5.1投影 同步练习 2025-2026学年 北师大版数学九年级上册

5.1投影 同步练习 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.圆桌面桌面中间有一个直径为的圆洞正上方的灯泡看作一个点发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为，桌面离地面，若灯泡离地面，则地面圆环形阴影的面积是(    ) A. B.   C.   D.   2.下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.一幢层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是号窗口． A. B. C. D. 4.如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源木杆两端的坐标分别为，则木杆在轴上的投影的长为(    ) A. B. C. D. 5.下面四幅图是两物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是(    ) A. B. C. D. 6.某小组同学为了研究太阳照射下物体影长的变化规律，某日在学校操场上竖立一根直杆，经研究发现，当日该直杆的影长与时间的关系近似于二次函数，并在，，这三个时刻，测得该直杆的影长分别约为，，根据该小组研究结果，下列关于当日该直杆影长的判断正确的是(    ) A. 前，直杆的影子逐渐变长 B. 后，直杆的影子逐渐变长 C. 在到之间，还有某个时刻直杆的影长也为 D. 在到之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短 7.如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间晷针在晷面上形成的投影是(    ) A. 平行投影 B. 既是平行投影又是中心投影 C. 中心投影 D. 无法确定 8.如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________(    ) A. B. C. D. 9.下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是(    ) A. B. C. D. 11.如图所示，王华晚上在路灯下散步，已知王华的身高米，灯柱的高米，两灯柱之间的距离米，王华在两路灯之间行走时、、三点在一条直线上，则他身子前后的两个影子之和的长为米． A. B. C. D. 12.如图，从点观测建筑物的视角是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.身高相同的小明和小丽站在灯光下的不同位置，已知小明的投影比小丽的投影长，我们可以判定小明离灯光较______． 14.直角坐标系内，一点光源位于处，线段轴，为垂足，，则在轴上的影子长为______，点的影子坐标为______． 15.如图，一根直立于水平地面上的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设垂直于地面时的影长为假定，影长的最大值为，最小值为，那么下列结论中：；；；影子的长度先增大后减小．正确的结论序号是______． 直接填写正确的结论的序号． 16.阳光将一块与地面平行的矩形木块投射到地面，形成一块投影当阳光照射角度不断变化时，这块投影的面积______填“不变”或“变化” 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，已知与线段都在投影面上方，且都平行于投影面，画出它们在投影面上的正投影； 如图，已知与线段都在投影面的上方，且都垂直于投影面，画出它们在投影面上的正投影． 18.本小题分 分别用中心投影的方法和平行投影的方法画出三角形硬纸板在投影面上的投影． 19.本小题分 学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得． 请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置； 求路灯灯泡的垂直高度； 如果小明沿线段向小颖点走去，当小明走到中点处时，求其影子的长． 20.本小题分 广告墙旁有两根直立的木杆甲和乙． 在太阳光下，如果乙杆的影子刚好不落在广告墙上，请你在图中画出此时的太阳光线及甲木杆的影子； 如果甲杆长米，乙杆长米，乙杆到广告墙的距离为米，求甲杆的影长． 21.本小题分 楼房，旗杆在路灯下的影子如图所示，画出小树在路灯下的影子． 22.本小题分 如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，请你在图中画出形成树影的光线，它们是太阳光线还是灯光的光线？为什么？ 23.本小题分 在太阳光照射下，如图所示的图形中，哪些可以作为正方体的影子？ 请你尝试一下，如果用手电筒照射正方体，可以得到哪些形状的影子？请把各种影子的形状画出来，并比较两种情形的异同？简要说明理由． 24.本小题分 在一个阳光明媚的上午，数学老师组织学生测量如图所示的小山坡上的一棵大树的高度，山坡与地面的夹角，站立在水平地面上身高的小明在地面的影长为，此刻大树在斜坡的影长为求大树的高度． 25.本小题分 晚上，小亮走在大街上他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为米，左边的影子长为米又知自己身高米，两盏路灯的高相同． 若，，两盏路灯之间的距离为米，求路灯的高度． 若两盏路灯之间的距离恰好等于米，则路灯的高度为______米 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：如图所示： ，， ∽， ，即， 解得：， 同理可得：，则， 故选：． 先根据，可得出∽，由相似三角形的对应边成比例可求出的长，进而得出，再由圆环的面积公式即可得出结论． 本题考查的是相似三角形的应用以及中心投影，利用相似三角形的对应边成比例得出阴影部分的半径是解题关键． 2.【答案】  【解析】解：一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列应该是：． 故选：． 根据平行投影的定义判断即可． 本题考查平行投影，解题的关键是理解平行投影的定义，属于中考常考题型． 3.【答案】  【解析】解：如图，点即为所求，投影中心在号窗口． 故选：． 根据中心投影的定义，画出图形即可． 本题考查中心投影，解题的关键是正确作出投影中心的位置，属于中考常考题型． 4.【答案】  【解析】连接，并延长，分别交轴于，，作轴于，交于，如图．，，，轴，．，，由易得∽，，即，．木杆在轴上的投影的长为故选D． 5.【答案】  【解析】【分析】  本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长．据此判断即可． 【解答】  解：根据平行投影的特点和规律可知，，是上午，，是下午， 根据影子的长度可知先后为 ． 故选C． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平行投影的知识． 太阳的位置变化影响影子的长短和方向的变化，一天中阳光下物体影子的变化规律是：阳光下物体影子的方向随着太阳位置的改变而改变，影子总是和太阳的方向相反。阳光下物体影子长短的变化是随着太阳在天空中的位置改变而变化的，太阳位置最高时，影子最短；太阳位置最低时，影子最长，据此即可解答． 