精品解析：福建省福州延安中学2024—2025 学年下学期期末考试七年级数学试卷

福州延安中学2024-2025学年第二学期期末考试初一数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂 1. 下列调查中，最适合全面调查的是（ ） A. 调查某电视节目的收视率 B. 调查某种品牌笔芯的使用寿命 C. 了解某地区饮用水矿物质含量的情况 D. 对乘坐飞机的旅客进行安检 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况，全面调查适用于总体数量较小、调查结果要求精确或涉及安全等重要事项的情况，而抽样调查适用于总体数量大、具有破坏性或节省成本的情形． 【详解】解：A、收视率调查总体庞大，需抽样统计，无法逐一调查，故不适合全面调查，不符合题意； B、测试笔芯寿命需破坏性试验，全面调查会导致所有产品报废，不现实，不符合题意； C、检测饮用水矿物质需大量采样，全面检测成本过高，通常采用抽样，不符合题意； D、飞机安检涉及安全，必须对每位旅客进行检查，确保无遗漏，必须全面调查，符合题意； 故选：D 2. 若三角形的两条边长分别为4和9，则第三边的边长可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三边关系，根据三角形三边关系定理，第三边应大于两边之差且小于两边之和，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形的两边长分别为4和9， ∴，即 观察四个选项，唯有C选项的8满足； 故选：C 3. 下列选项中，x，y的值是二元一次方程的解的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，将各选项的、代入方程验证，即可进行作答． 【详解】A. 当时，，不符合题意； B. 当时，，符合题意； C. 当时，，不符合题意； D. 当时，，不符合题意； 故选B 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式的解集即可得出答案． 【详解】解：不等式， 移项得， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了不等式的解集在数轴上的表示，关键在于正确求解不等式的解集． 5. 有40个数据，其中最大值为45，最小值为11，若取组距为5，则在列频数分布表时应该分的组数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了频数分布直方图，根据组数的计算方法，先求极差（最大值与最小值之差），再除以组距，若结果不是整数，则向上取整． 【详解】解：最大值45与最小值11的差为． 极差34除以组距5，得到． ∵6.8不整数， ∴需向上取整为7． 故选：B． 6. 在中，作边上的高，以下选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． 【详解】解：在中，作边上的高，作法正确的是： 故选：C 7. 为了解某学校4000名学生的身高情况，随机抽取了其中300名学生进行身高测量并统计，下列有四种判断：①4000名学生的身高是总体；②样本容量是4000；③300名学生的身高是样本；④每名学生的身高是个体．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计学中的基本概念，包括总体、个体、样本及样本容量的定义，需根据题干逐一判断各选项的正确性，进行作答即可． 【详解】解：总体指研究对象的全体数据，本题研究对象为学生的身高，故总体是4000名学生的身高数据，故①符合题意； 样本容量是抽取的样本中个体的数量，本题抽取了300名学生，因此样本容量为300，而非4000，故②不符合题意； 样本是从总体中抽取的一部分数据，本题抽取的300名学生的身高数据即为样本，故③符合题意； 个体是总体中的每一个研究对象，本题总体为所有学生的身高数据，每名学生的身高作为具体数据点，属于个体，故④符合题意； 故选：C 8. 如图所示，直线直线b，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，由，得，再根据三角形外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∵ ∴， 故选：． 9. 如图所示，在四边形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使C，D分别落在直线上的，处，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形与四边形内角和定理、折叠的性质等知识点，熟练掌握相关概念是解题关键． 先根据四边形内角和定理可得，再利用折叠性质可得，即，从而得出∠，最后进一步利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 已知关于x、y的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④不存在a使得成立；其中正确的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ①当时，原方程可化为，再求出x与y的值，然后代入方程检验即可；②令求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入中计算得到结果，再判断即可；④令求出的值判断即可． 【详解】解：①当时，原方程可化为， 得：，解得：， 把代入①得：， 此时，即①正确； ②当时，原方程可化为，即， 把代入得：，解得：，即②正确； ③， 得：，解得：， 把代入可得：，解得：， 则，即的值随a的变化而变化，所以③错误； ， 所以不存在a使得成立，故结论④正确． 综上，正确的结论是①②④． 故选D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是三角形具有______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，正确理解三角形的稳定性是解题的关键．根据图示，有三角形构成，结合三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：根据图示，运用的数学原理是三角形具有稳定性． 故答案为：稳定性 ． 12. 如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得出，，根据线段的和差关系得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故答案为：6． 13. 如图，是的中线，点在上，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中线的性质，设到的距离为，由是的中线，则，求出，然后由即可求解，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：设到的距离为， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到卖出的冷饮杯数y杯与当天最高气温的数据趋势图，如图所示，经研究发现：冷饮杯数y杯与当天最高气温的关系为，可以预测当一天的最高气温为31℃时，饮品店卖出的冷饮为______杯． 【答案】166 【解析】 【分析】本题考查的函数解析式的含义，把代入即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， 当时，； 故答案为：． 15. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=__________ 【答案】540°. 【解析】 【分析】根据四边形的内角和是360°，可求∠C+∠B+∠D+∠2=360°，∠1+∠3+∠E+∠F=360°．又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠1=∠A+∠G，而∠2+∠3=180°，从而求出所求的角的和． 【详解】解：在四边形BCDM中， ∠C+∠B+∠D+∠2=360°， 在四边形MEFN中：∠1+∠3+∠E+∠F=360°． ∵∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°-180°=540°． 故答案为540°. 【点睛】本题考查三角形外角的性质及四边形的内角和定理，解答的关键是利用外角和内角的关系． 16. 定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“关联解”．例如：已知方程和不等式，对于未知数x，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“关联解”．如果是关于x的方程与关于x的不等式组的“关联解”，则n的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解、不等式组的解法以及新定义问题．熟练掌握方程的解的定义、解一元一次不等式组的方法是解题的关键．本题可根据“关联解”的定义，先求出方程的解，再将此解代入不等式组，从而得到关于的不等式组，最后求解该不等式组得到的取值范围． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴． ∵是不等式组的“关联解”， 将代入不等式组可得： ，即． 把代入上述不等式组得． 解不等式： ， ， ， ． 解不等式： ， ， ， ． 所以不等式组的解集为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） 得：③ 得 将代入①得，， 解得 方程组的解为． （2） 解不等式①得 解不等式②得 不等式组的解集是． 18. 已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先由线段和差得到，然后由得到内错角相等，则其邻补角相等，再由证明，则． 【详解】解： ，即 ， ，， 在和中 ， ， ． 19. 某校为了解初一学生的阅读量情况，对初一（）班学生一周的阅读量（单位：万字）进行统计，并以此为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图（如图） 阅读量 频数（人数） 百分比 请结合图表信息完成下列问题： （1）_______，_______，补全频数分布直方图； （2）若将上述数据绘制成扇形统计图，则阅读量的部分圆心角的度数为________． （3）若阅读量在万字及其以上为优秀，请你估计该校初一学生名学生中有多少人的阅读量为优秀？ 【答案】（1），，补全频数分布直方图见解析； （2）； （3）人． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，根据统计图获取信息是解题的关键． （）由的频数除以所占百分比求出总数，然后通过总数乘以所占百分比即可求出的值，频数除以总数即可求出的值，然后补全频数分布直方图即可； （）用乘以阅读量的部分所占百分比即可； （）用乘以阅读量在万字及其以上所占百分比计算即可得解． 【小问1详解】 解：抽取的人数为（人）， ∴（人），， ∴， 补全频数分布直方图如图， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：阅读量的部分圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校初一学生名学生中有人的阅读量为优秀． 20. 如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． （1）求证：是的平分线： （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． 【小问1详解】 过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线． 【小问2详解】 ， 在和中 ， 同理可得， ． 21. 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 端午节期间，某商店销售A、B两种品牌的粽子．某班一次购买A种粽子20个，B种粽子30个，共花费660元；已知A种品牌粽子的单价比B种品牌粽子的单价，求A、B两种粽子的单价各是多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌粽子的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）． ①低2元 ②高2元 [迁移类比] （2）请根据上面（1）中补充的条件，用列二元一次方程方程组的方法，求A、B两种品牌粽子的单价． [拓展探究] （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：该班决定再次购进A、B两种品牌的粽子共50个，此次刚好遇到商店“限时抢购”的活动，A种品牌的粽子单价打8折，B种品牌的粽子单价优惠2元．若此次购买A、B两种品牌粽子的总费用不超过540元，且购买A种品牌的粽子数量不多于B种品牌的粽子数量的，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 【答案】（1）①；（2）A种粽子单价为12元，B种粽子单价为14元；（3）A种粽子26个，B种粽子24个更节省资金，计算见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）根据已知方程中的代数式可得答案； （2）设A种粽子单价为x元，B种粽子单价为y元，根据购买A种粽子20个，B种粽子30个，共花费660元；A种品牌粽子的单价比B种品牌粽子的单价低2元建立方程组求解可得答案； （3）设A种粽子a个，B种粽子个，结合此次购买A、B两种品牌粽子的总费用不超过540元，且购买A种品牌的粽子数量不多于B种品牌的粽子数量的，再建立不等式组求解即可. 【详解】解：（1）设A种品牌粽子的单价为x元，根据方程可得B种品牌粽子的单价为元 ∴例题中被覆盖的条件是① （2）设A种粽子单价为x元，B种粽子单价为y元， 依题意得， 解得． ∴A种粽子单价为12元，B种粽子单价为14元； （3）设A种粽子a个，B种粽子个，依题意得 ， 解得． a为正整数， 或26． 当时，总费用为， 当时，总费用为， A种粽子26个，B种粽子24个更节省资金． 22. 如图：四边形，平分，交于点． （1）在线段上求作一点，使点到边和边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在第（）题的条件下，连接．若，，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线定义，多边形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作的角平分线即可； （）由平分，平分，则，，设，，则，，根据四边形内角和可得，解得，再根据根据四边形内角和为可得，解得，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点为所求； 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴，， 设，， 则，， ∵四边形内角和为， ∴， 解得， ∵， ∴， 根据四边形内角和可得， 解得， ∴． 23. 在数学发展的历史长河中，多边形相关问题一直备受数学家们的关注与青睐．其中，格点多边形的面积计算问题以及多边形的三角剖分问题，更是该领域的重要研究方向．请根据材料完成下列问题 材料一 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为M，边界上的格点数记为N，例如，图①是格点三角形，其中，，． （1）图②是格点四边形，图中所对应的：________，________，________．图③是格点五边形，图中所对应的________，________，________． （2）奥地利数学家皮克发现的计算“格点多边形”的而积公式，其中a、b、c为常数，结合图形①，②，③，求出a、b、c的值； 材料二 三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数的公式：当时，，其中规定．例如：当时，，算出；当时，，算出；则根据公式八边形的三角剖分方法数________． 【答案】（1）、6、11；、6、5；（2），，； 132 【解析】 【分析】本题主要考查了格点多边形的面积公式应用以及多边形三角剖分方法数的计算．熟练掌握格点多边形面积公式中参数的求解方法以及根据递推公式计算多边形三角剖分方法数是解题的关键． （1）根据格点多边形的面积、内部格点数、边界格点数的定义，直接对图②格点四边形和图③格点五边形进行计数． （2）先将图①、图②、图③对应的、、值代入公式，得到关于、、的方程组，然后求解方程组得出、、的值；对于求八边形的三角剖分方法数，根据公式，从开始逐步推导求出． 【详解】解：图②格点四边形：，，； 图③格点五边形：，，, 故答案为：、6、11；、6、5； （2）∵图①中，，，代入得：； 图②中，，，代入得：； 图③中，，，代入得：． 由可得，将其代入中得： ，即， ． 把，代入中得： ， ． 把代入得． 把代入得． ∴，，； 时，，． 当时，，则． 当时，，则． 当时，，则． 当时，，则． 当时，，则． 24. 对于实数x，y定义一种新运算T，规定：（其中m，n均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如，，．已知． （1）求m，n的值： （2）若关于t的不等式恰好有4个正整数解，求实数P的取值范围． （3）在第（2）题条件下，已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列出不等式求出，然后根据恰好有4个正整数解列出不等式求解即可； （3）首先解方程组得到，然后求出，表示出W，然后求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 ，． 解得； 【小问2详解】 ， ， 解得 关于t的不等式恰好有4个正整数解 ， 解得 【小问3详解】 ， a，b，c三个非负实数， 解得． ， ， 的最小值8． 【点睛】本题主要考查了新运算法则、 解二元一次方程组、解不等式组等知识点，理解新运算法则是解答本题的关键． 25. 已知：，，，，连接，． （1）如图，求证：； （2）如图，连接，，于点，于点，于点，于点，连接，． 求证：； 求证：，垂直且相等． 【答案】（1）见解析； （2）见解析；见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，则，所以，证明，然后通过全等三角形的性质即可求证； （）先证，，再证明，故有，然后通过面积即可求证； 延长交于点，交的延长线于点，证明，，然后通过全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可求证． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 延长交于点，交的延长线于点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，垂直且相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州延安中学2024-2025学年第二学期期末考试初一数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂 1. 下列调查中，最适合全面调查的是（ ） A. 调查某电视节目的收视率 B. 调查某种品牌笔芯的使用寿命 C. 了解某地区饮用水矿物质含量的情况 D. 对乘坐飞机的旅客进行安检 2. 若三角形的两条边长分别为4和9，则第三边的边长可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 13 3. 下列选项中，x，y的值是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 有40个数据，其中最大值为45，最小值为11，若取组距为5，则在列频数分布表时应该分的组数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 在中，作边上的高，以下选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 为了解某学校4000名学生的身高情况，随机抽取了其中300名学生进行身高测量并统计，下列有四种判断：①4000名学生的身高是总体；②样本容量是4000；③300名学生的身高是样本；④每名学生的身高是个体．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 8. 如图所示，直线直线b，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在四边形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使C，D分别落在直线上的，处，，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x、y的方程组得出以下结论：①当时，方程组的解也是方的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④不存在a使得成立；其中正确的是（ ） A ①② B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是三角形具有______． 12. 如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长为_____． 13. 如图，是的中线，点在上，若，，则的值为______． 14. 为了研究气温对冷饮销售影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到卖出的冷饮杯数y杯与当天最高气温的数据趋势图，如图所示，经研究发现：冷饮杯数y杯与当天最高气温的关系为，可以预测当一天的最高气温为31℃时，饮品店卖出的冷饮为______杯． 15. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=__________ 16. 定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“关联解”．例如：已知方程和不等式，对于未知数x，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“关联解”．如果是关于x的方程与关于x的不等式组的“关联解”，则n的取值范围________． 三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 18. 已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，，，，求证：． 19. 某校为了解初一学生的阅读量情况，对初一（）班学生一周的阅读量（单位：万字）进行统计，并以此为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图（如图） 阅读量 频数（人数） 百分比 请结合图表信息完成下列问题： （1）_______，_______，补全频数分布直方图； （2）若将上述数据绘制成扇形统计图，则阅读量的部分圆心角的度数为________． （3）若阅读量在万字及其以上为优秀，请你估计该校初一学生名学生中有多少人的阅读量为优秀？ 20. 如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． （1）求证：是平分线： （2）求证：． 21. 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 端午节期间，某商店销售A、B两种品牌的粽子．某班一次购买A种粽子20个，B种粽子30个，共花费660元；已知A种品牌粽子的单价比B种品牌粽子的单价，求A、B两种粽子的单价各是多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌粽子的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）． ①低2元 ②高2元 [迁移类比] （2）请根据上面（1）中补充的条件，用列二元一次方程方程组的方法，求A、B两种品牌粽子的单价． [拓展探究] （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：该班决定再次购进A、B两种品牌的粽子共50个，此次刚好遇到商店“限时抢购”的活动，A种品牌的粽子单价打8折，B种品牌的粽子单价优惠2元．若此次购买A、B两种品牌粽子的总费用不超过540元，且购买A种品牌的粽子数量不多于B种品牌的粽子数量的，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 22. 如图：四边形，平分，交于点． （1）在线段上求作一点，使点到边和边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在第（）题的条件下，连接．若，，求的度数． 23. 在数学发展的历史长河中，多边形相关问题一直备受数学家们的关注与青睐．其中，格点多边形的面积计算问题以及多边形的三角剖分问题，更是该领域的重要研究方向．请根据材料完成下列问题 材料一 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为M，边界上的格点数记为N，例如，图①是格点三角形，其中，，． （1）图②是格点四边形，图中所对应的：________，________，________．图③是格点五边形，图中所对应的________，________，________． （2）奥地利数学家皮克发现的计算“格点多边形”的而积公式，其中a、b、c为常数，结合图形①，②，③，求出a、b、c的值； 材料二 三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数的公式：当时，，其中规定．例如：当时，，算出；当时，，算出；则根据公式八边形的三角剖分方法数________． 24. 对于实数x，y定义一种新运算T，规定：（其中m，n均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如，，．已知． （1）求m，n的值： （2）若关于t的不等式恰好有4个正整数解，求实数P的取值范围． （3）在第（2）题的条件下，已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，求的最小值． 25 已知：，，，，连接，． （1）如图，求证：； （2）如图，连接，，于点，于点，于点，于点，连接，． 求证：； 求证：，垂直且相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$