精品解析：安徽省滁州市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题

2025年滁州市高一教学质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 全集为，集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列不等式中正确的是（） A. B. C. D. 3. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域是 C. 是偶函数 D. 的单调递减区间是 4. 若平面向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，是的中点，交于点，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 某校国庆节举办爱国知识竞赛，高一某班有两名同学组队参加知识竞赛，每轮比赛由各答题一次.已知每轮比赛中答对的概率为，答对的概率为，且和答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则（ ） A. 在第一轮比赛中，都没有答对的概率为 B. 在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率 C. 在两轮比赛中，恰好答对三题的概率为 D. 在两轮比赛中，至多答对三题的概率为 8. 对于数集，定义向量集.若存在至少一对不等向量满足（即两向量平行），则称具有性质.若数集具有性质，则所有可能的值个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，，则下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则且 11. 在边长为4的菱形中，为边的中点，，沿将折起，形成如图所示的四棱锥（翻折过程中点始终位于平面上方），为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）. A. 平面 B. 平面平面 C. 异面直线与所成的角始终为 D. 点的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 柜子中有两双不同的鞋，从中随机取出两只，则事件“取出的鞋不是同一双鞋”的概率为________. 13. 在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为________. 14. 设函数，若，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 欧拉公式：（是自然对数的底数，为虚数单位，），建立了指数函数和三角函数之间的关系，进而可以化成复数的代数形式. （1）根据欧拉公式将化成复数的代数形式； （2）设函数，，求的值域. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求，，. 17. 某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩（满分100分）中抽取容量为的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5. （1）求频率分布直方图中的，并估计全年级学生竞赛成绩的众数. （2）从样本中成绩在的学生中随机抽取2人，则所抽取的2人成绩恰好在和各1人的概率是多少? （3）已知样本中成绩在的平均数，方差，在的平均数，方差，试估计总体成绩在的方差. 18. 已知函数. （1）用函数单调性的定义证明：在上单调递增. （2）若，函数. （i）证明：的图象关于直线对称； （ii）求在上的值域（用含的式子表示）. 19. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，通常用曲率刻画空间的弯曲性.规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，点在棱上，且在四面体中，点的曲率的正切值为. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若在四面体中，点的曲率为，求五面体的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年滁州市高一教学质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 全集为，集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和交集运算即可求解. 【详解】因为或，所以， 又因为，所以， 故选：C. 2. 下列不等式中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由特殊值可排除，由基本不等式可判断D. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，取，则，故C错误； 对于D， 当且仅当，即，即时等号成立，故D正确 故选：D 3. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域是 C. 是偶函数 D. 的单调递减区间是 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数性质可判断AB；根据函数奇偶性定义可判断C；根据复合函数单调性可判断D. 【详解】对于A，要使函数有意义，则，解得或， 所以函数定义域为，故A错误； 对于B，由对数函数性质可知，函数的值域是，故B错误； 对于C，因为函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故C错误； 对于D，令，则， 由二次函数性质可知，在区间上单调递减， 由对数函数性质可知，在定义域内单调递增， 所以在区间上单调递减，故D正确. 故选：D 4. 