3.2用频率估计概率 同步练习 2025-2026学年 北师大版数学九年级上册

3.2 用频率估计概率 同步练习 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值(    ) A. 一定是 B. 随着的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 C. 一定不是 D. 随着的增大，越来越接近 2.小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表 抛掷次数 正面朝上的频数 若抛掷硬币的次数为，则“反面朝上”的频数最接近(    ) A. B. C. D. 3.小明做“用频率估计概率”的实验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是(    ) A. 抛掷一枚硬币，落地后硬币正面朝上 B. 一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是 D. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头” 4.某射击运动员在同一条件下射击，结果如下表所示： 射击总次数 击中靶心的次数 击中靶心的频率 根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是(    ) A. B. C. D. 5.下列说法正确的是(    ) A. 三角形的三条中线、三条高都在三角形内部 B. 成轴对称的两个图形，对应点所连线段被对称轴垂直平分 C. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 D. 小凡做了次抛掷均匀硬币的实验，其中次正面朝上，次正面朝下，则正面朝上的概率为 6.如图所示，一张纸片上有一个不规则的图案图中画图部分，小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果，她将若干次有效试验的结果绘制成了图所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为(    ) A. B. C. D. 7.随机掷一枚均匀的硬币次，其中有次出现正面，次出现反面，则再掷一次这枚均匀硬币出现正面的概率是(    ) A. B. C. D. 8.一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的球，其中有个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子里球的个数为(    ) A. B. C. D. 9.在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是(    ) A. 红色 B. 黄色 C. 蓝色 D. 绿色 10.某生物学家想通过随机抽取的方式来估计只小白鼠中雄鼠的个数，这些小白鼠被抓取后能够清晰地判断性别将小白鼠随机放置在实验箱后，从中随机抽出一只小白鼠，记下它的性别后再放回实验箱中，不断重复这一过程，通过大量重复的试验后，发现抽到雌鼠的频率稳定在，则实验箱中雄鼠的个数约为(    ) A. B. C. D. 11.某班数学兴趣小组为了考察本市某条斑马线上驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，如表是该小组一个月内累计调查的六组数据统计整理结果，通过表格中相关数据可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为(    ) 抽查车辆数 能礼让的驾驶员人数 能礼让的频率 A. B. C. D. 12.一个不透明的箱子里共装有个球，其中红球个，这些球除颜色不同外其余都相同每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则可以估算出的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.某鱼塘养了条鲤鱼、若干条草鱼和条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为          ． 14.新品种玉米在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：  试验的玉米粒数粒             发芽的粒数粒             任取一粒玉米粒，估计它能发芽的概率是______结果精确到 15.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率 下面有三个推断： 通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的； 第次实验的结果一定是“盖面朝上”； 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率估计是． 其中正确的是_______填序号 16.如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮次数(    ) 投中次数 投中频率 这名球员投篮一次，投中的概率约是________精确到． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 近日，“山河四省”携手发布文旅大片，积极推介家乡，恰逢假期的学生们也想贡献自己的绵薄之力某中学校志愿者社团为了解全校名学生参加志愿服务的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下不完整的调查报告． 调查主题 中学学生参加志愿服务情况 调查方式 抽样调查 调查对象 中学学生 数据的 收集、整理、描述 调查问卷 您好这是一份关于参加志愿服务的调查问卷，在以下两个问题中，请选择一项最符合您实际情况的选项，非常感谢您的配合 本学期您参加志愿服务的时长大约是每项含最大值，不含最小值(    ) A.         以上 学校计划组织学生们到博物馆参加“小小解说员”的志愿服务活动，您最想去的一座博物馆是(    ) E.山西博物院  太原晋商博物馆  山西地质博物馆  中国煤炭博物馆 将问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图： 调查结果 请根据以上调查报告，解答下列问题： 参与本次抽样调查的学生人数为          将条形统计图和扇形统计图补充完整． 请估计在本校名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数． 若该校志愿者社团要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，则正好抽到想去山西博物院的女生的概率是多少用分数表示即可 请你根据调查数据，对学校分派到各博物馆参加“小小解说员”志愿服务活动的人员数量提一条合理的建议． 18.本小题分 柳市乐华电器厂对一批电容器质量抽检情况如下表： 抽检个数 正品个数 从这批电容器中任选一个，是正品的概率是多少？ 若这批电容器共生产了个，其中次品大约有多少个？ 19.本小题分 某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 优等品频数 优等品频率 这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是_____________；精确到 从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； 现从第问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 20.本小题分 件同型号的产品中，有件不合格品和件合格品， 从这件产品中随机抽取件进行检测，求抽到的是不合格品的概率 从这件产品中随机抽取件进行检测，求抽到的是合格品的概率 在这件产品中加入件合格品后，进行如下试验：随机抽取件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在，则可以推算出的值是多少提示列一元一次方程 21.本小题分 某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率            填写表中的空格 当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是           若袋中有个红球，请估计袋中白球的个数。 22.本小题分 某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与白天的最高气温有关，现将去年六月份按天计算的有关情况统计如下统计图每级包含最低不包含最高 气温单位： 需求量单位：杯 求去年六月份最高气温不低于的天数 若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过杯的概率 若今年六月份每天的进货量均为杯，每杯的进价为元，售价为元，未售出的这种鲜奶厂家以元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温满足单位：，试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元 23.本小题分 在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其余都相同某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的频率 试估算口袋中白球有______个 现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同一学生从两个口袋中各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率． 24.本小题分 在学习用频率估计概率这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为           小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变你同意小明的意见吗请说明理由． 25.本小题分 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于 请估计摸到白球的概率将会接近______； 计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ 如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值随着的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性， 故选：． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大．随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可． 【解答】 解：由于“正面朝上”的频率接近于，所以“反面朝上”的频数最接近． 故选A． 3.【答案】  【解析】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率， A.抛掷一枚硬币，落地后硬币正面朝上的概率为，不符合题意； B.一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； C.抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是的概率为，符合题意； D.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头”的概率为，不符合题意； 故选：． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 4.【答案】  【解析】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次击中靶心的概率约是， 故选：． 利用频率估计概率求解即可． 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，由此可以用频率的集中趋势来估计概率，理解这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：、钝角三角形有两条高在三角形外部，故A错误，不符合题意； B、成轴对称的两个图形，对应点所连线段被对称轴垂直平分，故B正确，符合题意； C、一个锐角和斜边分别相等的两个直角三角形全等，而一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故C错误，不符合题意； D、小凡做了次抛掷均匀硬币的实验，其中次正面朝上，次正面朝下，则不能得到正面朝上的概率为，故D错误，不符合题意； 故选：． 分别根据三角形的角平分线、中线和高，轴对称图形的性质，直角三角形全等的判定和利用频率估计概率判断即可． 本题主要考查三角形的角平分线、中线和高，轴对称图形的性质，直角三角形全等的判定和利用频率估计概率，解题的关键是掌握这些定义和性质以及判定方法． 6.【答案】  【解析】假设不规则图案面积为 ， 由已知得：长方形面积为 ，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为， 综上有： ， 解得 ． 7.【答案】  【解析】解：抛一枚均匀硬币出现正面和反面的概率是相等的，都是． 故选：． 抛一枚均匀硬币出现正面和反面的概率是相等的，都是． 本题考查了利用频率估计概率，注意概率和频率的区别． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用频率估计概率根据大量重复试验后，事件的频率会稳定在一个常数附近，这个常数可以看作是此事件的概率． 根据摸到黄球的概率为，根据“小球数量黄球数量黄球的概率”计算即可． 【解答】 解：根据题意得：． 故选D． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是利用频率估计概率的有关知识，分别求出绿球，蓝球、红球和黄球被取到的概率，再结合图表给出某种颜色的球出现的频率即可得到问题的选项． 【解答】 解：由题意得， 从中任意摸出一个球是绿球的概率是， 从中任意摸出一个球是蓝球的概率是， 从中任意摸出一个球是红球的概率是， 从中任意摸出一个球是黄球的概率是， ， 该球的颜色最有可能是绿球 10.【答案】  【解析】解：实验箱中雄鼠的个数约为个， 故选：． 用小白鼠的总个数乘以雌鼠的频率稳定值即可得出答案． 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 11.【答案】  【解析】解：由表格数据知，随着抽查车辆数的增加，能主动给行人让路的频率逐渐稳定在附近， 所以估计驾驶员能主动给行人让路的概率为． 故选：． 由表格数据知，随着抽查车辆数的增加，能主动给行人让路的频率逐渐稳定在附近，从而得出答案． 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 12.【答案】  【解析】解：由题意知，的值约为， 故选：． 用红球的个数除以红球频率的稳定值即可． 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查用利用频率估计概率，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量． 根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率． 【解答】 解：设草鱼有条，根据题意得： ， 解得：， 由题意可得，捞到鲤鱼的概率为， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：由表格可知：，，，，，． 所以这种油菜籽发芽的频率稳定在附近，则这种油菜籽发芽的概率是， 故答案为． 由表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种油菜发芽的概率 此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种油菜籽发芽的频率是解本题的关键． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率． 根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【解答】 解：通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确； 第次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误； 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近，故正确． 故答案为：． 16.【答案】  【解析】解：由题意得： 投篮的总次数是次， 投中的总次数是次， 则这名球员投篮的次数为次，投中的次数为， 故这名球员投篮一次，投中的概率约为：． 故答案为：． 计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率． 此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是理解这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 17.【答案】解：人， 、志愿时间为的有：人， D、志愿时间为以上的占比为：， 补全的条形统计图和扇形统计图如下： 故答案为：． 人， 答：本校本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数有人． 被调查的女生总人数：人， 想去山西博物院的女生的概率：， 答：被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，则正好抽到想去山西博物院的女生的概率是． 答案不唯一，合理即可． 答：学校分派到山西博物院和山西地质博物馆参加“小小解说员”志愿服务活动的女生人数多一些，分派到太原晋商博物馆和中国煤炭博物馆参加“小小解说员”志愿服务活动的男生人数多一些．  【解析】参与本次抽样调查的学生人数为，计算即可，然后再补全条形统计图和扇形统计图； 本校本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数有：； 想去山西博物院的女生的概率：想去山西博物院的女生人数被调查的女生总人数； 根据上述数据提出建议． 本题考查的是扇形统计图，条形统计图和利用频率估计概率，能够熟练算出调查总人数是解题的关键． 18.【答案】解：六次抽查正品频率分别为：，， ，，，， 正品概率估计为； 或； 其中次品大约有个．  【解析】先计算出次抽检的正品的频率，再估算其概率即可； 总数次品的概率即为所求的次品数． 考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．部分数目总体数目乘以相应概率． 19.【答案】解：； 摸出一个球是黄球． 设取出了个黑球，则放入了个黄球， 则， 解得． 答：取出了个黑球．  【解析】【分析】 本题考查频数分布表、利用频率估计概率、概率公式等知识． 求出五种情形下的平均数即可解决问题； 根据概率公式计算即可； 根据概率公式构建方程即可解决问题； 【解答】 解： ． 故答案为． 见答案； 见答案． 20.【答案】解：件同型号的产品中，有件不合格品， 不合格品； 件同型号的产品中，有件合格品， 合格品； 大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在， 抽到合格品的概率等于， ， 解得：．  【解析】本题考查了概率的公式、用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率． 用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率； 用合格品的数量除以总量即可求得抽到合格品的概率； 根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得的值． 21.【答案】解：； ． 摸到白球的概率的估计值是， 摸到红球的概率的估计值是， 袋中有红球个， 球的个数共有：个， 袋中白球的个数为．  【解析】解：； 故答案为：； 当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：； 故答案为：． 见答案． 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 22.【答案】解：由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于的天数为天； 去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过杯的概率为； 元， 答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为元．  【解析】本题考查条形统计图和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 由条形图可得答案； 用的天数除以总天数即可得； 根据利润销售额成本计算可得． 23.【答案】  【解析】解：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近，所以摸到白球的概率为， 所以可估计口袋中白球有个； 故答案为：； 将第一个口袋中个白球分别记为白，白，白，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有种． 两个球颜色相同的概率为． 根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数． 先利用画树状图法展示所有种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系． 24.【答案】解： 同意小明的意见， 理由如下：  记“没有增加球前一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件， 画树状图如下： 总共有种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有种， 所以 记“增加一个白球后一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件， 画树状图如下： 总共有种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有种， 所以 所以， 所以增加一个白球后，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．  【解析】【分析】 此题考查了列表法或树状图法求概率以及利用频率估计概率的知识．用到的知识点为：概率所求结果数与总结果数之比． 直接利用得到摸到红球的频率得出盒子中红球个数； 分别计算出“没有增加球前一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”的概率和“增加一个白球后一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”的概率，比较即可． 【解答】 解：在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的红、白两种颜色的球共只，且红球的概率接近； 口袋中红球的个数：只， 故答案为； 见答案． 25.【答案】解：； ，， 答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； 设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：需要往盒子里再放入个白球．  【解析】【分析】 根据题意容易得出结果； 由，，即可得出结果； 设需要往盒子里再放入个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．大量反复试验下频率稳定值即概率，本题难度适中． 【解答】 解：根据题意得：当很大时，摸到白球的概率将会接近，假如摸一次，摸到白球的概率为， 故答案为：； 见答案； 见答案． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$