【解答】 解：根据平行投影的知识可知： 前，直杆的影子逐渐变短则A错误 在到之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短 则D错误B错误；C正确． 7.【答案】  【解析】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影． 故选：． 根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，正确找出相似三角形是解题的关键． 先根据已知条件证明∽，列出比例式，即可得出答案． 【解答】 解：如图：过点作， 由题意得：是直角三角形，， ， ， ， ∽， ；即， 代入数据可得， ； 故选B． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断． 【解答】 解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选D． 10.【答案】  【解析】解：由题意得：，， ， 由题意得：， ， ∽， ， ， 解得：， 路灯的高度是， 故选：． 根据题意可得：，，，从而可得，，然后证明∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， ∽， ， ， 同理可得， ， ， 即， 米， ， 解得米． 故选：． 利用可判断∽，则，所以，同理方法得到，所以，即，然后把用代换，从而可求出的长． 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． 12.【答案】  【解析】解：从点观测建筑物的视角是． 故选：． 根据视角的定义判断即可． 本题考查视点、视角和盲区，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13.【答案】远  【解析】解：中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．所以小明离灯光较远． 中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．据此判断即可． 本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 14.【答案】    【解析】解：如图： 轴， ， ∽， ：：， ， 点坐标为， ：：， ， 在轴上的影长为，点的影子的坐标为． 故答案是，． 根据题意，结合图形，利用相似三角形∽的性质解答． 此题考查了平面直角坐标系的知识，还考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边成比例． 15.【答案】  【解析】解：当木杆绕点按逆时针方向旋转时，如图所示当与光线垂直时，最大，则，成立； 成立，那么不成立； 最小值为与底面重合，故，故成立； 由上可知，影子的长度先增大后减小，成立； 故答案为：． 由当与光线垂直时，最大即可判断，由最小值为与底面重合可判断，点光源固定，当线段旋转时，影长将随物高挡住光线的不同位置发生变化过程可判断． 本题主要考查中心投影与旋转性质，根据物高与点光源的位置可很快得到答案． 16.【答案】不变  【解析】解：矩形木块与地面平行，太阳光是平行光线， 当阳光照射角度不断变化时，这块投影的面积不变． 故答案为：不变． 根据平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的即可得出结论． 本题考查了平行投影，平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的，灵活运用平行投影的性质是解题的关键． 17.【答案】解：如图中，，线段即为所求； 如图中，线段，点即为所求．   【解析】根据正投影的定义画出图形即可； 根据正投影的定义画出图形即可． 本题考查作图平行投影，解题的关键是理解平行投影的定义，属于中考常考题型． 18.【答案】解：如图，，即为所求；  【解析】利用中心投影，平行投影的定义，画出图形即可． 本题考查作图复杂作图，平行投影，中心投影等知识，解题的关键是掌握中心投影，平行投影的性质． 19.【答案】解：如图：形成影子的光线，路灯灯泡所在的位置． 由题意得：∽， ， ， 解得：， 答：路灯灯泡的垂直高度是． ∽， ， 设长为， 则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 即． 答：小明的影子的长是．  【解析】根据题意画出图形即可； 根据题意得到∽，根据相似三角形的性质得到，代入即可求出答案； 与类似得到∽，根据相似三角形的性质推出，代入即可求出答案． 本题主要考查对相似三角形的性质，相似三角形的应用，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把实际问题转化成数学问题是解此题的关键，题型较好，用的数学思想是转化思想． 20.【答案】解：如图所示： 分 设甲杆的影长为米， 由题意，得，分 解得． 即甲杆的影长是米．分  【解析】根据乙杆的影子刚好不落在广告墙上可以画出此时的太阳光线，根据太阳光线是平行的，可以画出甲木杆的影子； 根据在同一时刻，物高与影子成比例进行求解． 此题考查了太阳光线的特点以及比例线段． 21.【答案】解：   【解析】根据楼和旗杆的物高与影子得到光源所在，进而根据光源和树的物高得影子长． 本题考查中心投影的特点与应用，解决本题的关键是得到点光源的位置． 22.【答案】解：因为影子的顶点和大树的顶点的连线不平行， 所以它们的光线应该是灯光的光线．  【解析】根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影． 本题考查了中心投影和平行投影的知识，解题的关键是看光线有没有交点． 23.【答案】解：当正方体与太阳光线不垂直时，正方体的正投影为长方形或平行四边形， 当正方体与太阳光线垂直时，正方体的正投影为正方形， 故可以作为正方体在太阳光下影子的是长方形、正方形； 手电筒光线是中心投影， 故可以作为正方体在手电筒光线下影子的是长方形，正方形，梯形； 在太阳光照射与手电筒照射下，都能得到长方形、正方形，但在太阳光照射下，得不到梯形，而在手电筒照射下，可得到梯形．  【解析】太阳光线是平行线，可以作为正方体在太阳光下影子的是； 手电筒光线是点光源，可以作为正方体在手电筒光线下影子的是； 本题考查投影与视图的有关知识，灵活运用平行投影的性质是解题关键． 24.【答案】解：过点作于点， ， ， ， ， 在中， ， ，， ∽， ， ， 解得：， 故CE， 答：大树的高度为  【解析】根据题意过点作于点，由题意可得∽，进而得出，，的长，即可得出答案． 此题主要考查了平行投影以及解直角三角形的应用，根据题意得出的长是解题关键． 25.【答案】  【解析】解：设小亮离右边的路灯为，则离左边的路灯为， 再设路灯的高为， ，，， ， ∽，∽，则 ， 即：：； ：：   ， 即路灯高米； 设小亮离右边的路灯为，则离左边的路灯为， 再设路灯的高为， ，，， ， ∽，∽，则 ， 即：：； ：： 方程联立方程组得， 解得， 即路灯高米． 故答案为：． 根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯的高度； 根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯的高度． 本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$