若平面向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只需求出，再结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意，，与的夹角为， 所以， 在方向上的投影向量为. 故选：A. 5. 在平行四边形中，是的中点，交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，再根据向量运算法则即可表示. 【详解】在平行四边形中，， 所以，， 因为是的中点， 所以，即， 因为， 所以. 故选：B 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用变角为，然后利用诱导公式和二倍角公式即可求解. 【详解】由， 因为，所以， 故选：B. 7. 某校国庆节举办爱国知识竞赛，高一某班有两名同学组队参加知识竞赛，每轮比赛由各答题一次.已知每轮比赛中答对的概率为，答对的概率为，且和答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则（ ） A. 在第一轮比赛中，都没有答对的概率为 B. 在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率 C. 在两轮比赛中，恰好答对三题的概率为 D. 在两轮比赛中，至多答对三题的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【详解】在第一轮比赛中，都没有答对的概率为,故A错误； 在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率为，故B错误； 在两轮比赛中，恰好答对三题的概率为，故C正确； 在两轮比赛中，答对四题的概率为， 所以在两轮比赛中，至多答对三题的概率为，故D错误； 故选：C. 8. 对于数集，定义向量集.若存在至少一对不等向量满足（即两向量平行），则称具有性质.若数集具有性质，则所有可能的值个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】若数集，则对应的向量集为，分15种情况讨论即可求解. 【详解】若数集，则对应的向量集为， 若，则，但这不可能，所以不平行， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 由集合中元素的互异性可知，， 综上所述，所有可能的值为：，共7个. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性进行大小比较即可，对于D，可以用作商法，再对无理数放缩进行大小比较即可. 【详解】利用是单调递增函数，可得，故A正确； 利用指数函数的单调性可知：， 利用幂函数的单调性可知：，所以，故B错误； 利用指数函数单调性可知：， 利用对数函数单调性可知：，所以，故C正确； 利用作商法， 因为，所以， 即，所以，故D正确； 故选：ACD 10. 已知复数，，则下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则且 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的运算可判断AB，利用复数中的实数才有大小比较可判断C，利用举反例可判断D. 【详解】设，则，故A正确； 设， 则 ， 而，所以得不到，故B错误； 设，由于，可得， 根据虚数不能比较大小，所以为实数，则由上式可得， 所以或，又因为，所以或,故C正确； 不妨令且也满足，所以且是不一定成立，故D错误； 故选：AC. 11. 在边长为4的菱形中，为边的中点，，沿将折起，形成如图所示的四棱锥（翻折过程中点始终位于平面上方），为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）. A. 平面 B. 平面平面 C. 异面直线与所成的角始终为 D. 点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，取中点，连接，只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证；对于B，只需证明平面，然后结合面面垂直的判定定理即可得证；对于C，结合异面直线的定义说明异面直线与所成的角始终为即可判断；对于D，点的轨迹的长度为点的轨迹的长度的一半，故只需求出点的轨迹的长度即可判断. 【详解】对于A，如图所示，取中点，连接， 因为点为的中点，所以， 在菱形中，点为的中点，所以， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以， 而平面，平面，从而平面，故A正确； 对于B，由题意，所以， 所以，由翻折关系可知，， 而三点共线，从而， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面，故B正确； 对于C，由题意在直角三角形中，两直角边为，斜边为， 又因为点为斜边的中点，所以， 所以，所以三角形是等边三角形， 所以， 因为，所以异面直线与所成的角始终为，故C错误； 对于D，由题意点在以点为圆心为半径的半圆上运动（不包含点）， 所以点的运动轨迹长度为， 因为点是的中点，点是固定点，所以点的运动轨迹长度为，故D正确. 选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 柜子中有两双不同的鞋，从中随机取出两只，则事件“取出的鞋不是同一双鞋”的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】4只鞋，分别设为，其中为一双，为一双，先求出总的情况数，再得到取出的鞋不是同一双鞋的情况数，相除得到答案. 【详解】4只鞋，分别设为，其中为一双，为一双， 从中随机取出两只，有6种情况，分别为， 其中“取出的鞋不是同一双鞋”的情况为，有4种情况， 故“取出的鞋不是同一双鞋”的概率为. 故答案为： 13. 在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正三棱台补形为正三棱锥，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，从而可得正四面体，再利用正四面体来求线面角即可. 