)把下列各式分解因式: (1) x2y2-1; (2) 81-m2; (3) -25+a4b4; (4) 49x4-25y2. (1) 　 (2) 　 (3) (a2b2+5)(a2b2-5)　 (4) (7x2+5y)(7x2-5y) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 若a+b=3,则a2+6b-b2的值为 (　　) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 11. (教材P132习题17.2第7题变式)对任意整数n,(2n+3)2-1都 (　　) A. 能被2整除,不能被4整除 B. 能被3整除 C. 既能被2整除,又能被4整除 D. 能被5整除 12. 如果在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的小正方形,那么剩余部分的面积为　　　　cm2. C C 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 把下列各式分解因式: (1) 9a2-(2a-b)2; (2) (2a-b)2-36a2; (3) (x+3y)2-(x-3y)2; (4) 25(m-n)2-(m+n)2. (1) (5a-b)(a+b)　 (2) -(8a-b)(4a+b)　 (3) 12xy　 (4) 4(3m-2n)(2m-3n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. (教材P132习题17.2第4题变式)利用因式分解简便计算: (1) ; (2) ×…×. (1) 原式===500　 (2) 原式=×…× =×…×= = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图,在一个大圆盘中,镶嵌着四个大小一样的小圆盘.已知大、小圆盘的直径都是整厘米数,涂色部分的面积为7πcm2,求大、小圆盘的半径. 设大圆盘的直径为d1cm,小圆盘的直径为d2cm.根据题意,得 π-4π=7π,即-4=28.分解因式,得(d1+2d2)(d1-2 d2)=28.∵ d1,d2均为整数,∴ d1+2d2,d1-2d2均为整数.又∵ d1+ 2d2和d1-2d2的奇偶性相同,∴ 解得∴ =4,= 1.5.∴ 大、小圆盘的半径分别为4cm和1.5cm 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第十七章　因式分解 第十七章总结提升 考点一　因式分解的定义 1. 下列变式属于因式分解的是 (　　) A. x2-2x+3=(x-1)2+2 B. (-2x+3y)(2x+3y)=-4x2+9y2 C. a2-2a+1=a(a-2)+1 D. 3x2y-xy=xy(3x-1) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 考点二　用提公因式法分解因式 2. 多项式8x2y4-12xy2z的公因式为 (　　) A. 4x2y2 B. 4xyz C. 4x2y4 D. 4xy2 3. 把多项式m2(a-3)+m(3-a)分解因式的结果为 (　　) A. (a-3)(m2+m) B. (a-3)(m2-m) C. m(a-3)(m-1) D. m(a-3)(m+1) 4. 分解因式:12abc-9a2b2c2=　　 　　　　. D C 3abc(4-3abc) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5. 把下列各式分解因式: (1) 4a3b2-14ab2c; (2) 6b(a+b)-4a(a+b); (3) (a-b)2-3(a-b). (1) 2ab2(2a2-7c)　 (2) 2(a+b)(3b-2a)　 (3) (a-b)(a-b-3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 考点三　用公式法分解因式 6. (x-1)2-9分解因式的结果是 (　　) A. (x-10)(x+8) B. (x+8)(x+1) C. (x-2)(x+4) D. (x+2)(x-4) 7. 已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式分解因式,则m的值为 (　　) A. 12 B. ±12 C. 24 D. ±24 8. 分解因式: (1) 2m2-18=　　　　　　;  (2) (2a-b)2+8ab=　　　　. D D 2(m+3)(m-3) (2a+b)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9. 把下列各式分解因式: (1) -x2y+6xy-9y; (2) x3-25x; (3) 3a2+6ab+3b2; (4) (a+b)2-4a(a+b)+4a2. (1) -y(x-3)2　 (2) x(x+5)(x-5)　 (3) 3(a+b)2　 (4) (b-a)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 考点四　因式分解的应用 10. 【学习与思考】 如果用表示一个两位数(即十位上的数字为a,个位上的数字为b),那么当a=b时,能被11整除(如11,22,33,…能被11整除). 理由如下: ∵ =10a+b,当a=b时,=10a+a=11a,而11a是11的倍数,∴ 能被11整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 【探索与应用】 如果用表示一个三位数. (1) 写出两个能被11整除的三位数. (2) 当a,b,c满足什么条件时,能被11整除?并说明理由. (1) 答案不唯一,如110,220　 (2) 当a-b+c是11的倍数或a-b+c=0时,能被11整除　理由:=100a+ 10b+c=99a+11b+a-b+c=11(9a+b)+(a-b+c),∵ 99a+11b是11的倍数,∴ 当a-b+c是11的倍数或a-b+c=0时,能被11整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11. 下列因式分解结果正确的是 (　　) A. x2+xy+x=x(x+y) B. x2-2x+4=(x-2)2 C. x2-4=(x+4)(x-4) D. 2a(b+c)-(b+c)=(b+c)(2a-1) 12. 多项式a2+7a-18分解因式的结果为 (　　) A. (a-1)(a+18) B. (a-2)(a+9) C. (a-3)(a+6) D. (a+2)(a+9) D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13. 一次课堂练习中小红做了下列四道分解因式的题目,你认为小红做得不够完整的一道题目是 (　　) A. 4a3-4a=4a(a2-1) B. m2-2mn+n2=(m-n)2 C. x2y-xy2=xy(x-y) D. 2x2-xy-x=x(2x-y-1) 14. 若58-1可以被20到30之间的某两个整数整除,则这两个整数是 (　　) A. 24,26 B. 25,27 C. 26,28 D. 27,29 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15. 整式a2-a和(a-1)2的公因式为　　　　. 16. 分解因式: (1) x2-x-2=　　　 　　;  (2) (4a+5)2-9=　　　　 　　.  17. 若多项式x2-6x-m有一个因式为x-9,则m的值为　　　　.  18. 如果x-2y+2=0,那么x2-xy+y2-3=　　　　.  a-1 (x+1)·(x-2) 8(a+2)(2a+1) 27 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19. 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律: 15×15=1×2×100+25=225; 25×25=2×3×100+25=625; 35×35=3×4×100+25=1225; … 若一个两位数个位上的数字为5,十位上的数字为n(n为正整数),根据上面的规律,则(10n+5)(10n+5)=　　 　　　　　. 100n·(n+1)+25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20. 将下列各式分解因式: (1) -a2+2ab-ac; (2) (a2-ab)+c(a-b); (3) 5a3-45ab2; (4) 1+x+x2; (5) 4x2y-4xy2-x3. (1) -a(a-2b+c)　 (2) (a-b)(a+c)　 (3) 5a(a+3b)·(a-3b)　 (4) 　 (5) -x(x-2y)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21. (新考法·新定义题)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“连偶数”.如:4,12,20都是“连偶数”. (1) 请判断:52　　　　“连偶数”(填“是”或“不是”).  (2) 下面是两名同学演算后的发现,请判断是否正确,并说明理由. ① 明明发现:两个连续偶数2k-2和2k(其中k是正整数)构造的“连偶数”也是4的倍数; (2) ① 明明的发现正确　理由:(2k)2-(2k-2)2=2(4k-2)=4(2k-1),∵ k是正整数,∴ 2k-1是正整数.∴ 4(2k-1)是4的倍数.∴ 两个连续偶数2k-2和2k(其中k是正整数)构造的“连偶数”也是4的倍数.　 是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ② 心心发现:2032是“连偶数”. ② 心心的发现不正确　理由:由(1)可知“连偶数”是4的倍数,那么当2032是“连偶数”时,一定存在一个正整数k满足4(2k-1)=2032,解得k=254.5,这与k是正整数矛盾,∴ 2032不是“连偶数”.∴ 心心的发现不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22. (新情境·科技民生)在现今“互联网+”的时代,密码与我们的生活已经密切相连,而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解,因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了!有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是将一个多项式分解因式,如把多项式x3-x2分解因式的结果为x2(x-1),当x=5时,x2=25,x-1=04,此时可以得到数字密码2504或0425;如把多项式x3+2x2-x-2分解因式的结果为(x-1)(x+1)(x+2),当x=10时,x-1=09,x+1=11,x+2=12,此时可以得到数字密码091112,091211, 110912,111209,120911或121109.　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (1) 根据上述方法,当x=12,y=5时,求多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码(写出三个); (2) 若多项式x2+(m-3n)x-6n分解因式后,利用本题的方法,当x=25时可以得到一个密码2821,求m,n的值. (1) x3-xy2=x(x+y)(x-y).当x=12,y=5时,x=12,x+y=17,x-y=07,∴ 密码为121707或171207或071217(答案不唯一)　 (2) ∵ 当x=25时,密码为2821,∴ x2+(m-3n)x-6n=(x+3)(x-4),即x2+(m-3n)x-6n=x2-x-12.∴ 6n=12且m-3n=-1,解得m=5,n=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $$第十七章　因式分解 小专题(八)　灵活选择方法分解因式 类型一　一步(提公因式或套公式)分解因式 1. -4x2y+2xy2-2xy分解因式的结果是 (　　) A. -2xy(2x-y+1) B. 2xy(-2x+y) C. 2xy(-2xy+y-1) D. -2xy(2x+y-1) 2. 分解因式: (1) -9m2+4n2=　　　　　　　　;  (2) 4x2+12xy+9y2=　　　　　　　　. 1 2 3 4 5 A (2n+3m)(2n-3m) (2x+3y)2 6 类型二　两步(先提后套或二次分解)分解因式 3. 把多项式4x-4x3分解因式正确的是 (　　) A. -x(x+2)(x-2) B. -x(x+2)(2-x) C. -4x(x+1)(1-x) D. 4x(x+1)(1-x) 4. 分解因式: (1) x4-256y4=  ; (2) mn2+8mn+16m=　　　　　　. D 解析:原式=4x(1-x2)=4x(x+1)(1-x). (x2+16y2)(x+4y)(x-4y) m(n+4)2 1 2 3 4 5 6 类型三　特殊的因式分解法(分组分解法、十字相乘法) 5. 对多项式4x2-4x-15进行因式分解可以这样思考:将二次项4x2分解为如图所示的两个2x的乘积,再将常数项-15分解成-5与3的乘积,图中对角线上的乘积的和为-4x,就是4x2-4x-15的一次项,所以有4x2-4x-15=(2x-5)(2x+ 3).上述这种分解因式的方法叫作十字相乘法. 1 2 3 4 5 6 请用十字相乘法进行因式分解: (1) 3x2-19x-14; (2) 6a2-13ab+6b2. (1) (3x+2)(x-7)　 (2) (2a-3b)(3a-2b) 1 2 3 4 5 6 6. 阅读材料: 数学研究发现常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法,但还有很多的多项式只用上述方法无法分解,如:m2-mn+2m-2n,细心观察这个式子就会发现,前两项可以提取公因式,后两项也可提取公因式,前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了,过程为m2-mn+2m-2n=(m2-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n)=(m-n)(m+2). 1 2 3 4 5 6 这种因式分解的方法叫作分组分解法,请在这种方法的启发下,解决下面的问题: (1) 分解因式:a3-3a2+6a-18; (2) 已知m+n=5,m-n=1,求m2-n2+2m-2n的值. (1) a3-3a2+6a-18=a2(a-3)+6(a-3)=(a-3)(a2+6)　 (2) ∵ m+n=5,m-n=1,∴ m2-n2+2m-2n=(m+n)(m-n)+2(m-n)=(m-n)(m+n+2) =1×(5+2)=7 1 2 3 4 5 6 $$第十七章　因式分解 17.1　用提公因式法分解因式 第2课时　用提公因式法分解因式(2) 1. 把多项式4x2y2z-12xy2z-6xyz2分解因式时,应提取的公因式为 (　　) A. xyz B. 2xy C. 2xyz D. 2x2y2z2 2. 把多项式-7ab-14abx+49aby分解因式,提公因式-7ab后,另一个因式为 (　　) A. 1+2x-7y B. 1-2x-7y C. -1+2x+2y D. -1-2x+7y C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 下列各式中,运用提公因式法分解因式正确的是 (　　) A. 12abc-9a2b2=3abc(4-3ab) B. 3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+2) C. 3x2y-3xy=3y(x2-1) D. 2x(a+b)-4(a+b)=(a+b)(2x-4) 4. 把2x(a-2)-y(2-a)分解因式,正确的结果是 (　　) A. (a-2)(2x+y) B. (2-a)(2x+y) C. (a-2)(2x-y) D. (2-a)(2x-y) B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 如图,长为a、宽为b的长方形的周长为20,面积为16,则a2b+ab2的值为 (　　) A. 160 B. 180 C. 320 D. 480 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 分别写出下列各多项式的公因式: (1) 6x3y4+10x2y:　　　　;  (2) ax3y+axy3-4ax2y2:　　　　;  (3) m(x-y)+n(y-x):　　　　.  7. 分解因式: (1) 3x3+6x4=　　　　　;  (2) x(y-1)+4(1-y)=　　　　　　. 2x2y axy x-y 3x3(1+2x) (y-1)(x-4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 把下列各式分解因式: (1) 4a2b3-14ab2c; (2) 4x2y3+16x2y2z-12xy2z; (3) -6x3+18x2-6x; (4) 2(b-a)2-6a(a-b). (1) 2ab2(2ab-7c)　 (2) 4xy2(xy+4xz-3z)　 (3) -6x(x2-3x+1)　 (4) -2(a-b)(2a+b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 先分解因式,再求值:(a-2)2-4(2-a),其中a=-2. 原式=(a-2)(a+2).当a=-2时,原式=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 若m-n=-2,mn=1,则m3n+mn3的值为 (　　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 11. (整体思想)已知a-b=5,b-c=-6,则整式a2-ac-b(a-c)的值为 (　　) A. -30 B. 30 C. -5 D. -6 12. 已知a-b-c=2,则-a(a-b-c)+b(a-b-c)+c(a-b-c)=　　　　.  13. (教材P127习题17.1第8题变式)△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+2ab= c+2bc,则△ABC是　　　　三角形. A C -4 等腰 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. (教材P127习题17.1第4题变式)把下列各式分解因式: (1) -5a2b3+20ab2-5ab; (2) (2x-y)(x+3y)-(x+y)(y-2x); (3) (x+y)(x-y)-(x+y)2; (4) 5x(x-2y)2-20(2y-x)3. (1) -5ab(ab2-4b+1)　 (2) 2(2x-y)(x+2y)　 (3) -2y(x+y)　 (4) 5(x-2y)2(5x-8y) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. (1) 已知x+5y=6,利用因式分解求x2+5xy+30y的值; (2) 已知2x-y=,xy=2,利用因式分解求2x4y3-x3y4的值; (3) 已知x+y=2024,xy=-,利用因式分解求x(x+y)(x-y)-x(x+y)2的值. (1) ∵ x+5y=6,∴ x2+5xy+30y=x(x+5y)+30y=6x+30y=6(x+5y)=36　 (2) ∵ 2x-y=,xy=2,∴ 2x4y3-x3y4=(xy)3(2x-y)=23×=　 (3) ∵ x+y=2024,xy=-,∴ x(x+y)(x-y)-x(x+y)2=-2xy(x+y)=-2××2024 =2024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第十七章　因式分解 17.1　用提公因式法分解因式 第1课时　用提公因式法分解因式(1) 1. 对于① x-3xy=x(1-3y),② (x+3)·(x-1)=x2+2x-3从左到右的变形,表述正确的是 (　　) A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解,②是乘法运算 D. ①是乘法运算,②是因式分解 2. (教材P124探究变式)下列各式从左到右的变形,属于因式分解的是 (　　) A. x2-x-1=x(x-1)-1 B. x2-1=(x-1)2 C. x2-x-6=(x-3)(x+2) D. x(x-1)=x2-x C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 把多项式a2+2a分解因式得 (　　) A. a(a+2) B. a(a-2) C. (a+2)2 D. (a+2)(a-2) 4. 下列多项式中,可以提取公因式的为 (　　) A. x2-y2 B. x2+x C. x2-y D. x2+2xy+y2 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 分解因式: (1) (2023·南通)a2-ab=　　　　;  (2) (2024·镇江)x2+3x=　　　　;  (3) (2024·内江)m2-5m=　　　　;  (4) (2024·甘孜)a2+5a=　　　　.  6. 若多项式x2-mx-21可以分解为(x+3)(x-7),则m=　　　　. a(a-b) x(x+3) m(m-5) a(a+5) 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. (教材P125练习第1题变式)下列从左到右的等式变形是不是因式分解?如果不是,请说明理由. (1) 3x(x-4y+1)=3x2-12xy+3x; (2) x2-xy=x(x-y); (3) m+4=m. (1) 不是　理由:从左到右的变形不是化成整式的积的形式,而是乘法运算.　 (2) 是　 (3) 不是　理由:等式右边不是整式的积的形式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 分解因式: (1) mp-mq; (2) p2-7p; (3) p2+pq2; (4) 2ab-b2+3bc. (1) m(p-q)　 (2) p(p-7)　 (3) p(p+q2)　 (4) b(2a-b+3c) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 把多项式a2-4a分解因式得 (　　) A. a(a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)(a-2) D. (a-2)2-4 10. 如图所示为甲、乙两名同学分解因式-x2+x的结果,下列判断正确的是 (　　) A. 甲、乙的结果都正确 B. 甲、乙的结果都不正确 C. 只有甲的结果正确 D. 只有乙的结果正确 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 多项式am-an+ap2提取公因式a后,另一个因式为 (　　) A. m-n+p B. m-n C. m-n+p2 D. m-n+1 12. 分解因式:ax2-2ax-a=　 　　　. C a(x2-2x-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. (教材P127习题17.1第2题变式)分解因式: (1) 2x-6y-10z; (2) xy2+3x2y-5x; (3) -3y+6y2+y3. (1) 2(x-3y-5z)　 (2) x(y2+3xy-5)　 (3) -y(3-6y-y2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. (教材P127习题17.1第3题变式)利用因式分解计算: (1) 8882+222×448; (2) 29×20.19+72×20.19-20.19; (3) 26×0.13+59×0.13-84×0.13. (1) 原式=8882+888×112=888×(888+112)=888×1000=888000　 (2) 原式=20.19×(29+72-1)=20.19×100=2019　 (3) 原式=0.13×(26+59-84)=0.13×1=0.13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. [教材P125练习第3(3)题变式]求证:817-279-913能被45整除. 原式=328-327-326=326×(32-3-1)=326×5=324×45,∴ 817-279-913能被45整除 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第十七章　因式分解 17.2　用公式法分解因式 第3课时　综合运用提公因式法与公式法分解因式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. (2024·云南)a3-9a分解因式的结果是 (　　) A. a(a-3)(a+3) B. a(a2+9) C. (a-3)(a+3) D. a2(a-9) 2. 下面是甲、乙两名同学将-x3+x分解因式的结果:甲同学,原式=-x(x+ 1)(x-1);乙同学,原式=x(1+x)(1-x).下列判断正确的是 (　　) 　 A. 只有甲的结果正确 B. 只有乙的结果正确 C. 甲、乙的结果都正确 D. 甲、乙的结果都不正确 A C 3. 4xy2-24xy+36x分解因式的结果正确的是 (　　) A. x(2y+6)2 B. 2x(y-3)2 C. 4x(y-6)2 D. 4x(y-3)2 4. 把4x2-16分解因式,嘉嘉的解答为4(x+2)(x-2);琪琪的解答为(2x+2)(2x-2).下列判断正确的是 (　　) A. 只有嘉嘉的结果对 B. 只有琪琪的结果对 C. 两人的结果都对 D. 两人的结果都不对 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 把8a3-8a2+2a分解因式,结果正确的是 (　　) A. 2a(4a2-4a+1) B. 8a2(a-1) C. 2a(2a-1)2 D. 2a(2a+1)2 6. (易错题)分解因式: (1) 3a(a-2b)+6b(2b-a)=　 　　　;  (2) a2b-25b=　　　　 　　;  (3) 3ma2-6mab+3mb2=　　　　　. C 3(a-2b)2 b(a+5)(a-5) 3m(a-b)2 [易错分析]分解因式不彻底致错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. (教材P131例6变式)分解因式: (1) 3b3-27b; (2) x2y-36y; (3) 3am2+12amn+12an2; (4) -mx2+8mnx-16mn2. (1) 3b(b+3)(b-3)　 (2) y(x+6)(x-6)　 (3) 3a(m+2n)2　 (4) -m(x-4n)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 把多项式4x2-36分解因式,结果正确的是 (　　) A. (2x+6)(2x-6) B. 4(x-3)2 C. 4(x+3)(x-3) D. 4x 9. (2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为 (　　) A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 10. 若m+n=3,则2m2+4mn+2n2-6的值为　　　　.  11. 若xy=5,a-b=3,a+b=4,则xya2-xyb2的值为　　　　. C D 12 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. (教材P132习题17.2第3题变式)分解因式: (1) -3a4+24a3-48a2; (2) m4-8m2+16; (3) x4-81y4; (4) (x2-y2+z2)2-(x2+y2-z2)2. (1) -3a2(a-4)2　 (2) (m+2)2(m-2)2　 (3) (x2+9y2)·(x+3y)(x-3y)　 (4) 4x2(z+y)(z-y) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. (教材P132习题17.2第6题变式)分解因式: (1) (6xy+1)2-81x4y4; (2) (x+y)2-10(x2-y2)+25(x-y)2. (1) (3xy+1)2(-9x2y2+6xy+1)　 (2) 4(-2x+3y)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. (整体思想)在数学解题中,我们经常会用到“整体思想”,下面例题运用“整体思想”对多项式进行因式分解: 分解因式:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1. 解:原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1 =+10(x2+5x)+24+1 =+10(x2+5x)+25 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1) 上面的例题在解答过程中把　　　　当作一个整体,多项式变形后,运用　　 　　公式进行因式分解;  (2) 请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解:(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+25; (x2+5x) 完全平方 (2) 原式=[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]+25=(x2+x-2)(x2+x-12)+25=-14(x2+x)+24+25=-14(x2+x)+49=　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3) 求证:四个连续自然数n,n+1,n+2,n+3的积与1的和等于一个奇数的平方. (3) n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=+2(n2+3n)+ 1=,∵ n是自然数,∴ n(n+3)一定是偶数.∴ n2+3n=n(n+3)是偶数.∴ n2+3n+1是奇数.∴ 四个连续自然数n,n+1,n+2,n+3的积与1的和等于一个奇数的平方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$