【详解】 如图添加辅助线，由于，所以分别为的中点， 又因为，分别为棱，的中点，所以，且， 又因为，且，所以且， 即四边形是平行四边形，又因为， 所以四边形是菱形，即， 又因为，，所以， 即可得， 即四面体是正四面体，取为的中点， 所以可得 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面， 即直线与平面所成角为， 设正四面体的棱长为， 则， 故答案为： 14. 设函数，若，则的最大值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用分段讨论，即可得到二次函数满足的条件，从而可得参数范围. 【详解】因为，，由，所以当时，； 因为，，由，所以当时，； 由上可得：当时，， 当时，， 所以有，即的最大值为1， 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 欧拉公式：（是自然对数的底数，为虚数单位，），建立了指数函数和三角函数之间的关系，进而可以化成复数的代数形式. （1）根据欧拉公式将化成复数的代数形式； （2）设函数，，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据欧拉公式，代入求解即可； （2）变形得到，并得到，从而得到的最值，求出值域. 【小问1详解】 根据欧拉公式，可得； 【小问2详解】 ， ∵，，. 当，即时，； 当，即时，； 所以的值域为. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求，，. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】由正弦定理得或，然后分别利用正弦定理求出边a，利用内角和为求出角A，即可得解. 【详解】由正弦定理，得， 因为，，所以，于是或. 当时，， 此时 ； 当时，， 此时 . 17. 某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩（满分100分）中抽取容量为的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5. （1）求频率分布直方图中的，并估计全年级学生竞赛成绩的众数. （2）从样本中成绩在的学生中随机抽取2人，则所抽取的2人成绩恰好在和各1人的概率是多少? （3）已知样本中成绩在的平均数，方差，在的平均数，方差，试估计总体成绩在的方差. 【答案】（1），众数估计值为75. （2） （3）38. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，并得到众数估计值为75. （2）先求出样本容量为，求出成绩在和内的人数，列举出从这5人中随机抽取两人的情况数和和各1人的情况数，得到概率； （3）计算出成绩落在与的人数比，利用整体方差和样本方差的计算公式计算出答案. 【小问1详解】 由，解得， 由图可得全年级学生竞赛成绩的众数估计值为75. 【小问2详解】 由成绩在的频率为，频数为5，得样本容量为， 成绩在内的人数为人，编号为1，2，3， 成绩在内的人数为人，编号为4，5， 从这5人中随机抽取两人的随机试验的样本空间为 ， 设事件“所抽取的2人成绩分别在和”，则 ，，则. 【小问3详解】 由题意知成绩落在与的人数比为， 则这两组成绩的总样本平均数为， 所以样本中这两组成绩的总方差为 ， 所以由样本方差估计总体成绩在的方差为38. 18. 已知函数. （1）用函数单调性的定义证明：在上单调递增. （2）若，函数. （i）证明：的图象关于直线对称； （ii）求在上的值域（用含的式子表示）. 【答案】（1）证明：，任取，且， 则 因为，且，所以，，， 所以，即，故在上单调递增. （2）（i）证明：由题意得， ， 故，故的图象关于直线对称. （ii）时，值域为；时，值域为；时，值域为. 【解析】 【分析】（1）由单调性的定义证明即可； （2）（i）只需证明成立即可；（ii）根据对称性可知，只需研究在区间上的值域即可，结合函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由于的图象关于直线对称，所以只需研究区间， 由（1）知在上单调递增，令，则，整理得 ，又，解得. 当时，在单调递增，的值域为； 当时，， 所以在单调递减，在单调递增，的值域为； 当时，，在单调递减，又， 的值域为. 19. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，通常用曲率刻画空间的弯曲性.规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，点在棱上，且在四面体中，点的曲率的正切值为. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若在四面体中，点的曲率为，求五面体的体积. 【答案】（1）证明：连结交于，连结. 在中，因为，分别为，的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面; （2）证明：因为，又因为为棱的中点，所以. 在直三棱柱中，有平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以. 因为在四面体中，点的曲率的正切值为， 所以，， 即，因为， ，所以. 在和中， ，所以， 所以，所以. 因为，又，平面， 所以平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用中位线平行，来证明线面平行即可； （2）利用直角三角形中角的正切值相等来证明角相等，从而可证明线线垂直，再证明线面垂直即可； （3）利用角的关系，结合两角和公式，转化为边的关系，最后可求出各边，从而可求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在四面体中，点的曲率为， 所以， 所以， 所以， 将，，，，代入上式， 解得. 由，，， 得，，， 所以. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $